Решение квадратных диофантовых уравнений в целых числах

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Видео:Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие диофантовых уравнений;
2. теоремы для решения уравнений в целых числах;
3. основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 2 + 23 = у 2

Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Выразим из данного уравнения у через х:

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

; ;

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х 2 — 6ху + 13у 2 = 29.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х 2 — 6ху + 13у 2 = (х 2 — 6ху + 9у 2 ) + 4у 2 = (х — 3у) 2 + (2у) 2 = 29, значит (2у) 2 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0) 2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3) 2 + 4 =29, (х + 3) 2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

3. у = 1, (х — 3) 2 +4 =29,

(х — 3) 2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

4. у = -2, (х + 6) 2 + 16 = 29, (х + 6) 2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6) 2 +16=29, (х-6) 2 =13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х 2 +5у 2 +8ху+2у-2х+2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х 2 + (8у — 2)х + 5у 2 + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2) 2 — 4·5(5у 2 + 2у + 2) = 64у 2 — 32у + 4 = -100у 2 — 40у – 40= = -36(у 2 + 2у + 1) = -36(у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х 2 + 4)(у 2 + 1) = 8ху

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

,

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х 2 + у 2 = z 2 .

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х 2 + у 2 = z 2 , в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3 2 + 4 2 = 5 2 (u = 1, v = 3), 5 2 + 12 2 = 13 2 (u = 1, v = 5), 15 2 + 8 2 = 17 2 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 — решение данного уравнения

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

1. 3 = 1 ∙ 2 + 1
2. 1 = 3 — 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 — решение данного уравнения

Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

Диофантовы уравнения и методы их решения.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел —

решение диофантовых уравнений(ДУ).
Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных

по теме «ДУ» в курсе теории чисел. Многие задания, изложенные в данной работе, могут

быть использованы в курсе алгебры средней школы и на факультативах по теме «ДУ» с

целью расширения математического кругозора учащихся.

Видео:Решите уравнение в целых числах ★ √x+√y=√50 ★ Как решать диофантовы уравнения?Скачать

Скачать:

Видео:ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать

Предварительный просмотр:

Красноярский Государственный Педагогический Университет

Курсовая работа по теме:

«Некоторые диофантовы уравнения»

Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решение диофантовых уравнений(ДУ).

Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме «ДУ» в курсе теории чисел. Многие задания, изложенные в данной работе, могут быть использованы в курсе алгебры средней школы и на факультативах по теме «ДУ» с целью расширения математического кругозора учащихся.

Видео:Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Историческая справка

Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта,

И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни -пухом покрылся тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке Диофант.

Он был осчастливлен рожденьем
прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни

Счастливой и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного
удела конец воспринял,

Переживши года четыре с тех пор,
как сына лишился.

Скажи, скольких лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант?

Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них еще не было равенства и знаков действий (вроде нынешних плюса и минуса ), то записывать уравнения они, конечно, не умели. Первый по-настоящему серьезный шаг в этом на правлении сделал замечательный александрийский (по названию большого культурного, торгового и научного центра древнего мира- Александрии ; этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побе режье Египта) ученый Диофант, использовавший в своем творчестве дости жения египтян, вавилонян и греков. В его труде «Арифметика» есть уравне ния первой степени с одним неизвестным, главное в этой книге вовсе не в них. И прежде чем перейдем к этому главному, поговорим еще о записи уравнений. Самое интересное у Диофанта – решение так называемых неоп ределенных уравнений . И второе, не менее интересное – Диофант придумал обозначения для неизвестных.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые 9 букв : α , β , γ ,… обозначали числа от 1 до 9 ;следующие девять : ι , χ ,…обозначали числа от 10 до 90 ; наконец, следующие девять: ρ , σ . обозначали числа от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами , обозначающими число, ста вилась черточка. Букв в алфавите было 28 , одна из них была особой – она обозначалась ς (сигма концевая), стави лась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать первую степень не известного, так же как мы обычно обозначаем ее буквой X.

Придумав это, Диофант, по-видимому, уже быстрее стал двигаться дальше. Во всяком случае в « Арифметике » он обозначал специальными значками не только первую, но и вторую, третью, четвертую, даже пятую и шестую степени неизвестного. Например , квадрат неизвестного он обозна чал значком Δΰ (первые две буквы слова Δΰναμίς-«дюна мис»-«сила» ). Ну а если и числа, и неизвестные записаны специальными символами, то нелепо будет записывать сло вами указания о действиях над ними! И Диофант вместо слова «равняется» стал писать ίσ — две первые буквы слова ίσος («исос»-«равный»). Это слово тоже нам знакомо. Без сомнения мы слышали про изотопы, изобары, изотермы. Диофант придумал знак и для вычитания — им служила буква ψ(пси), только перевернутая, укороченная и упрощенная по форме, то есть вот такая: Λ . А без знака сложения Диофант обходился довольно — просто слагаемые записывал рядом друг с другом.

Диофант записал бы так:

Диофант записывал коэффициенты справа от неизвестных, кроме того, в уравнениях он обязательно ставил перед свободным членом значок Μ- первые две буквы слова Μονας(«монас»)- единица, то есть писал «тринадцать единиц». Диофант придумал еще несколько математических знаков, но их в наше время не применяют. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. В средневековой Европе мысли Диофанта получили широкое распространение и развитие. В 17-18 в.в. буквами для обозначения неизвестных (переменных) стали пользоваться уже все математики. Приемы решения уравнений попали в Европу особым путем, и здесь уже приходиться обращаться к страницам средневековой истории….

Решение в целых числах уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним переменным представляет собой одну из трудных проблем теории чисел. Некоторые виды таких уравнений были рассмотрены знаменитыми математиками древности : Пифагором (6в.до н.э), Диофантом (3в.н.э.). В память о последнем эти уравнения называются диофантовыми . Диофантовы уравнения во все времена привлекали внимание математиков. Ими занимались классики математики: П.Ферма (1601-1655), Л.Эйлер (1707-1783), Ж.Л.Лагранж (1736-1813), К.Ф.Гаусс (1777-1855), П.Л.Чебышев (1821-1894) и др. Им уделяют внимание и многие математики современности.

§2 Задачи, приводящие к диофантовым уравнениям.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)Скачать

Задача1.

Некто подошел к клетке , в которой сидели фазаны и кролики . Сначала он подсчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42 . Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке ?

Решение : Пусть X-число кроликов, а Y-число фазанов. Тогда по условию x+y=15. Но ведь у кролика 4 ноги, у фазана -2, значит, у всех кроликов -4x ног, а у всех фазанов –2yног , и по условию 4x+2y=42. Имеем систему уравнений
x+y=15,

Не только графиками интересны уравнения с двумя переменными. В задаче о фазанах и кроликах есть повод задуматься над таким вопросом : из уравнения y=-x+15 следует, что переменная Х может принимать любые значения, а вслед за ней соответственные и тоже любые значения может принимать и переменная Y. Любые! Но число кроликов, как и число фазанов, не может быть ни дробным, ни отрицательным! В условии задачи это подразумевается, но в записи x+y=15 об этом ничего не сказано. А между тем, зная это дополнительное условие, иногда можно обойтись и без второго уравнения, получив, вполне удовлетворяющие нас результаты из одного уравнения с двумя переменными.

Видео:Решите уравнение в целых числах 5x-4y=3 ➜ Как решать Диофантовы уравнения?Скачать

Задача2.

На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг. гвоздей, не вскрывая ящики?

Попробуем решить задачу, составив уравнение обычным путем. Итак, допустим, что задача решена: ящиков по 16 кг будет X штук, по 17 кг-Y штук, по 40 кг-Z штук. Всего выдано 100кг, отсюда уравнение:

И что делать с этим уравнением – совершенно непонятно. Но можно рассуждать и так:

Ящиков по 40 кг не может быть больше двух, ибо 40*3=120, это больше чем надо. И два тоже быть не может, ибо 40*2=80, 100-80=20, а 20кг можно набрать, только вскрыв, хотя бы один ящик. Может быть, взять один ящик по 40 кг, а оставшиеся 60 кг набрать, комбинируя ящики по 16 и 17 кг: если взять один ящик 17 кг., то останется 43 кг и набрать по 16 кг невозможно, если взять 2 ящика по 17 кг, то 60-17*2=26 и целых ящиков по 16кг не получится, если же взять 3 ящика по 17 кг, то останется 9кг., которые придется выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик. Получается, что ящики по 40кг нам вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придется ящики только по 16 и 17 кг. Значит, получается уравнение : 16x+17y=100. Но 100 не делится ни на 16, ни на 17, и, значит, надо посмотреть, что будет получаться, если из 100 вычитать 17, 17*2, 17*3, 17*4, 17*5. Если разность будет делиться на 16, то задача имеет решение, если нет – кладовщику придется вскрывать хотя бы один ящик. 83 на 16 не делится, 66-не делится, 49- не делится, но 32=16*2, и задача решена:17*4+16*2=100, то есть надо выдать 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг. Это решение единственное, то есть других вариантов нет. Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения задачи не нужны, пойти дальше иным путем. Если взять 6 ящиков по 16 кг, то есть подобрать такое число, делящееся на 16 , которое ближе всего к 100,то окажется, что до 100 не хватает 4 кг, значит 4 ящика из этих 6 надо заменить четырьмя ящиками по 17 кг, и получим тот же результат.

Вывод: Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них имеют практическое значение.

Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в любой другой. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут оказаться самыми разнообразными. И опять приходим к новому разделу математики. Этому разделу положил начало Диофант. Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так:

a, b, c в этом уравнении являются целыми числами, и ответ должен быть дан только в целых числах, другими словами, это уравнение полагалось «решить в целых числах». Такие уравнения теперь называют «диофантовыми»., раздел математики, изучающий их, называют « диофантовым анализом », В свою очередь, диофантов анализ является частью исключительно интересного раздела современной математики- теории чисел . В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых (их еще называют неопределенными ) уравнений. Мы будем рассматривать эти методы, но об этом далее….

Видео:Решите уравнение в целых числах: y²+1=2^x ➜ Как решать диофантовы уравненияСкачать

Задача3.

У мальчика было 50 коп., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 коп. и по 3 коп, но у киоскера совсем не было мелочи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося положения.

Решение: Эта задача, в отличие от предыдущей, имеет не одно, а несколько решений .

Аналогично рассуждая, получим, что задача имеет 4 различных решения:

2 марки по 4 коп и 14 марок по 3 коп; 8 марок по 4 коп и 6 марок по 3 коп;

5 марок по 4 коп, и 10 марок по 3 коп; 11 марок по 4 коп, и 2 марки по 3 коп; Простота жизненных ситуаций в задачах, приводящих к диофантовым уравнениям , заставляет предполагать, что люди, наверное, и до Диофанта умели решать такие задачи, не пользуясь какой-либо общей теорией, то есть

поступали примерно так, как бы это сделали бы мы при решении задачи о ящиках с гвоздями или о марках. Общие теории никогда не возникают на пустом месте. Сначала появляются отдельные задачи, а уж потом находятся люди, понимающие, что наступило время перехода от таких задач к общим приемам и методам.

Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения — теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте (известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал):

Видео:Линейные диофантовы уравненияСкачать

Задача4.

Если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный.

Этот факт использовали для построения углов на местности прямых углов — ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид — это надо было уметь. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы (см. рис.1)

В точке C, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали второй колышек в точке B(CB=4) и натягивали веревку так, чтобы AC=3,AB=5.Треугольник с такими длинами сторон называют египетским.
Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. И действительно, 3 2 +4 2 =5 2 . Говоря иначе, числа 3,4,5-корни уравнения:

Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений? Нетрудно догадаться, что числа 5,12,13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор. Один из путей решения уравнения X 2 +Y 2 =Z 2 в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел («квадратные числа» ,как говорили древние), отделив друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 ,100 , 121 , 144 , 169 , 196 ,……

3 ,5 , 7 , 9 ,11 ,13 ,15 ,17, 19, 21, 23, 25 , 27 , .

