План урока:
- Иррациональные уравнения
- Простейшие иррациональные уравнения
- Уравнения с двумя квадратными корнями
- Введение новых переменных
- Замена иррационального уравнения системой
- Уравнения с «вложенными» радикалами
- Иррациональные неравенства
- Иррациональные уравнения
- Методы решения иррациональных уравнений материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10 класс)
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Подписи к слайдам:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- 📹 Видео
Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Видео:✓ Иррациональное уравнение | ЕГЭ-2018. Задание 12. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Видео:Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Видео:Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Видео:Иррациональные уравнения / 2 часть ЕГЭ профильСкачать
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Видео:Ограничения в иррациональных уравнениях #shorts #ЕГЭ #ОГЭ #математика #подготовкакегэ #егэматематикаСкачать
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать
Иррациональные уравнения
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√=g(x)$ или $√=√$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√^2=(g(x))^2$ или $√^2=√^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Обе части уравнение возведем в квадрат:
Получаем квадратное уравнение:
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√$
Возведем обе части уравнения в квадрат
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
Приводим подобные слагаемые:
Найдем корни уравнения через дискриминант:
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Видео:Иррациональные неравенства | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать
Методы решения иррациональных уравнений
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10 класс)
Приведенны примеры решения иррациональных уравнений различными методами
Видео:ЗАДАНИЕ 5 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.Скачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
metody_resheniya_irratsionalnyh_uravneniy.ppt | 703 КБ |
metody_resheniya_irratsionalnyh_uraneniy.doc | 465 КБ |
Предварительный просмотр:
Видео:Иррациональные уравнения — часть 1Скачать
Подписи к слайдам:
Методы решения иррациональных уравнений Учитель математики: Орлова С.Г. МАОУ «Полесская СОШ»
Метод возведения в степень Пример 1. 5х – 1 = 4х 2 – 4х + 1 4х 2 – 9х + 2 = 0 х 1,2 = х 1 = 2 х 2 = Ответ: 2. посторонний корень Проверка: х =
Пример 2. 8х + 1 + 2х – 2 – 2 = 7х + 4 + 3х – 5 – 2 (8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5) х = 3; х = — Проверка : х= — посторонний корень Ответ: 3.
Пример 3. Ответ: . х 3х 2 т.к. 3х 2 . 3х 2 = 2 х 1 = — х 2 = , то Проверка : х = — посторонний корень
Метод составления смешанной системы Пример. Ответ: 7. Решение уравнений вида Решение уравнений вида
Пример 1. Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной
Пример 2. Пусть х = у 2 + 1 |y – 2| + |y – 3| = 1
1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10]
Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно
Метод умножения на сопряженное выражение Пример. (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х 1 , х 2 — корни уравнения . | . ( ) Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим: | : 2
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений Пример 1. a 3 + 1 – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = — 2 х = — 1 х = — 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7.
Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. Пример. f(x) = f(x) = 8 x = 4 возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4.
Самостоятельная работа Задание: решите уравнение.
При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ ? Ответ
Пример 3. ? Ответ
Пример 4. ? Ответ
Пример 5. ? Ответ
Пример 6. ? Ответ
Пример 7. ? Ответ
Пример 8. ? Ответ
Пример 1. х Т.к. , то 2х = 4 х = 2 П оказатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой можно найти по формуле Проверка: next
Пример 2 . Пусть y > 0. Получим уравнение Тогда у 2 + 3у – 4 = 0 у 1 = 1, у 2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0) 2 – х = 2 + х х = 0 Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения. Ответ: 0. next
х = 4 Ответ: 4. Пример 3. next
(1) | ∙ х=0 или Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим Ответ: -3; 0; 3. Пример 4. next
Пример 5. 1) 2) х – 3 = 27 х – 3 = -64 х = 30 х = -61 Ответ: -61; 30. next
Пример 6 . Пусть 2х – 5 = у 2 | |y + 1| + |y + 3| = 14, т.к. у 0, то | y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3 у + 1 + у + 3 = 14 2у = 10 у = 5 Тогда х = 15. Ответ: 15. next
Пример 7. Пусть f(x) = D(f) = Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня на указанном промежутке. Подбором определяем: х = 1. Ответ: 1. next
Метод возведения в степень х 3х 2 т.к. 3х 2 . 3х 2 = 2 х 1 = — х 2 = Ответ: . , то Проверка : х = — посторонний корень назад
Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной назад
Метод составления смешанной системы Решение уравнений вида назад
Метод умножения на сопряженное выражение (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 | . ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х 1 , х 2 — корни уравнения . ( ) назад
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений a 3 + 1 – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = — 2 х = — 1 х = — 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7. назад
Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. f(x) = f(x) = 8 x = 4 Пример. возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4. назад
Метод введения новой переменной . Пусть х = у 2 + 1 |y – 2| + |y – 3| = 1
1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10] назад
Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно назад
или х = 1 D Орлова Светлана Григорьевна, учитель математики
Методы решения иррациональных уравнений.
- Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
- Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
- Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.
- Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
- Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;
- Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
- Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
- Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.
- Тип урока: комбинированный
- Информационно- иллюстративный;
- репродуктивный;
- проблемный диалог;
- частично-поисковый;
- системные обобщения.
Формы организации учебной деятельности:
- Фронтальная,
- групповая,
- самопроверка,
- взаимопроверка,
- коллективные способы обучения.
Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.
Продолжительность занятия : 2 урока по 45 минут.
- Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
- Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
- Изучение нового материала.
- Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
- Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
- Задание на дом.
- Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
- Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.
- Определение иррационального уравнения.
Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.
Назовите иррациональные уравнения:
- Что значит решить иррациональное уравнение?
Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует .
- Основные методы решения иррациональных уравнений.
- Уединение радикала. Возведение в степень.
a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути :
- использование равносильных преобразований
для уравнения вида
для уравнения вида
- после возведения в степень выполнение проверки , так как возможно появление посторонних корней
b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Проверка: x=2 x=5
— посторонний корень
Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.
Пример 4:
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ:
- Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены
Пример 5:
Сделаем замену причём тогда
не удовлетворяет условию
Возвращаемся к замене:
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.
Пример 6: .
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
, .
Тогда,
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .
Имеем систему уравнений
Т.к. а + в = 4, то
Значит: 9 – x = 8 , х = 1.
- Метод разложения на множители или расщепления.
- Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Пример 7:
- Изучение нового материала.
Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.
- Умножение на сопряжённое выражение.
- Переход к модулю.
- Использование свойств функции:
- Область определения функции (ОДЗ)
- Область значения функции
- Свойство ограниченности функции (метод оценок)
- Свойство монотонности
- Использование суперпозиций функций
- Умножение на сопряжённое выражение.
Воспользуемся формулой
Пример 8:
Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:
Проверка показывает, что число является корнем.
Ответ:
Для этого метода воспользуемся тождеством:
Пример 9:
- Если , то , тогда
тогда
- Если , тогда ,а
- Если , тогда , а
- Использование свойств функции:
- Область определения функции (ОДЗ)
Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.
Пример 10:
ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1
Проверка показывает, что только x=1 является корнем.
Ответ:
Пример 11:
, тогда
Тогда невозможно.
Ответ: корней нет.
- Область значений функции
Пример 12:
Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция может принимать только неотрицательные значения.
Ответ: корней нет
Пример 13:
Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:
неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.
Ответ: корней нет
- Свойство ограниченности функции (метод оценок)
- Если и , то
Пример 14:
Заметим, что , т.е. , а
Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.
Ответ:
- Свойство монотонности
- Пусть — функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I . Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.
- Пусть — функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция — убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I . не более одного корня
Пример 15: .
Рассмотрим функции и .
монотонно возрастает, а — убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Значение корня легко найти подбором:
Ответ:
Пример 16:
Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то — единственный корень .
Ответ:
- Использование суперпозиций функций
- Если — монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.
Пример 17:
Запишем уравнение в виде
Рассмотрим функцию — монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению
Сделаем замену
не удовлетворяет условию
Ответ:
- Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
Решение уравнений в группах по 6 человек.
Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.
После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:
2 3 4
Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.
Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.
Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.
- Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
- Задание на дом:
- *
- Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
- Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2
- Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989
- Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.
- Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.
Задания для работы в группах:
Вариант 1 (1,3,5 группы).
- Возведи обе части в квадрат:
- Умножай на сопряжённое выражение:
- Используй свойства функций:
Вариант 2 ( 2,4,6 группы)
- Возведи обе части в квадрат:
- Умножай на сопряжённое выражение:
- Используй свойства функций:
Проверочная работа по теме: « Методы
- Возведи обе части в квадрат:
- Умножай на сопряжённое выражение:
- Используй свойства функций:
решения иррациональных уравнений »
- Возведи обе части в квадрат:
- Умножай на сопряжённое выражение:
- Используй свойства функций:
Видео:Иррациональные уравнения на ЕГЭ 2024 по математике | Эрик ЛегионСкачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка урока «Методы решения иррациональных уравнений»
Цель урока: познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию у.
Конспект урока – практикума по алгебре и началам анализа с презентацией по теме «Методы решения иррациональных уравнений»
Урок алгебры и начала анализа в 10 классе физико – математического профиля. Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме. Подготовка учащихся к ЕГЭ. В заданиях Единого государственного .
Формирование познавательных способностей на основе овладения методами решения иррациональных уравнений при личностно-ориентированном развивающем обучении
В статье рассматриваются различные методы решения иррациональных уравнений. Использование нестандартных методов при решении уравнений, способствует активному участию ученика в образовательной деятельн.
Методы решения иррациональных уравнений
Разработка урока по данной теме.
Методы решения иррациональных уравнений -11 класс
В данной статье рассматриваются методы решений иррациональных уравнений.
Методы решения иррациональных уравнений
Рассмотрены различные методы решения иррациональных уравнений и заданий с параметром.
Методические разработки к элективному курсу «Методы решений иррациональных уравнений»
Предлагаемый элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение.
📹 Видео
ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Иррациональное уравнениеСкачать
ВСЕ виды уравнений. Задание 5Скачать
Математика ЕГЭ 2019. Решение иррациональных уравненийСкачать
Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать
Задание 6 ЕГЭ профиль. Иррациональные уравнения.Скачать
Когда начинать готовиться к ЕГЭ?Скачать
Иррациональное уравнение 1 задание ЕГЭ профильная математикаСкачать
Более сложные иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения Часть 2 из 2Скачать