Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Алгебра

План урока:

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Видео:✓ Иррациональное уравнение | ЕГЭ-2018. Задание 12. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Иррациональное уравнение | ЕГЭ-2018. Задание 12. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Видео:Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shorts

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Видео:Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Видео:Иррациональные уравнения / 2 часть ЕГЭ профильСкачать

Иррациональные уравнения / 2 часть ЕГЭ профиль

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Видео:Ограничения в иррациональных уравнениях #shorts #ЕГЭ #ОГЭ #математика #подготовкакегэ #егэматематикаСкачать

Ограничения в иррациональных уравнениях #shorts #ЕГЭ #ОГЭ #математика #подготовкакегэ #егэматематика

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√=g(x)$ или $√=√$
  2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√^2=(g(x))^2$ или $√^2=√^2$
  3. Решить полученное рациональное уравнение.
  4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Обе части уравнение возведем в квадрат:

Получаем квадратное уравнение:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

  1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√$

Возведем обе части уравнения в квадрат

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

Приводим подобные слагаемые:

Найдем корни уравнения через дискриминант:

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Видео:Иррациональные неравенства | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать

Иррациональные неравенства | Математика ЕГЭ | Умскул

Методы решения иррациональных уравнений
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10 класс)

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Приведенны примеры решения иррациональных уравнений различными методами

Видео:ЗАДАНИЕ 5 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.Скачать

ЗАДАНИЕ 5 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Скачать:

ВложениеРазмер
metody_resheniya_irratsionalnyh_uravneniy.ppt703 КБ
metody_resheniya_irratsionalnyh_uraneniy.doc465 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:Иррациональные уравнения — часть 1Скачать

Иррациональные уравнения — часть 1

Подписи к слайдам:

Методы решения иррациональных уравнений Учитель математики: Орлова С.Г. МАОУ «Полесская СОШ»

Метод возведения в степень Пример 1. 5х – 1 = 4х 2 – 4х + 1 4х 2 – 9х + 2 = 0 х 1,2 = х 1 = 2 х 2 = Ответ: 2. посторонний корень Проверка: х =

Пример 2. 8х + 1 + 2х – 2 – 2 = 7х + 4 + 3х – 5 – 2 (8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5) х = 3; х = — Проверка : х= — посторонний корень Ответ: 3.

Пример 3. Ответ: . х 3х 2 т.к. 3х 2 . 3х 2 = 2 х 1 = — х 2 = , то Проверка : х = — посторонний корень

Метод составления смешанной системы Пример. Ответ: 7. Решение уравнений вида Решение уравнений вида

Пример 1. Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной

Пример 2. Пусть х = у 2 + 1 |y – 2| + |y – 3| = 1

1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10]

Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно

Метод умножения на сопряженное выражение Пример. (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х 1 , х 2 — корни уравнения . | . ( ) Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим: | : 2

Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений Пример 1. a 3 + 1 – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = — 2 х = — 1 х = — 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7.

Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. Пример. f(x) = f(x) = 8 x = 4 возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4.

Самостоятельная работа Задание: решите уравнение.

При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ ? Ответ

Пример 3. ? Ответ

Пример 4. ? Ответ

Пример 5. ? Ответ

Пример 6. ? Ответ

Пример 7. ? Ответ

Пример 8. ? Ответ

Пример 1. х Т.к. , то 2х = 4 х = 2 П оказатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой можно найти по формуле Проверка: next

Пример 2 . Пусть y > 0. Получим уравнение Тогда у 2 + 3у – 4 = 0 у 1 = 1, у 2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0) 2 – х = 2 + х х = 0 Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения. Ответ: 0. next

х = 4 Ответ: 4. Пример 3. next

(1) | ∙ х=0 или Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим Ответ: -3; 0; 3. Пример 4. next

Пример 5. 1) 2) х – 3 = 27 х – 3 = -64 х = 30 х = -61 Ответ: -61; 30. next

Пример 6 . Пусть 2х – 5 = у 2 |  |y + 1| + |y + 3| = 14, т.к. у  0, то | y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3 у + 1 + у + 3 = 14 2у = 10 у = 5 Тогда х = 15. Ответ: 15. next

Пример 7. Пусть f(x) = D(f) = Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня на указанном промежутке. Подбором определяем: х = 1. Ответ: 1. next

Метод возведения в степень х 3х 2 т.к. 3х 2 . 3х 2 = 2 х 1 = — х 2 = Ответ: . , то Проверка : х = — посторонний корень назад

Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной назад

Метод составления смешанной системы Решение уравнений вида назад

Метод умножения на сопряженное выражение (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 | . ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х 1 , х 2 — корни уравнения . ( ) назад

Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений a 3 + 1 – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = — 2 х = — 1 х = — 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7. назад

Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. f(x) = f(x) = 8 x = 4 Пример. возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4. назад

Метод введения новой переменной . Пусть х = у 2 + 1 |y – 2| + |y – 3| = 1

1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10] назад

Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно назад

или х = 1 D Орлова Светлана Григорьевна, учитель математики

Методы решения иррациональных уравнений.

  • Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
  • Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
  • Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.
  1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
  2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;
  3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
  4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
  5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.
  • Тип урока: комбинированный
  • Информационно- иллюстративный;
  • репродуктивный;
  • проблемный диалог;
  • частично-поисковый;
  • системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

  • Фронтальная,
  • групповая,
  • самопроверка,
  • взаимопроверка,
  • коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия : 2 урока по 45 минут.

  1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
  2. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
  3. Изучение нового материала.
  4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
  5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
  6. Задание на дом.
  1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
  2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.
  • Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует .

  • Основные методы решения иррациональных уравнений.
  1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути :

  1. использование равносильных преобразований

для уравнения вида Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

для уравнения вида Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. после возведения в степень выполнение проверки , так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 2: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 3: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математикеПроверка: x=2 Решение иррациональных уравнений егэ по математикеx=5 Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике— посторонний корень

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Сделаем замену Решение иррациональных уравнений егэ по математикепричём Решение иррациональных уравнений егэ по математикетогда Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математикене удовлетворяет условию Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Возвращаемся к замене:

Решение иррациональных уравнений егэ по математикеПроверка показывает, что оба корня подходят.

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: Решение иррациональных уравнений егэ по математике.

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

Решение иррациональных уравнений егэ по математике, Решение иррациональных уравнений егэ по математике.

Тогда, Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения Решение иррациональных уравнений егэ по математике.

Имеем систему уравнений Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Т.к. а + в = 4, то Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Значит: Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике9 – x = 8 , х = 1.

  1. Метод разложения на множители или расщепления.
  • Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

  1. Умножение на сопряжённое выражение.
  2. Переход к модулю.
  3. Использование свойств функции:
  • Область определения функции (ОДЗ)
  • Область значения функции
  • Свойство ограниченности функции (метод оценок)
  • Свойство монотонности
  • Использование суперпозиций функций
  • Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 8: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Для этого метода воспользуемся тождеством: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 9: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Если Решение иррациональных уравнений егэ по математике, то Решение иррациональных уравнений егэ по математике, тогда Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математикетогда Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Если Решение иррациональных уравнений егэ по математике, тогда Решение иррациональных уравнений егэ по математикеРешение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Если Решение иррациональных уравнений егэ по математике, тогда Решение иррациональных уравнений егэ по математике, а Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Использование свойств функции:
  • Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

ОДЗ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математикеОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 11: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике, тогда Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Тогда Решение иррациональных уравнений егэ по математикеневозможно.

Ответ: корней нет.

  • Область значений функции

Пример 12: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция Решение иррациональных уравнений егэ по математикеможет принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция Решение иррациональных уравнений егэ по математикеможет принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математикенеравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

  • Свойство ограниченности функции (метод оценок)
  • Если Решение иррациональных уравнений егэ по математикеи Решение иррациональных уравнений егэ по математике, то Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 14: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Заметим, что Решение иррациональных уравнений егэ по математике, т.е. Решение иррациональных уравнений егэ по математике, а Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математикеПроверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Свойство монотонности
  • Пусть Решение иррациональных уравнений егэ по математике— функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I . Тогда уравнение Решение иррациональных уравнений егэ по математикеимеет на промежутке I не более одного корня.
  • Пусть Решение иррациональных уравнений егэ по математике— функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция Решение иррациональных уравнений егэ по математике— убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение Решение иррациональных уравнений егэ по математикеимеет на промежутке I . не более одного корня

Пример 15: . Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Рассмотрим функции Решение иррациональных уравнений егэ по математикеи Решение иррациональных уравнений егэ по математике.