Есть ли в нижней строке квадратные числа? Да! Первое из них 9=3 2 , над ним 16=4 2 и 25=5 2 , знакомая нам тройка 3,4,5. Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку:5,12,13. Если мы продолжим строку квадратных чисел и подсчитаем соответствуюшие разности, то во второй строке найдем 49=7 2 , этому числу отвечают в строке квадратов 576=24 2 и 625=25 2 . И действительно, 7 2 +24 2 =25 2 . Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.

Кстати, мы имеем право сформулировать такую теорему:

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов .

Составлять такие строки (последовательности) – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже 2500 лет назад. Если X-нечетное число, то Y=(X 2 -1):2 и Z=(X 2 +1):2 .В этом случае равенство X 2 +Y 2 =Z 2 выполняется, то есть числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора» , а его решения – «пифагоровы тройки». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки: если X=3,то Y=(9-1):2=4, Z=(9=1):2=5 , получилась первая пифагорова тройка; X=5, тоY=(25-1):2=12, Z=(25+1):2=13, вторая тройка; X=7, то

Y= (49-1):2=24, Z= (49+1):2=25. Других мы пока не знаем, но следующее

за 7 нечетное число 9, тогда Y=40, Z=41. Проверим наши вычисления:

Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сделаем этот шаг и мы. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

Это и означает, что число X должно разлагаться на два неравных множителя Z+Yи Z-Y, которые мы обозначим так, что получится такая система:

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:

Z=a 2 +b 2 , Y=a 2 -b 2 , X=2ab

(при этом надо иметь в виду, что a>b)

Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим X,Y,Z. Получается Z=5, Y=4,X=3, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу (табл,1):

Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников:

Ясно, что таблицу можно расширить и вправо и вниз. Подчеркнем главное- уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников.

§3 Методы решения диофантовых уравнений

Видео:Решение уравнений в целых числахСкачать

Метод1. Свойства делимости и диофантовы уравнения.

Для решения некоторых диофантовых уравнений следует рассмотреть возможные остатки от деления одного целого числа на другое. При этом используются свойства:

— если целое число a при делении на m дает остаток r, то его квадрат при делении на m дает остаток, равный остатку от деления числа r 2 на m,

-если числа a,b при делении на m дают остатки r 1 ,r 2 , то число ab при делении на m дает остаток, равный остатку от деления r 1 r 2 на m.

Рассматриваются отдельно случаи, когда переменные принимают четные, нечетные значения. Рассмотрим уравнения, которые решаются с помощью указанного метода:

Задание: Решить в целых числах уравнения: (m,n[-N)

Решение: Квадрат целого числа (X 2 ) при делении на число 3 может давать остатки 0,1, но не 2, как этого требует уравнение. Поэтому данное уравнение в целых числах неразрешимо.

. 2) 3X 2 +6X+2=Y 2 3(X+1) 2 -1=Y 2 .

Решение: Квадрат целого числа (Y 2 ) при делении на 3 должно давать остаток 2, что невозможно.

Решение: Уравнение в цнлых числах неразрешимо, так как квадрат целого числа (Y 2 ) при делении на 5 может давать остатки 0,1,4,но не 2,3, как этого требует уравнение.

Решение: Уравнение в целых числах решения не имеет, так как квадрат целого числа при делении на 7 может давать остатки 0,1,2,4, но не 3,5,6, как этого требует уравнение.

Решение: Число 1967 при делении на 8 дает остаток 7 . Так как квадрат целого числа при на 8 дает остатки 0,1,4, то сумма квадратов трех целых чисел при делении на 8 может дать остатки: 0,1,2,3,4,5,6,но не 7. Целых решений уравнения не имеют.

6) a) X 2 -7Y 2 =0, X 2 -PY 2 =0, P-простое натуральное число.

Решение: Имеем уравнения: X 2 =7Y 2 , X 2 =PY 2 . Уравнения целых ненулевых решений не имеют, так как в левую часть простое число 7; P входит в четной степени, а в правую — в нечетной.

b) X 2 +3X+5=121Y 4X 2 +12X+20=4*121Y (2X+3) 2 =11(44Y-1) .

Так как (44Y-1) не делится на 11, то правая часть делится на 11 лишь в первой степени, в то время как левая часть уравнения делится на четную степень числа 11. Целых решений нет.

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ➜ Решите уравнение в целых числах 4x+5y=6Скачать

Метод 2 . Диофантовы уравнения, допускающие разложение на множители.

7) XY=X+Y (X-1)(Y-1)=1. Отсюда следует, что числа X-1,Y-1 оба равны либо 1, либо -1. Уравнение имеет два решения:

8) X+Y=1/10 (X-10)(Y-10)=100.

9) Уравнение XY=P(X+Y) (X-P)(Y-P)=P 2 . P-простое, P[-N.

Приравнивая числа X-P,Y-P, возможным делителям числаP 2 ,произведение которых равно P 2 , найдем множество решений :

10) X,Y[-N , XY+X+Y=2 32 2 32 =2 2 +1,XY+X+Y=2 2 +1.

Число Ферма 2 2 +1 составное и представимо в виде произведения двух простых множителей:

2 2 +1=641*6700417 .Множество натуральных решений:

Видео:Диофантовы уравнения x²+xy-y=2Скачать

Метод 3. Метод подстановки в решении диофантовых уравнений:

Некоторые диофантовы уравнения могут быть решены в рациональных числах при помощи подстановки. (см.[1]).

ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey=0

применим подстановку y=tx , получим :

x=(d+ct):(a+bt+ct 2 ); y=( d+et)t:(a+bt+et 2 ); t[-Q

Среди этих пар выбираем целые решения. Если в диофантовом уравнении второй степени с двумя переменными одно из переменных входит лишь во второй степени, то для нахождения целых решений таких уравнений могут быть применены подстановки Эйлера. К уравнению y 2 =k 2 x 2 +mx+n применяем первую подстановку Эйлера:

x=(n-t 2 ):(2kt-m); y=(km+kt 2 -mt):(2kt-m) ; t[-Z

К уравнению y 2 =lx 2 +mx+g 2 ; l=k 2 , применяем вторую подстановку Эйлера:

x=(2gt-m):(l-t 2 ), y=(gt 2 -mt+lg):(l-t 2 ), t[-Q

Отсюда могут быть найдены целые решения (x,y) уравнения , кроме (0; + g) и некоторых симметричных решений (x;-y) , которые следуют из формул, полученных при помощи подстановки y=-g+tx, t[-Q. К уравнению y 2 =lx 2 +mx+n, где l,n не являются квадратами целых чисел и квадратный трехчлен в правой части имеет рациональные корни: lx+mx+n=l(x-α)(x-β), применяем третью подстановку Эйлера: y=(x-α)t ,t[-Q.

x=(lβ-αt 2 ):(l-t 2 ); y=tl(β-α):(l-t 2 ),t[-Q

Среди этих решений уравнения содержатся все целые решения, кроме (α;0), если α[-Z . К кубическому уравнению вида:y 2 =a(x-α) 2 (x-β); a,α,β[-Z применяем подстановку y=t(x-α) ,t[-Q .

x=(t 2 +aβ):a; y=t(t 2 +aβ-aα):a ,t[-Q

Отсюда найдем все целые решения, кроме (α;0), которые существуют при целом t .

Видео:Решите уравнение в целых числах 6x^2+5y^2=74 ★ Диофантовы уравнения ★ Как решать?Скачать

Задание: Найти целочисленные решения следующих уравнений:

11) x 2 +y 2 =x+y , a=1,b=0,c=1,d=-1,e=-1

Решение: Применим подстановку y=tx , получим :

x=-(-1-t):(1+t 2 )=(1+t):(1+t 2 ); y=-t(-1-t):(1+t 2 )=2t:(1+t 2 ); ,t[-Q

x=(1+t):(1+t 2 )=(n 2 +mn):(n 2 +m 2 ).

Полученная дробь при n>1,m=n не является целым числом. Целые

решения при t=-1;0;1;(0;0);(1;0);(1;1) ,а также (0;1).

Решение: Применим первую подстановку Эйлера: y=x+m.

Тогда x=(2-m 2 ):(2m-1)=-1/2(m+(m-4):(2m-1)) . Ясно, что при m

Множество решений уравнения:

13) 2x 2 -5x+16-y 2 =0 y 2 =2x 2 -5x+16.

Решение: Применим вторую

подстановку Эйлера : y=4+tx. Полагая t=m:n; m,n[-Z.

НОД(m;n)=1,n>0, получим, что x делится на n и

x=(8t+5):(2-t 2 )=(8m+5n):(2n 2 -m 2 );y=4+[(8m+5n):(2n 2 -m 2 )m]

Целыми решениями уравнения будут, например, при

Решение: применяем третью подстановку Эйлера:

Тогда x=(t 2 +5):(t 2 -3)=1+8:(t 2 -3); y=8t:(t 2 -3)

При целых значениях t имеем (t 3 -3):8, что возможно при t=1;-1;2;1;-2 и

Полагая t=m/n; m,n[-Z, n>0, получим : x=1+8n:(m-3n); y=8mn:(m-3n)

Целые решения возможны, если -4n

кроме найденных ранее решений , получим: (-35;-60);(-35;60) ит.д.

15) y 2 =2x 3 -2x 2 -10x-6 y 2 =2(x+1) 2 (x-3).

Решение: Полагая y=t(x+1), получим x=(t 2 +6):2; y=t(t 2 +8):2, t[-Z. Числа x,y-целые, если t=2k,k[-Z

16) x y =y x ,x,y[-N,x=y

Пусть y>x. Полагаем y=(1+t)x, t[-N .Тогда x (1+t)x =y x x 1+t =y. Отсюда

x 1+t =(1+t)x, или x t =1+t.

Таким образом, x=(1+t) 1/t

Так как число x натуральное, то 1+t=m t ,m[-N .

Отсюда имеем t=m t -1=(m-1)(m t-1 +m t-2 +. +1).

При t>1: m>1 и, следовательно, m t-1 +m t-2 +. +m+1>t.

При t=1: m=2. Множество решений:

Решение: Из уравнения следует: 5x-1 , то есть 1

Решение: Для целого числа k, k=1:

Ни одно из чисел x,y,z не может быть отрицательным, так как, например, при x

Найдем решения, для которых 1 Другие решения получаются перестановкой. Итак, 1>1/x>1/y>1/z. Ясно, что x 3 имеем: 1/x+1/y+1/z

Видео:РЕШАЕМ ДИОФАНТОВОЕ УРАВНЕНИЕ | ПРОСТЫМИ СЛОВАМИСкачать

Метод 4. Сравнения и диофантовы уравнения.

Применим свойства сравнений к решению некоторых уравнений. Многие уравнения, решаемые с помощью свойств делимости, могут быть решены при помощи сравнений. Неопределенные уравнения с двумя неизвестными:

(D): ax+by=c , x,y[-Z ,a,b,c[-Z

Найти решения уравнения , то есть значения x,y[-Z. (a;b)=d

1. c не :d, то (D)-не имело бы решения
2. c:d

ax+by=c:d a=a 1 d , b=b 1 d , c=c 1 d.

a 1 x+b 1 y=c 1 следовательно (a 1 ;b 1 )=1.

Таким образом, пришли к выводу, что (a;b)=1 .

Видео:Как решать квадратные уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способСкачать

Теорема1. Если удовлетворяет сравнению ax=c(b), то пара чисел (x0;(c-ax0):b) является решением (D), где (a;b)=1.

Док-во : ax 0 =c(b)- верное числовое сравнение, следовательно,

разность чисел (c-ax 0 )/b[по определению сравнимых чисел],

значит, (c-ax 0 ):b-целое число. Подставим вместо x—-x 0 ,

y—-(c-ax 0 )/b. Если в результате получим c ,то все доказано.

ax 0 +b(c-ax 0 )/b=ax 0 +c-ax 0 =c;

В самом деле, пара (x 0 ;(c-ax 0 )/b)-решение(D).

Видео:Нелинейный диофант | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Теорема2 : Если (a,b)=1, то (D) имеет бесконечное множество целых решений, которые находятся по формулам:

(x 0 ;y 0 )- некоторое решение (D)

1) Покажем, что (x;y)- по формуле (*) решение (D).

a(x 0 -bt)+b(y 0 +at)=ax 0 -abt+by 0 +bat=c, так как[x 0 ,y 0 ]-решение(D).

2) Покажем, что любое решение (D) находится по этим

формулам(*); (x 0 ;y 0 )-некоторое решение (D).

Так как (x 0 ;y 0 )-решение(D) и пара (x;y) тоже берется как решение, тогда:

б)ax+by=c-верное числовое равенство;

Вычтем из а)-б): a(x 0 -x)+b(y 0 -y)=0 a(x 0 -x)=b(y-y 0 ),так как

b(y-y 0 ):a,[так как (a;b)=1], то y-y 0 :a;

По определению делимости следует, что существует t[-Z , такое что

Значит, (*) x=x 0 -bt

Видео:Решение диофантовых уравненийСкачать

Следствие: (D) ax+by=c в Z либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений, которые находятся по формулам(*).

Пример1 : Найти все целые решения:

(25,21)=1, (1) имеет бесконечное множество решений.

Уравнение (2) можно свести к сравнению первой степени:

4x= -4(21) /:4, так как (4;21)=1;

x= -1(21), то есть x=20(21);

21y=25x-17 y=(25*20-17):21=23, y 0 =23

Вместо 20 можно было взять -1

Видео:Как решать уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способ!Скачать

Указание:

Школьники решают (D) методом спуска. Систематическое изучение диофантовых уравнений в средней школе способствует привитию навыков самостоятельной работы в математике и играет большую роль в повышении уровня математической подготовки школьников.

Аналогично предыдущему примеру1 , из уравнения имеем:

3x=1(4). Откуда x=3(4) , то есть x=3+4t, t[-Z. Подставляя в

уравнение, найдем y=1-3t. Множество решений:

Видео:Решите уравнение в целых числах ➜ x²-y²=2023Скачать

Метод5. Метод спуска (*) :

Пример3: 5x 3 +11y 3 +13z 3 =0. Имеем сравнение: 5x 3 +11y 3 =0(13).

Так как a 3 =0;1;5;8;12(13), то число 5x 3 +11y 3 делится на 13 тогда и

только тогда, когда x=y=0(13). Поэтому x=13x 1 , y=13y 1 ,z=13z 1 .

Подставив в уравнение, получим: 5x 1 3 +11y 1 3 +13z 1 3 =0.

Продолжая этот процесс, получим, что числа x,y,z делятся на

любую натуральную степень числа 13. Это возможно лишь при

условии, когда x=y=z=0.

§4 Основные пифагоровы треугольники.

Задача о нахождении всех решений диофантовых уравнений второй степени.

Пример1. (**) Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно использовать как нахождение всех пифагоровых треугольников, то есть прямоугольных треугольников, у которых катеты x,y и гипотенуза z выражаются целыми числами. Обозначим через d=НОД(x,y). Тогда

x=x 1 d, y=y 1 d и уравнение(1) примет вид: x 1 2 d 2 +y 1 2 d 2 =z 2 . Отсюда следует,

что z 2 : на d 2 и, значит, z кратно d: z=z 1 d .Теперь уравнение (1) можно

записать в виде: x 1 2 d 2 +y 1 2 d 2 =z 1 2 d 2 ; сокращая на d 2 , получим: x 1 2 +y 1 2 =z 1 2 . Мы пришли к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины x 1 и y 1 не имеют общих делителей, кроме 1.Таким образом, при решении уравнения (1) можно ограничиться случаем, когда x и y взаимно просты. Итак, пусть(x;y)=1. Тогда хотя бы одна из величин x и y

(например, x будет нечетной). Перенося y 2 в правую часть уравнения (1)

получим: x 2 =z 2 -y 2 ; x 2 =(z-y)(z+y) (2). Обозначим через d 1 НОД выражений

z+y и z-y. Тогда z+x=ad 1 , z-y=bd 1 , (3) , где (a,b)=1. Подставляя во (2)

значения z+y и z-y , получим: x 2 =abd 1 2 . Так как числа a и b не имеют

общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда a и b будут полными квадратами (**) : a=U 2 ; b=V 2 .

Но тогда x 2 =U 2 V 2 d 1 2 ; x=UVd 1 (4). Найдем теперь y и z из равенств(3). Сложение этих равенств дает: 2z=ad 1 +bd 1 =U 2 d 1 +V 2 d 1 ; z=d 1 (U 2 +V 2 ):2 (5)

Вычитая второе из равенств (3) из первого, получим:

2y=ad 1 -bd 1 =U 2 d 1 -V 2 d 1 ; y=d 1 (U 2 -V 2 ):2 (6) . В силу нечетности x из (4) получаем, что U,V и d 1 также нечетны. Более того, d 1 =1, так как иначе из равенств x=UVd 1 и y=d 1 (U-V):2 следовало бы, что величины x и y имеют

общий делитель d 1 =1,что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа U и V связаны со взаимно простыми числами a и b равенствами: a=U 2 , b=V 2 и в силу этого сами взаимно просты: V 1 =1, получим формулы :

x=UV; y=(U 2 -V 2 ):2; z=(U 2 +V 2 ):2, (7),

дающие возможность при нечетных взаимнопростых U и V(V

x,y,z, удовлетворяющие уравнению (1). Простой подстановкой

x,y,z в уравнение(1) легко проверить, что при любых U и V

числа (7) удовлетворяют этому уравнению. Для начальных

значений и формулы (7) приводят к следующим часто

3 2 +4 2 =5 2 (V=1;U=3),

5 2 +12 2 =13 2 (V=1;U=5),

15 2 +8 2 =17 2 (V=3;U=5),

Как уже было сказано, формулы (7) дают только те решения уравнения

x 2 +y 2 =z 2 в которых числа x, y и z не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются домножением решений, содержащихся в формулах (7), на произвольный общий множитель d. Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (1), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

Пример2 : Найдем все решения уравнения (1): x 2 +2y 2 =z 2 в целых положительных, попарно простых числах x, y, z.

Заметим, что если x, y, z есть решения уравнения (1) и x, y, z не имеют общего делителя, отличного от 1,то они и попарно взаимно просты. Действительно, если x и y кратны простому числу p>2, то из равенства

следует, так как его левая часть – целое число, что z кратно p. То же самое будет, если x и y или y и z делятся на p.

Заметим, что х должно быть числом нечетным для того, что НОД(x,y,z)=1. Действительно, если х четно, то левая часть уравнения (1) будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но x 2 и z 2

будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что 2y 2 должно делиться на 4, другими словами, что y тоже должно быть четным числом. Значит, если х четно, то все числа x, y, z должны быть четными. Итак, в решении без общего, отличного от 1 делителя х должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и z должно быть тоже нечетным. Перенося x 2 в правую часть, получаем:

2y 2 =z 2 -x 2 =(z+x)(z-x);

Но НОД(z+x;z-x)=2. Действительно, пусть НОД(z+x;z-x)=d. Тогда

z+x=kd, z-x=ld, где k,l [ -Z.

Складывая и вычитая эти равенства, будем иметь:

Но z и x нечетны и НОД(z;x)=1. Поэтому НОД(2x;2z)=2. Отсюда следует, что d=2. Итак, или , или нечетно. Поэтому или числа

z+x и взаимно простые числа и z-x.

В первом случае из равенства (z+x)=y 2 , а во втором случае из равенства

(z-x)=y 2 следует , где n, m [-Z; m – нечетное число; n,m>0.

Решая эти две системы уравнений относительно x и z и находя y, мы получаем:

или , , y=mn, где m — нечетно.

Объединяя эти две формы представления решения x, y, z, мы получаем общую формулу: , y=mn, , где m – нечетно.

Но, для того, чтобы z, x [-Z, необходимо, чтобы n было четным. Полагая

n=2b, m=a, мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (1) в целых положительных, без общего делителя, большего 1, числах x, y, z:

(1 / ), y=2ab, z=a 2 +2b 2 , где a, b>0, НОД(a;b)=1, а – нечетно.

При этих условиях величины а и b выбираются произвольно, но так, чтобы х>0. Формулы (1) действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах x, y, z, так как, с одной стороны, доказано, что x, y, z в этом случае должны представляться по формулам (1 / ), а с другой стороны, если задать числа a и b, удовлетворяющие условиям, то x,y,z будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (1).

Нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма .

Ее автор, Пьер Ферма (1601-1665), еще при жизни был признан одним из величайших математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел , однако его теоретико-числовые работы были настолько революционны и так опережали свое время, что их значение не было понято современниками и слава Ферма основывалось главным образом на его достижениях в других областях математики: ему принадлежат важные труды по аналитической геометрии (наряду с Декартом Ферма был одним из создателей этой науки), по теории максимумов и минимумов функций, впоследствии развившейся в математический анализ, и по геометрической оптике.

Свои научные результаты Ферма не публиковал. Будучи по профессии

юристом, он посвящал математике свободное время и не рассматривал ее как главное дело своей жизни. А сделанных им открытиях известно из его переписки с другими учеными , а также из бумаг, оставшихся после его смерти. В частности, на полях своего экземпляра «Арифметики»

Диофанта, великого классического произведения древнегреческой математики, в 1621 году переведенного на латинский язык, Ферма оставил

48 замечаний, содержащих открытые им факты о свойствах чисел.

Доказательства Ферма до нас не дошли, однако в тех случаях, когда он утверждал ту или иную теорему, впоследствии эту теорему удавалось доказать. Единственным исключением является следующие утверждение: «Cubum autem in duos cubos aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos et generaliter nulam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstreationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet»(«Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком узки, чтобы оно здесь вместилось.»).

Этот текст, сопровождаемый указанием: «Наблюдение господина Пьера де Ферма», содержится в издании трудов Диофанта, которая было выпущено Ферма-сыном в 1670 году, через 5 лет после смерти отца. Это подлинное замечание, внесенное Ферма в его собственный экземпляр трудов Диофанта, в настоящее время утраченный каждому, кто держал в руках «Арифметику» Диофанта издания 1621 года, бросаются в глаза необычайно широкие поля — возможно, именно по этой причине Пьер Ферма записывал на них свои замечания.

Таким образом, в переводе на современный математический язык Ферма утверждал, что уравнение:

не имеет целочисленных решений с xyz=0.

Это утверждение называется последней (или великой ) теоремой Ферма .

В настоящие время все специалисты твердо уверены в том, что Ферма не обладал доказательством этой теоремы и, сверх того, что элементарными методами ее нельзя доказать.

§5 Алгебраические уравнения выше второй степени с тремя неизвестными

Если для уравнений с двумя неизвестными мы можем дать ответ на вопрос о существовании конечного или бесконечного числа решений на множестве Z, то для уравнений с более чем двумя неизвестными выше второй степени дать ответ на этот вопрос можно только для весьма частных классов уравнений.

Тем не менее, в этом последнем случае поддается разрешению и более трудный вопрос об определении всех решений уравнений в целых числах .

В качестве примера остановимся на великой теореме Ферма .

Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение:

не имеет решений в целых положительных числах x, y,z (случай xyz=0 исключается положительностью x, y,z).

Несмотря на то, что П. Ферма утверждал, что он имеет доказательство (по-видимому, методом с пуска, о котором будет речь ниже) этого утверждения, его доказательство впоследствии не было найдено.

Более того, когда математик Куммер попытался его найти и даже думал одно время, что он его нашел, он обнаружил, что одно положение, верное в области обычных целых чисел, оказывается неверным для более сложных числовых образований, с которыми естественно приходится сталкиваться при исследовании проблемы Ферма.

Это обстоятельство заключается в том, что так называемые целые алгебраические числа , — другими словами, корни алгебраических уравнений с целыми рациональными коэффициентами и с коэффициентом при старшей степени, равным 1, — могут не единственным способом быть разложены на простые, неразложимые в свою очередь, целые сомножители той же алгебраической природы.

Обычные же целые числа разлагаются на простые множители единственным образом. Например, 6=2*3 и не каких других разложений не допускает внутри совокупности обычных целых чисел. Рассмотрим совокупность всех целых алгебраических чисел вида , где m и n – обычные целые числа. Легко видеть, что сумма и произведение двух таких чисел опять будут числом той же совокупности. Совокупность чисел, обладающая тем свойством, что она содержит любые суммы и произведения чисел, в неё входящих, называется кольцом. По определению, в нашем кольце содержатся числа 2, 3, . Каждая из этих чисел в этом кольце, как легко можно установить, будет простым, то есть не будет представляться в виде произведения двух не равных единице целых чисел нашего кольца. Но

другими словами, число 6 не единственным образом разлагается на простые сомножители в нашем кольце. То же обстоятельство, не единственность разложения на простые сомножители, может иметь место и в других, более сложных, кольцах алгебраически целых чисел. Обнаружив это обстоятельство, Куммер убедился, что его доказательства общей великой теоремы Ферма не верно. Для преодоления трудностей, связанных с не единственностью разложения на множители, Куммером была построена теория идеалов, которая играет в настоящие время исключительно большую роль в алгебре и теории чисел. Но даже с помощью этой теории полностью доказать великую теорему Ферма Куммер не смог и доказал ее только для n, делящихся хотя бы на одно из так называемых регулярных простых чисел . Не останавливаясь на расшифровке понятия регулярного простого числа, мы можем указать только, что до настоящего времени неизвестно, существует ли только конечное число таких простых чисел или их бесконечное множество.

В настоящее время великая теорема Ферма доказана для многих n, в частности для любого n, делящегося на простое число, меньшее 100. Великая теорема Ферма сыграла большую роль в развитии математики благодаря связанному с попытками ее доказательства открытию теорий идеалов. Но при этом следует отметить, что совсем другим путем и по другому поводу эта теория была построена замечательным русским математиком Е. И. Золотаревым, умершим в расцвете своей научной деятельности. В настоящее время доказательство великой теоремы Ферма, особенно доказательство, построенное на соображениях теории чисел, может иметь только спортивный интерес. Конечно, если это доказательство будет получено новым и плодотворным методом, то значение его, связанное со значением самого метода, может быть и очень большим. Следует отметить, что попытки, делающиеся любителями математики и в наше время, доказать теорему Ферма совсем элементарными средствами обречены на неудачу. Элементарные соображения, опирающиеся на теорию делимости чисел, были использованы еще Куммером и дальнейшая их разработка самыми выдающимися математиками пока ничего существенного не дала.

Доказательство теоремы Ферма для случая n=4 методом спуска.

Теорема:

не имеет решений в целых числах x, y и z , xy z0.

Доказательство : Мы докажем даже более сильную теорему, именно, что уравнение

не имеет решений в целых числах x, y и z , xy z0.

Из этой теоремы уже следует непосредственно отсутствие решений у уравнения (1). Если уравнение (2) имеет решение в целых, отличных от нуля числах x, y, z, то можно предполагать, что эти числа попарно взаимно просты. Действительно, если есть решение, в котором числа x и y имеют наибольший общий делитель d>1, то

где (x 1 , y 1 )=1. Разделив обе части уравнения (2) на d 4 , мы будем иметь, что

x 1 4 +y 1 4 == z 1 2 . (3)

Но x 1 и y 1 – целые числа, значит, — тоже целое число. Если бы у z 1 и y 1 был общий делитель k>1, то x 1 2 в силу (3) должно было бы делиться на k, а значит, . Итак, мы доказали, что если существует решение уравнения (2) в целых, отличных от нуля числах, то существует также решения в целых, отличных от нуля и взаимно простых числах. Поэтому нам достаточно доказать, что уравнение два не имеет решений в целых, отличных от нуля и попарно взаимно простых числах. В дальнейшем ходе доказательства мы, говоря, что уравнение (2) имеет решение, будем предполагать, что оно имеет решение в целых, положительных и попарно взаимно простых числах.

В §4 мы доказали, что все решения уравнения (4) в целых положительных, попарно взаимно простых числах определяются по формуле и имеют вид:

где u и v- два любых нечетных, взаимно простых положительных числа.

Придадим несколько другой вид формулам (5), определяющим все решения уравнения (4). Так как u и v — нечетные числа, то, положив

мы определим числа u и v равенствами

u = a + b, v = a – b, (7)

где а и b – целые числа разной четности. Равенства (6) и (7) показывают, что любой паре нечетных взаимно простых чисел u и v соответствует пара взаимно простых чисел а и b разной четности и что любой паре взаимно простых чисел а и b разной четности соответствует пара взаимно простых нечетных чисел u и v.

Поэтому, сделав в (5) замену u и v на а и b, мы получим, что все тройки целых положительных и попарно взаимно простых чисел x,y,z (х – нечетное), являющиеся решениями уравнения (4), определяются по формулам

где а и b – два любых взаимно простых числа разной четности при условии, что x>0. Эти формулы показывают, что x и y разной четности. Если уравнение (2) имеет решение [x 0, y 0 , z 0 ], то это значит, что

[x 0 2 ] 2 +[y 0 2 ] 2 =z 0 2 ,

другими словами, что тройка чисел (x 0 2 , y 0 2 ,z 0 ) является решением уравнение (4). Но тогда должны существовать два числа а и b, а>b, взаимно простых и разной четности, таких, что

Мы допускаем при этом, для определенности, что x 0 — нечетно, y 0 — четно. Противоположное допущение ничего не изменило бы, так как было бы достаточно заменить x 0 на y 0 и наоборот. Но мы уже знаем, что квадрат нечетного числа дает в остатке 1 при делении на 4. Поэтому из равенства

следует, что а – нечетно, b – четно. В противном случае левая часть этого равенства при делении на 4 давала бы в остатке 1, а правая, так как мы предположили а–четным, b–нечетным, -1. Так как а–нечетно и (а,b)=1, то и (а, 2b)=1.

Но тогда из равенства

a=t 2 , 2b=s 2 , (11)

где t и s – какие-то целые числа. Но из соотношения (10) следует, что [x 0 , а, b] есть решение уравнения (4). Значит,

где m и n- некоторые простые числа разной четности. Из (11) имеем:

откуда в силу взаимной простоты m и n следует, что

где p и q-отличные от нуля целые числа. Так как и a=t 2 , то

q 4 +p 4 =t 2 , (13).

Поэтому (z0>1). (14)

Положив q=x 1 , p=y 1 , t=z 1 , мы видим, что если существует решение [x 0 ,y 0 ,z 0 ], то должно существовать и другое решение [x 1 ,y 1 ,z 1 ], причем 0 1 0 . Этот процесс получения решений уравнения (2) можно получать неограниченно, и мы получим последовательность решений

[x 0 , y 0 , z 0 ], [x 1 , y 1 , z 1 ], …, [x n , y n , z n ], … ,

причем целые положительные числа z 0 , z 1 , z 2 ,…, z n , …будут монотонно убывать; другими словами, будут верны неравенства

z 0 > z 1 > z 2 >…> z n >…

Но целые положительные числа не могут образовать бесконечную монотонно убывающую последовательность, так как в такой последовательности не может быть больше z 0 членов. Мы пришли, таким образом, к противоречию, предположив, что уравнение (2) имеет хотя бы одно решение в целых x, y, z, xyz=0. Этим доказано, что уравнение (2) не имеет решений. Следовательно, и уравнение (1) не имеет решений в целых положительных числах [x,y,z], так как в противном случае, если [x,y,z]- решение (1), то [x,y,z 2 ]- решение (2).

Метод доказательства, которым мы пользовались, заключавшийся в построении с помощью одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающими положительными z, называется методом спуска. Как мы уже говорили выше, осуществить этот метод в общем случае теоремы Ферма мешает пока не единственность разложения целых чисел алгебраических колец на простые сомножители того же кольца (См.[1]).

Заметим, что мы доказали отсутствие целых решений не только у уравнения (2), но и у уравнения

Любопытно отметить, то уравнение

имеет бесчисленное множество решений в целых положительных числах, например x=2, y=3, z=5.

Пример. Докажем, что уравнение

x 4 +2y 4 =z 2 (15)

не имеет решений в целых, отличных от нуля числах x,y, z .

Допустим, что уравнение (15) имеет решение в целых положительных числах

[x 0 , y 0 , z 0 ]. Эти числа мы сразу можем предполагать взаимно простыми, так как если бы они имели бы НОД=d>1, то числа x 0 /d, y 0 /d, z 0 /d 2 также были бы решением уравнения (15). Наличие общего делителя у двух из них влекло бы за собой существование общего делителя у всех трех. Кроме того, предположим, что z 0 – наименьшее из всех возможных z в решениях (15) в целых положительных числах. Так как [x 0 ,y 0 ,z 0 ] –решение уравнения (15), то [x 0 2 ,y 0 2 ,z] будут решением уравнения

x 2 +2y 2 =z 2 (16)

Пользуясь формулами(1’) из §4,Пример2, дающими все целые положительные решения (16), мы видим, что существуют такие целые положительные a и b, (a,b)=1 , a нечетно, которые удовлетворяют равенствам

x 0 2 = +(a 2 -2b 2 ), y 0 2 =2ab, z 0 =a 2 +2b 2 (17)

Из равенства y02 =2ab следует, что b само должно быть четно, так как y четно, y делится на 4, а a нечетно. Так как (b/2,a)=1, то из равенства

непосредственно следует, что

где m и n- целые положительные и (m,2n)=1. Но из (17) следует

x 0 2 =+(a 2 -2b 2 )=+[a 2 -8(b/2) 2 ], (18)

где a и x 0 — нечетны. Мы уже видели, что квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1.Поэтому левая часть (18) при делении на 4 дает в остатке 1. Значит, в равенстве (18) скобка в правой части может входить только с плюсом. Теперь равенство (18) можно записать уже в форме

x 0 2 +2(2n 2 ) 2 =(m 2 ) 2 , (19)

где x 0 , n, m-целые положительные и взаимно простые числа. Значит, числа x 0 , 2n 2 , m 2 образуют решение уравнения (16), причем x 0 , m 2 , 2n 2

взаимно просты. Поэтому в силу формул (1’),§4,Пример2 найдутся такие целые числа p и q, p-нечетно, (p,q)=1, что

2n 2 =2pq, m 2 =p 2 +2q 2 , x 0 =+(p 2 -2q 2 ). (20)

Но так как (p, q)=1 и n 2 =pq, то p=s 2 , q=r 2 , где s и r-целые взаимно простые числа. Отсюда окончательно следует соотношение

s 4 +2r 4 =m 2 , (21)

которое показывает, что числа s, r, m образуют решение уравнения (15). Но из вышеполученных равенств

z 0 =a 2 +2b 2 , a=m 2 .

следует, что z 0 > m. Итак, имея решение [x 0 , y 0 , z 0 ], мы нашли другое решение

[s, r, m], причем 0 0 . Это же противоречит предположению, аоторое мы сделали, что решение [x 0 , y 0 , z 0 ] имеет другое решение z 0 наименьшим из возможных. Таким образом, мы пришли к противоречию, допустив существование решения у уравнения (15), и доказали, что это уравнение неразрешимо в целых, отличных от нуля числах.

Вывод:

Более трехсот лет теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила беспрецедентным стимулом для развития математики. При попытках ее доказать были разработаны мощные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики- теории алгебраических чисел. С помощью теоретико –числовой техники теорема Ферма была проверена для всех n

1. Химчин А.Я. «Великая теорема Ферма»
2. Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения», М.:Наука,1972г.
3. Гельфонд А.О. «Решение уравнений в целых числах», М, 1957г.
4. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма// Соросовский образовательный журнал. 1998г.№2.Стр.135-138.
5. Хамов Г.Г. «Элементы теории диофантовых уравнений в задачах и
6. упражнениях», Учебное пособие, С-П.:1986г.