Про уравнения - легко » Статьи

Решение квадратного уравнения с дробью

Обновлено
Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение Решение квадратного уравнения с дробью.

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

  • найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
  • заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
  • решить получившееся целое уравнение,
  • исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

Решение квадратного уравнения с дробью.

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

Решение квадратного уравнения с дробью.

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение квадратного уравнения с дробью.

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —

Решение квадратного уравнения с дробью.

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

Решение квадратного уравнения с дробью

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение квадратного уравнения с дробью.

Если x = -3 , то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

Решение квадратного уравнения с дробью,

то же самое, если x = 3 .

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

Решение квадратного уравнения с дробью.

Общий знаменатель — выражение

Решение квадратного уравнения с дробью

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Решение квадратного уравнения с дробью

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение квадратного уравнения с дробью.

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

Решение квадратного уравнения с дробью.

Решение. Введём новую переменную, обозначив Решение квадратного уравнения с дробью. Получим уравнение с переменной y :

Решение квадратного уравнения с дробью.

Корни этого уравнения:

Решение квадратного уравнения с дробью

Решение квадратного уравнения с дробьюили Решение квадратного уравнения с дробью.

Из уравнения Решение квадратного уравнения с дробьюнаходим, что

Решение квадратного уравнения с дробью.

Из уравнения Решение квадратного уравнения с дробьюнаходим, что

Решение квадратного уравнения с дробью.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

Решение квадратного уравнения с дробью, Решение квадратного уравнения с дробью.

Содержание
  1. Решение уравнений с дробями
  2. Понятие дроби
  3. Основные свойства дробей
  4. Понятие уравнения
  5. Понятие дробного уравнения
  6. Как решать уравнения с дробями
  7. 1. Метод пропорции
  8. 2. Метод избавления от дробей
  9. Что еще важно учитывать при решении
  10. Универсальный алгоритм решения
  11. Примеры решения дробных уравнений
  12. Решить уравнение с дробями онлайн
  13. Калькулятор
  14. Инструкция
  15. Что такое уравнение с дробями
  16. 📸 Видео

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Решение уравнений с дробями

Решение квадратного уравнения с дробью

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравнения

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминанта

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Решение квадратного уравнения с дробью Решение квадратного уравнения с дробью

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Решение квадратного уравнения с дробью Решение квадратного уравнения с дробью

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Математика 5 класс. Умножение, деление, сокращение обыкновенных дробейСкачать

Математика 5 класс. Умножение, деление, сокращение обыкновенных дробей

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Решение квадратного уравнения с дробью

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Решение квадратного уравнения с дробью

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Решение квадратного уравнения с дробью

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Решение квадратного уравнения с дробью

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Решение квадратного уравнения с дробью

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияРешение квадратного уравнения с дробью

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решение квадратного уравнения с дробью

Переведем новый множитель в числитель..

Решение квадратного уравнения с дробью

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Решение квадратного уравнения с дробью

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

    • Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

    5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

    Решить уравнение с дробями онлайн

    При помощи калькулятора можно решать уравнение с дробями. Для этого просто введите заданные дроби и быстро получите результат. Калькулятор простой в использовании и выдаёт только точный ответ.

    Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

    Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

    Калькулятор

    Видео:Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

    Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетитор

    Инструкция

    Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

    Шаг 1. Введите заданный пример, состоящий из дробей.

    Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить”.

    Шаг 3. Получите подробный результат.

    Чтобы калькулятор посчитал дроби правильно, вводите дробь через знак: “/”. Например: Решение квадратного уравнения с дробью. Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.

    Видео:Как быстро решать квадратные уравнения #егэ2024Скачать

    Как быстро решать квадратные уравнения #егэ2024

    Что такое уравнение с дробями

    Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Линейные уравнения с дробями решается по стандартной схеме: неизвестные переносятся в одну сторону, а известные – в другую.

    Рассмотрим на примере:

    Решение квадратного уравнения с дробью

    Дроби с неизвестными переносятся влево, а остальные дроби – вправо. Когда переносятся числа за знак равенства, тогда у чисел знак меняется на противоположный:

    Решение квадратного уравнения с дробью

    Решение квадратного уравнения с дробью

    Теперь нужно выполнить только действия обеих частей равенства:

    Решение квадратного уравнения с дробью.

    Получилось обыкновенное линейное уравнение. Теперь нужно поделить левую и правую части на коэффициент при переменной.

    Средняя оценка 2.5 / 5. Количество оценок: 66

    📸 Видео

    Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

    Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

    Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

    Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

    Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

    Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.

    Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

    Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

    Квадратное уравнение. 1 урок.Скачать

    Квадратное уравнение. 1 урок.

    Алгебра 9 класс. 8 сентября. квадратные уравненияСкачать

    Алгебра 9 класс. 8 сентября. квадратные уравнения

    Теорема Виета за 30 сек🦾Скачать

    Теорема Виета за 30 сек🦾

    Как решать неполные квадратные уравнения.Скачать

    Как решать неполные квадратные уравнения.
    Поделиться или сохранить к себе: