Решение диофантова уравнения на питоне

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Видео:Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | ,

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

tan 2 (?)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

Видео:РЕШАЕМ ДИОФАНТОВОЕ УРАВНЕНИЕ | ПРОСТЫМИ СЛОВАМИСкачать

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

Английский для программистов

Наш телеграм канал с тестами по английскому языку для программистов. Английский это часть карьеры программиста. Поэтому полезно заняться им уже сейчас

Видео:Линейные диофантовы уравненияСкачать

Решение линейного Диофантового уравнения(см. Описание Для примеров)

позвольте мне начать с разъяснения того, что (прежде чем вы, ребята, уволите меня), это не проблема домашней работы, и я не студент университета. 🙂

редактировать Благодаря @Klas и другим, мой вопрос теперь сводится к математическому уравнению, которое необходимо решить программно.

Я ищу алгоритм/код, который решает Linear Diophantine Equation . Для таких простых смертных, как я, вот как выглядит такое уравнение:

Пример 1: 3x + 4y + 5z = 25 (найти все возможные значения x, y, z)

Пример 2: 10p + 5q + 6r + 11s = 224 (найти все возможные значения p, q,r, s)

Пример 3: 8p + 9q + 10r + 11s + 12t = 1012 (найти все возможные значения p, q,r,s, t)

Я попытался погуглить безрезультатно. Я бы подумал, что какой-то код уже будет написан, чтобы решить это. Дайте мне знать, если вы, ребята, столкнулись с какой-то библиотекой, которая уже реализовала это. И если решение в Java, ничто не может быть круче!. Алгоритм/псевдо-код также будет делать. Спасибо.

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

8 ответов

рекурсия грубой силы-это опция, в зависимости от того, насколько большим вы позволите стать значению или количеству значений.

предположения: входные данные пользователя (множители) всегда являются различными целыми положительными числами. Коэффициенты должны быть неотрицательными целыми числами.

это математический вопрос, а не программирования. Как только у вас есть подходящий алгоритм, его реализация не должна быть слишком сложной.

Я предлагаю Вам google по Диофантовым уравнениям.

Я нашел объяснение для вас.

я случайно написал Java-код для этого. Пожалуйста, угощайтесь. Решения широко не тестируются, но, похоже, до сих пор работают хорошо.

добавление к очень точному ответу Класа:

10-я задача Гильберта спросила, существует ли алгоритм для определения того, имеет ли решение произвольное диофантовое уравнение. Такой алгоритм существует для решения диофантовых уравнений первого порядка. Однако невозможность получения общего решения была доказана Юрием Матиясевичем в 1970 году

алгоритм грубой силы выглядит следующим образом (3 переменных случая):

чтобы обобщить это для случая переменной N, вам нужно преобразовать в рекурсивную форму.

этот алгоритм O(f(size, a)^N) для некоторой функции f .

• мы можем установить границы f следующим образом: size / MaxValue(a) .
• в худшем случае (когда все a[i] С 1 ) f(size, a) is size .

в любом случае, это довольно ужасно для больших значений N . Поэтому, хотя рекурсивный алгоритм переменной N был бы более элегантным, он, вероятно, не очень практичен.

если вы готовы раскошелиться на 34 евро для Springer Verlag, вот ссылка на статью который (согласно реферату) включает в себя алгоритм решения n переменных.

либо нет, либо бесконечно много решений. Часто бывает, что у вас есть дополнительное ограничение, которое должно соответствовать решению. Это относится к вашей проблеме?

давайте начнем с самой простой ситуации, когда есть два unkowns a*x + b*y = c :

первым шагом является использование алгоритм Евклида чтобы найти GCD a и b , назовем его d . В качестве бонуса алгоритм предоставляет x’ и y’ такие, что a*x’ + b*y’ = d . Если d не делит c , то решения нет. В противном случае решение:

второй шаг-найти все решения. Это означает, что мы должны найти все p и q такое, что a*p + b*q = 0 . Если оба (x,y) и (X, Y) решения, то

ответ p = b/d и q = -a/d здесь d = GCD(a,b) и уже рассчитывается на шаге 1. Общее решение теперь:

где n является целым числом.

первый шаг легко расширить до нескольких переменных. Я не уверен в обобщении второго шага. Мое первое предположение было бы найти решение для всех пар коэффициентов и объединить эти решения.

Это решение в Perl. скорее взломать с помощью Regex.

после этого блог в должности для решения алгебраических уравнений с помощью regex.

мы можем использовать следующий скрипт для 3x + 2y + 5z = 40

выход: x=11, y = 1, z = 1

известный старший играет на фортепиано головоломка заканчивается как 3 переменных уравнения

этот метод применяется для условие что переменные на самом деле положительно, и константа положительна.

причина, по которой нет библиотеки, которая делает это, похожа на то, почему вы не найдете библиотеку для перестановок — вы генерируете так много данных, что это, вероятно, неправильно.

точнее, если у вас есть n переменные, сумма которых составляет X , тогда у вас будет O(X n-1 ) ответы. X и n Не обязательно быть очень большим, чтобы это стало проблемой.

тем не менее, вот некоторые Python, который довольно эффективно вычисляет все необходимая информация для кодирования ответа:

когда я говорю «кодировать», структура данных выглядит так. Для каждого возможного коэффициента, мы получим массив (coefficient, [subanswers]) . Когда это возможно, он повторно использует subanswers, чтобы сделать структуру данных как можно меньше. Если вы не можете рекурсивно развернуть это обратно в массив ответов, и при этом вы будете довольно эффективны. (На самом деле это O(nX) .) Вы будете делать очень мало повторения логики, чтобы обнаружить то же самое факты снова и снова. (Однако возвращаемый список может получить очень большой просто потому, что есть большой список ответов, которые должны быть возвращены.)

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Линейные диофантовы уравнения

Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение, обычно с двумя или более неизвестными, так что требуются только интегральные решения. Интегральное решение — это такое решение, при котором все неизвестные переменные принимают только целые значения.

Даны три целых числа a, b, c, представляющих линейное уравнение вида: ax + by = c. Определите, имеет ли уравнение такое решение, чтобы x и y были целыми значениями.

Примеры :

Решение:
Для линейных уравнений диофантовых уравнений интегральные решения существуют тогда и только тогда, когда GCD коэффициентов двух переменных делит постоянный член идеально. Другими словами, интегральное решение существует, если GCD (a, b) делит c.

Таким образом, алгоритм определения наличия интегрального решения уравнения довольно прост.

• Найти ГКД а и б
• Проверьте, если c% GCD (a, b) == 0
• Если да, то напечатайте Возможно
• Иначе печать невозможна

Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода.

// C ++ программа для проверки растворов диофанта
// уравнения
#include

using namespace std;

// функция полезности для поиска GCD из двух чисел

int gcd( int a, int b)

return (a%b == 0)? abs (b) : gcd(b,a%b);

// Эта функция проверяет, являются ли интегральные решения
// возможно

bool isPossible( int a, int b, int c)

return (c%gcd(a,b) == 0);

int a = 3, b = 6, c = 9;

isPossible(a, b, c)? cout «Possiblen» :

cout «Not Possiblen» ;

isPossible(a, b, c)? cout «Possiblen» :

cout «Not Possiblen» ;

isPossible(a, b, c)? cout «Possiblen» :

cout «Not Possiblen» ;

// Java-программа для проверки решений
// диофантовы уравнения

// Сервисная функция для поиска GCD

static int gcd( int a, int b)

// Эта функция проверяет, является ли интеграл

static boolean isPossible( int a,

return (c % gcd(a, b) == 0 );

public static void main (String[] args)

int a = 3 , b = 6 , c = 9 ;

if (isPossible(a, b, c))

System.out.println( «Not Possible» );

a = 3 ; b = 6 ; c = 8 ;

if (isPossible(a, b, c))

System.out.println( «Not Possible» );

a = 2 ; b = 5 ; c = 1 ;

if (isPossible(a, b, c))

System.out.println( «Not Possible» );

// Этот код предоставлен anuj_67.

# Программа Python 3 для проверки решений
# диофантовых уравнений

from math import gcd

# Эта функция проверяет, является ли интеграл
# возможны решения

def isPossible(a, b, c):

return (c % gcd(a, b) = = 0 )

if __name__ = = ‘__main__’ :

if (isPossible(a, b, c)):

print ( «Not Possible» )

if (isPossible(a, b, c)):

print ( «Not Possible» )

if (isPossible(a, b, c)):

print ( «Not Possible» )

# Этот код предоставлен
# Surendra_Gangwar

// C # программа для проверки
// растворы диофантина
// уравнения

// Сервисная функция для поиска

// ГКД из двух чисел

static int gcd( int a, int b)

// Эта функция проверяет

// если интегральные решения

static bool isPossible( int a,

return (c % gcd(a, b) == 0);

public static void Main ()

int a = 3, b = 6, c = 9;

if (isPossible(a, b, c))

Console.WriteLine( «Not Possible» );

if (isPossible(a, b, c))

Console.WriteLine( «Not Possible» );

if (isPossible(a, b, c))

Console.WriteLine( «Not Possible» );

// Этот код предоставлен anuj_67.

// PHP программа для проверки решений
// диофантовы уравнения

// функция полезности для поиска
// GCD из двух чисел

function gcd( $a , $b )

return ( $a % $b == 0) ?

abs ( $b ) : gcd( $b , $a % $b );

// Эта функция проверяет, является ли интеграл
// возможны решения

function isPossible( $a , $b , $c )

return ( $c % gcd( $a , $b ) == 0);

if (isPossible( $a , $b , $c ) == true)

echo «Not Possiblen» ;

if (isPossible( $a , $b , $c ) == true)

echo «Not Possiblen» ;

if (isPossible( $a , $b , $c ) == true)

echo «Not Possiblen» ;

// Этот код предоставлен ajit ..
?>

Выход :

Как это работает?
Пусть GCD из «a» и «b» будет «g». г делит а и б. Это означает, что g также делит (ax + на) (если x и y являются целыми числами). Это подразумевает, что gcd также делит ‘c’, используя отношение ax + by = c. Обратитесь к этой вики-ссылке для более подробной информации.

🔥 Видео

Расширенный алгоритм евклидаСкачать

Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать

Решите уравнение в целых числах 5x-4y=3 ➜ Как решать Диофантовы уравнения?Скачать

Решение диофантовых уравненийСкачать

Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

Программа, определяющая корни квадратного уравнения. Язык программирования Python.Скачать

#37. Алгоритм Евклида для нахождения НОД | Python для начинающихСкачать

Полезные мелочи | алгоритм Евклида | диофантовы уравнения | примеры | 1Скачать

Как решать Диофантовы уравнения ➜ Решите уравнение в целых числах 4x+5y=6Скачать

Динамическое программирование. Часть 1. Одномерная динамика. Код на PythonСкачать

Разбор задачи "Система уравнений" codeforcesСкачать

Диофантовы уравнения x³-y³=91Скачать