Решение иррациональных уравнений егэ по математикемонотонно возрастает, а Решение иррациональных уравнений егэ по математике— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Пример 16: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Функция Решение иррациональных уравнений егэ по математикевозрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение Решение иррациональных уравнений егэ по математикеимеет не более одного корня. Так как Решение иррациональных уравнений егэ по математике, то Решение иррациональных уравнений егэ по математике— единственный корень .

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  • Использование суперпозиций функций
  • Если Решение иррациональных уравнений егэ по математике— монотонно возрастающая функция, то уравнения Решение иррациональных уравнений егэ по математикеи Решение иррациональных уравнений егэ по математикеравносильны.

Пример 17: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Запишем уравнение в виде Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Рассмотрим функцию Решение иррациональных уравнений егэ по математике— монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике. Оно равносильно уравнению Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Сделаем замену Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математикене удовлетворяет условию Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Ответ: Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу: Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике

2 3 4 Решение иррациональных уравнений егэ по математике Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

  1. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
  2. Задание на дом:

  1. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  2. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  3. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  4. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  5. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  6. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  7. Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  8. * Решение иррациональных уравнений егэ по математике
  1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
  2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2
  3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989
  4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.
  5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

Вариант 1 (1,3,5 группы).

  1. Возведи обе части в квадрат:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Используй свойства функций:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Вариант 2 ( 2,4,6 группы)

  1. Возведи обе части в квадрат:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Используй свойства функций:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Проверочная работа по теме: « Методы

  1. Возведи обе части в квадрат:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Используй свойства функций:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

решения иррациональных уравнений »

  1. Возведи обе части в квадрат:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

  1. Используй свойства функций:

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Видео:Иррациональные уравнения на ЕГЭ 2024 по математике | Эрик ЛегионСкачать

Иррациональные уравнения на ЕГЭ 2024 по математике | Эрик Легион

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Разработка урока «Методы решения иррациональных уравнений»

Цель урока: познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию у.

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Конспект урока – практикума по алгебре и началам анализа с презентацией по теме «Методы решения иррациональных уравнений»

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе физико – математического профиля. Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме. Подготовка учащихся к ЕГЭ. В заданиях Единого государственного .

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Формирование познавательных способностей на основе овладения методами решения иррациональных уравнений при личностно-ориентированном развивающем обучении

В статье рассматриваются различные методы решения иррациональных уравнений. Использование нестандартных методов при решении уравнений, способствует активному участию ученика в образовательной деятельн.

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Методы решения иррациональных уравнений

Разработка урока по данной теме.

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Методы решения иррациональных уравнений -11 класс

В данной статье рассматриваются методы решений иррациональных уравнений.

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Методы решения иррациональных уравнений

Рассмотрены различные методы решения иррациональных уравнений и заданий с параметром.

Решение иррациональных уравнений егэ по математике

Методические разработки к элективному курсу «Методы решений иррациональных уравнений»

Предлагаемый элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение.

📹 Видео

ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Иррациональное уравнениеСкачать

ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Иррациональное уравнение

ВСЕ виды уравнений. Задание 5Скачать

ВСЕ виды уравнений. Задание 5

Математика ЕГЭ 2019. Решение иррациональных уравненийСкачать

Математика ЕГЭ 2019. Решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

Задание 6 ЕГЭ профиль. Иррациональные уравнения.Скачать

Задание 6 ЕГЭ профиль. Иррациональные уравнения.

Когда начинать готовиться к ЕГЭ?Скачать

Когда начинать готовиться к ЕГЭ?

Иррациональное уравнение 1 задание ЕГЭ профильная математикаСкачать

Иррациональное уравнение 1 задание ЕГЭ профильная математика

Более сложные иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения Часть 2 из 2Скачать

Более сложные иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения Часть 2 из 2
Поделиться или сохранить к себе: