Решение дифференциальных уравнений методом галеркина

Метод Галеркина используется для приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.

Рассмотрим краевую задачу

(3.1)

Для ее приближенного решения выберем какую-либо последовательность базисных функций

(3.2)

т. е. последовательность функций, удовлетворяющих соответствующим однородным краевым условиям

и обладающих свойством полноты. Последнее означает, что любую функцию из достаточно широкого класса, удовлетворяющую указанным однородным краевым условиям, можно разложить в ряд по функциям (3.2).

Чаще всего полагают

или , .

Кроме того, надо выбрать какую-нибудь функцию , удовлетворяющую краевым условиям, указанным в (3.1), например,

или

Приближенное решение задачи (3.1) ищется в виде

, (3.3)

где функции , , … мы задаем, а постоянные , , … , подбираем. Тогда краевые условия, указанные в (3.1), заведомо удовлетворяются, а при подстановке выражения (3.3) в дифференциальное уравнение получается невязка (т. е. разность между левой и правой частями уравнения)

.

С ее помощью получаем систему из уравнений с неизвестными для определения

.

3.2. Реализация метода Галеркина в|посредством| MathCad

Пример. Найти методом Галеркина приближенное решение краевой задачи

, .

Приведем решение краевой задачи с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:

Сравним, значения точного и приближенного решений:

например, при имеем

Как видим, погрешность близка к 0,03 %. Для получения более точного решения необходимо использовать большее количество базисных функций.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9966 — | 7768 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

где % Читайте также: Steam куда сохраняются скриншоты

x ), которая на [а, Ь] будет сколь угодно точно приближать функцию у(х) вместе с ее производными У(х) и у»(х).

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций

причем с_кк 5*0, иначе (р_к . Здесь оператор L [ ⋅ ] может содержать частные или полные производные искомой функции.

Видео:Численные методы математической физики - Метод Галеркина решения граничной задачиСкачать

Содержание

Видео:Метод конечных элементов. Основы 1.1.3 - Метод ГалеркинаСкачать

Основа метода [ править | править код ]

Первым шагом в реализации метода Галёркина является выбор набора базисных функций, которые:

• удовлетворяют граничным условиям.
• в пределе бесконечного количества элементов базиса образуют полную систему.

Конкретный вид функций определяется из специфики задачи и удобства работы. Часто применяются тригонометрические функции, ортогональные полиномы (полиномы Лежандра, Чебышёва, Эрмита и др.).

Решение представляется в виде разложения по базису:

ψ ( x ) = ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) . alpha _ phi _ (x).>

Затем приближённое решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение, и вычисляется его невязка. Для однородного уравнения:

L [ ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) ] = N ( x ) . alpha _ phi _ (x)
ight]=N(x).>

Для неоднородного уравнения L [ u ] = f ( x ) невязка будет иметь вид N ( x ) = L [ u ] − f ( x ) .

Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям, то есть:

∫ a b N ( x ) ϕ k ( x ) ρ ( x ) d x = 0. (x)
ho (x)dx>=0.>

Отсюда получается однородная система уравнений для коэффициентов в разложении, и удаётся приближённо найти собственные значения задачи.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Пример [ править | править код ]

ψ ″ + λ ψ = 0 ,

с граничными условиями:

ψ ( 0 ) = ψ ( 1 ) = 0.

Решение данного уравнения известно:

ψ ( x ) = sin ⁡ π n x , λ = π 2 n 2 , n = 1 , 2.. n^ ,qquad n=1,2..>

Для первого нетривиального решения ( n = 1 ) собственное число равно λ = π 2 ≈ 9 , 869. approx 9,869. > .

Теперь применим метод Галёркина. Выберем сперва одну базисную функцию:

ϕ 0 ( x ) = x ( 1 − x ) , ψ ( x ) = a 0 ϕ 0 ( x ) . (x)=x(1-x),qquad psi (x)=a_ phi _ (x).>

Подставляя в уравнение, получим невязку:

N ( x ) = a ( ϕ ″ + λ ϕ ) ,

и требование ортогональности невязки перепишется в виде:

∫ 0 1 ϕ ″ ϕ d x + λ ∫ 0 1 ϕ 2 d x = 0. ^

+lambda int limits _ ^

dx>=0.>

λ = − ∫ 0 1 ϕ ″ ϕ d x ∫ 0 1 ϕ 2 d x = ∫ 0 1 ( ϕ ′ ) 2 d x ∫ 0 1 ϕ 2 d x . ^

over int limits _ ^

dx>>= ^ dx> over int limits _ ^

dx>>.>

В приводимом здесь примере получается λ = 10 , что менее чем на 1,5 % отличается от точного решения. Задание большего числа базисных функций позволяет уточнить уже известное значение λ, а также получить первое приближение для следующего (соответствующего n=2).

Представим решение в виде линейной комбинации n функций:

ψ ( x ) = ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) . alpha _ phi _ (x).>

N = ∑ k = 1 n N k ( x ) N_ (x)> .

Система уравнений для коэффициентов разложения:

∑ k = 1 n α k ∫ a b ϕ j N k d x = 0 , j = 1.. n . alpha _ int limits _^

N_ dx>=0,quad j=1..n.>

В этом случае собственные значения находятся из условия разрешимости системы (равенство нулю её определителя):

det ⁡ ( A j k ) = 0 , A j k = ∫ a b ϕ j N k d x left(A_
ight)=0,quad A_ =int limits _^

N_ dx>>

Важно помнить, что сходимость метода Галёркина не всегда быстро достигается. Успешное применение возможно только для т. н. самосопряжённых задач, то есть инвариантных к эрмитовому сопряжению.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Разновидности [ править | править код ]

Метод Галёркина имеет несколько усовершенствованных вариантов:

• Метод Галёркина — Петрова — разложение решения производится по одному базису, а ортогональность невязки требуется к другому.
• Метод Галёркина — Канторовича — позволяет свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например, в двумерной задаче решение представляется в виде: ψ ( x , y ) = ∑ n b n X n ( x ) Y n ( y ) , b_ X_ (x)Y_ (y),>и процедура Галёркина проводится применительно лишь к одним функциям (здесь X n ( x ) (x)>либо Y n ( y ) (y)>). В итоге получается система ОДУ, для решения которых существуют эффективные численные методы. Данный приём подобен известному в квантовой механике методу Хартри — Фока.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Применение [ править | править код ]

Методы Галёркина давно применяются как для решения дифференциальных уравнений с частными производными, так и для формирования основы метода конечных элементов.

Применение метода к исследованию задач устойчивости гидродинамических течений было реализовано Г. И. Петровым, который доказал сходимость метода Галёркина для отыскания собственных значений широкого класса уравнений, включая уравнения для неконсервативных систем, такие, как например уравнения колебаний в вязкой жидкости.

В гидродинамике наиболее эффективно метод Галёркина работает в задачах о конвекции, в силу их самосопряжённости. Задачи о течениях таковыми не являются, и сходимость метода при неудачном выборе базиса может быть сильно затруднена.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Происхождение названия [ править | править код ]

Метод приобрёл популярность после исследований Бориса Галёркина (1915). Однако этот метод разработал не он, а Вальтер Ритц (1908), на которого Галёркин ссылается в своих первых публикациях. Его также применял Иван Бубнов (1913) для решения задач теории упругости. Поэтому иногда этот метод называют методом Бубнова — Галёркина. Теоретически метод был обоснован советским математиком Мстиславом Келдышем в 1942.

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

ИДЕЯ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Метод ГалёркинаСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Давронов Жавлон Рустам Угли

В этой статье показано применение метода Галёркина для численного решения краевой задачи, поставленной дифференциальному уравнению . Суть метода показана на примере. Численное решение дифференциальных уравнений на сегодня вызывает большой интерес. Не каждое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, так как дифференциальные уравнения выражают конкретный, естественный процесс, их приближённое решение приближенно отображает изучаемый процесс. Это показывает прикладной характер изучаемой задачи.

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Давронов Жавлон Рустам Угли

Видео:Практика 1 ИзоклиныСкачать

THE IDEA OF THE GALERKIN METHOD

This article shows the application of the Galerkin method for the numerical solution of the boundary value problem posed to the differential equation. The essence of the method is shown with an example. The numerical solution of differential equations is of great interest today. Not every differential equation has an analytical solution, since differential equations express a specific, natural process, their approximate solution approximately reflects the process under study. This shows the applied nature of the problem under study.

Видео:Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

Текст научной работы на тему «ИДЕЯ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА»

ИДЕЯ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА Давронов Ж.Р. Email: Davronov697@scientifictext.ru

Давронов Жавлон Рустам угли — преподаватель кафедра дифференциальных уравнений, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотaция: в этой статье показано применение метода Галёркина для численного решения краевой задачи, поставленной дифференциальному уравнению. Суть метода показана на примере. Численное решение дифференциальных уравнений на сегодня вызывает большой интерес. Не каждое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, так как дифференциальные уравнения выражают конкретный, естественный процесс, их приближённое решение приближенно отображает изучаемый процесс. Это показывает прикладной характер изучаемой задачи.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевые условия, численное решение, метод Галёркина, погрешность.

THE IDEA OF THE GALERKIN METHOD Davronov J.R.

Davronov Javlon Rustam ugli — Teacher, DEPARTMENT OF DIFFERENTIAL EQUATION, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: this article shows the application of the Galerkin methodfor the numerical solution of the boundary value problem posed to the differential equation. The essence of the method is shown with an example. The numerical solution of differential equations is of great interest today. Not every differential equation has an analytical solution, since differential equations express a specific, natural process, their approximate solution approximately reflects the process under study. This shows the applied nature of the problem under study.

Keywords: differential equations, boundary conditions, numerical solution, Galerkin method, error.

Пусть задано уравнение

где L [у] = у» + р (х) у’ + q (х) у, и краевые условия:

Га М = а0у(а) + аху’Са) = А (2.1) Гь М = /?„ У (Ь) + fty’ (Ь) = В; (2.2) |ао| + К1*0 |/?„l + l/?il*0; (2.3) Выберем конечную систему базовых функций ( i = 0 , 1 , • • -,п) , состоящую из части полной системы, и функцию //0 (х) , которая удовлетворяет неоднородные краевые условия

Г[Ц0] = А , Г[У0] = В и функции удовлетворяют однородные краевые условия

Г[1/г]0, Г[[/г] = 0 (i = 1,2,••• ,п) Ищем решение краевой задачи ( 1 ) — (2 . 3 ) — следующим образом

y(x) = U0(x)+YjCiUi(x) (3)

В выбранных нами базовых функциях / (х) , функция y определяется формулой (3), видно, что она удовлетворяет граничным условиям (2.1) — (2.3) при произвольном

выборе коэффициентов С¿. (3) — выражение подставляем в уравнение (1). Это дает следующую ошибку.

R (х, C1,C2,-,Cn) = L[U0]+YjCiL [Ut] — f<x)

Согласно методу Галёркина, мы требуем, чтобы ошибка R была ортогональна базисным функциям U(х) ( ¿ = 1 , 2 ,• • -,п) , достаточно большое количество таких функций обеспечивает умеренно малую погрешность. Насколько близко такое приблизительное решение к конкретному — одна из задач, которая в целом остается открытой. Таким образом, чтобы найти коэффициенты Сг ( i = 1,2, • ■ -,п) приходим к линейной системе уравнений

U1(x)R(x,C1,C2, . Cn)dx = О

I U2(x)R(x,C1,C2. Cn)dx = J a

Un(x)R(x, Cu C2. Cn)dx =

У» + У = _х у( 0) = 0 у( 1) = 0

Решение: На основе метода Галёркина выбираем приближенное решение в следующем виде

где, если берём и ‘ (х) = х’ ( 1 — х) , которые удовлетворяют граничным условиям. Для простоты расчета рассмотрим случай п = 2,

у2(х) = ад(х) + С2 и2 (х) у2(х) = Сх( 1 — х) + С2х2 (1 — х) у2′(х) = Сх( 1 — 2х) + С2(2х — Зх2) У2″00 = -2СХ + 2С2 — 6С2х теперь подставим эти равенства в уравнения.

Уп = У2″00 + У200 = -2СХ + 2С2 + х(Сх — 6С2) + х2(С2 — С) — х3С2 и .

Теперь вычислим следующие интегралы, чтобы найти коэффициенты Сх va С2 :

I Уп^л (x)dx = I f(x)U1(x)dx Jo Jo

I ynU2(x)dx = I f(x)U2(x)dx Jo Jo

после использования первой из этих систем, получим следующее равенство

[ (-2Сх + 2С2 + х(Сх — 6С2) + х2(С2 — С) — х3С2)(х — х2)с?х = [ -х(х — х2)с?х -‘о -‘о

Вычисляя интеграл, получим

Теперь мы упростим второе уравнение системы, сделав то же самое, из чего следует следующее: 6 3 Ci + 5 2 C2 = 2 1 .

Решаем полученную систему линейных уравнений относительно Cx и C2:

Получим, Cx = — и C2 = — e коэффициенты подставляем в приближенное решение

Уп (х) = ( 1 — х) + ¿х2 ( 1 — х) .

Точное решение у (х) = ■—-— х. Погрешность в этом случае е Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 1. Методом коллокации найти приближённое решение уравнения:

С однородными краевыми условиями первого рода:

Поскольку в данном случае мы имеем дело с однородной краевой задачей (случай A = B = 0), то полагаем j ₀(x) º 0 и решение искомое в форме (6) будем выражать только через линейную комбинацию функций: j _i(x) (i = 1, 2, …, n).

Из вида ДУ (22) и краевых условий (23), (24) делаем вывод о чётности решения данной дифференциальной задачи. Поэтому в качестве базисных функций (ограничиваясь двумя базисными функциями) выберем полиномы:

то легко видеть, что для данных базисных функций выполняются однородные краевые условия:

В соответствии с методом коллокации решение y(x) задачи (22) — (24) ищем в виде линейной комбинации функций j₁(x) = 1 — x 2 и j ₂(x) = x 2 (1 — x 2 ):

Для подбора двух коэффициентов c₁ и c₂ на отрезке [-1, 1] выберем две точки коллокации: x₀ = 0 и x₁ = .

Далее по формуле (8) составляем невязку:

R(x, c_i) º L[y₂(x)] — f (x) = — f (x), (i = 1, 2)

Которая уравнения (22) имеет вид:

Последовательно подставляя в выражение (26) значения x₀ = 0 и x₁ = , получим систему уравнений:

(27)

Решая систему (27) находим c₁ = 0.957; c₂ = – 0.022; следовательно, окончательно получаем следующее приближённое решение краевой задачи (22) – (24):

Пример 2. Методом коллокации найти приближённое аналитическое решение краевой задачи:

с краевыми условиями:

Поскольку для рассматриваемой краевой задачи решение ищется на промежутке x Î[1, 2] и следовательно x ¹ 0, то рассматриваемое дифференциальное уравнение целесообразно сначала преобразовать к стандартному виду (1):

Применительно к исходной краевой задаче (1) — (3):

задача (28) характеризуется следующими значениями параметров:

Для применения метода коллокации сначала выберем базовые функции
j ₀(x) и j _i(x), i = 1,2, …, n .

Функцию j ₀(x) выберем в виде выражения (14): j ₀(x) = d + gx; и далее на основе системы (15):

или в нашем случае:

определяем коэффициенты d = g = — ; Þ j ₀(x) = d + gx = — x;

Далее необходимо выбрать подходящие базисные функции j _i(x), i = 1,2, …, n. В данном методе количество базисных функций совпадает с количеством узлов коллокации.

При рассмотрении данного примера ограничимся одной базисной функцией
j ₁(x) вида (16): j _i(x) = g_i(x — a) i + (x — a) i+ 1 , или при i = 1, j ₁(x) = g₁(x — 1) + (x — 1) 2 для которой коэффициент g₁ определяем из соотношения (19):

или в данном случае ,

Таким образом, мы получили базисную функцию: j ₁(x) = (x — 1) 2 — (x — 1).

Возьмём в качестве узла коллокации середину рассматриваемого промежутка [1, 2], т.е. точку x₁ = и потребуем, чтобы функция y ₁(x) = j ₀(x) + c₁j ₁(x) удовлетворяла в этой точке заданному дифференциальному уравнению (28):

подставим в него все необходимые значения:

j ₀(x) = — x; j ₁(x) = (x — 1) 2 — (x — 1); Þ

y ₁(x) = j ₀(x) + c₁j ₁(x) = — x + c₁[(x — 1) 2 — (x — 1)] Þ

y ₁(x) = 1 — (x — 1) + c₁ (x — 1)(x — ) Þ при x₁ = имеем: y ₁ = — c₁;

y¢₁(x) = — + c₁[ 2(x — 1) — ] Þ при x₁ = имеем: y¢₁ = — — c₁;

В результате подстановки указанных величин в уравнение (28) получим:

2 c₁ + — = ,

решая это уравнение относительно c₁ получаем, что c₁ = .

Таким образом, простейшая коллокация с одним узлом приводит к приближению решения данной краевой задачи (28) квадратичной функцией:

y₁(x) = 1 — (x — 1) + (x — 1)(x — ).

Точное решение данной краевой задачи равно: y (x) = 1/x 2 .

Замечание. Согласно идее метода коллокации приближённое решение y_n(x) (6):

в точках коллокации x_iÎ (a, b) должно удовлетворять данному дифференциальному уравнению (1). И, следовательно, в этих точках оно должно было бы совпадать с точным решением y(x) данной краевой задачи (1) — (3). Однако это не так, в чём легко убедиться, сравнивая полученное в примере 2 приближённое решение y ₁(x) в узле коллокации x₁ = , равное y ₁ » 0.38 с известным (из других источников) точным значением решения y = 0.4(4).

§3. Метод Галёркина.

Рассмотрим линейную краевую задачу для ОДУ второго порядка, определяемую соотношениями (1) — (3).

Через y_n(x) будем обозначать приближённое аналитическое значение точного решения y(x) краевой задачи (1) – (3), которое необходимо получить.

Пусть на отрезке [a, b] задана система базисных функций, интегрируемых с квадратом:

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Система (29) является ортогональной системой функций, если две любые функции этой системы взаимно ортогональны на [a, b], т.е. их скалярное произведение* удовлетворяет следующему условию:

(30)

(*основные определения аксиоматики скалярного произведения функций приведены в приложении к данной лекции).

2. Система (29) является полной ортогональной системой функций, т.е. не существует никакой другой отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям u_i(x) (i = 0, 1, 2, …).

3. Из полной ортогональной системой функций (29) можно выбрать конечную подсистему базисных функций u_i(x) (i = 0, 1, 2, …, n) так, чтобы функция u₀(x) удовлетворяла неоднородным краевым условиям:

а функции u_i(x) (i = 1, 2, …, n ) удовлетворяли бы однородным краевым
условиям:

Приближённое решение y_n(x) краевой задачи (1) – (3) как обычно ищется в
виде линейной комбинации.

(33)

Поскольку рассматриваемая дифференциальная краевая задача (1) – (3) является линейной, то из (31), (32) следует, что функция y_n(x), определяемая условием (33), удовлетворяет краевым условиям (2), (3) при любом выборе коэффициентов с_i, т.е. при указанных выше требованиях к функциям u_i(x) (i = 1,2, …, n), u₀(x) определяемое выражением (33) приближённое решение y_n(x) гарантированно удовлетворяет краевым условиям (2), (3) при любых значениях коэффициентов c_i.
Покажем это, например, для точки x = a.

Действительноиз (33) следует, что:

и ,

далее, учитывая, что в соответствии с (31), (32):

и , (i = 1,2, …, n).

из краевого условия (2) в силу его линейности при x = a имеем:

= a₀u₀(a) + a₁u¢₀(a) + = .

Аналогично можно показать, что при x = b выполняется условие:

Таким образом, мы показали, что, определяемая выражением (33) и удовлетворяющая требованиями (31), (32) функция y_n(x) гарантированно удовлетворяет краевым условиям (2), (3) при любых значениях коэффициентов c_i.

При подстановке в ДУ (1) вместо y(x) приближённого решения y_n(x) получим:

L[y_n(x)] — f (x) = L[u ₀(x)] — f (x) + º R(x, c₁, c₂, . c_n), (i = 1,2, …, n) (34)

где R(x, c₁, c₂, . c_n) невязка, обусловленная отличием точного и приближённого решений. Очевидно, что при подстановке в выражение (34) вместо приближенного решения y_n(x) точного решения y(x) рассматриваемой краевой задачи функция невязки будет тождественно равна нулю:

Поэтому для получения приближённого решения y_n(x), близкого к точному решению y(x), нужно подобрать коэффициенты с_i (i = 1, 2, … ,n) так, чтобы функция
R(x, c₁, c₂, . c_n) была «в каком-то смысле» мала.

Обычно коэффициенты с_i (i = 1, 2, … ,n) выбирают таким образом, чтобы значение интеграла от квадрата невязки

(35)

В теории метода Галёркина доказывается, что обеспечить указанную минимальность невязки в среднем можно потребовав, чтобы невязка (34) была ортогональна к базисным функциям u_i(x) (i = 1, 2, …, n). Однако при таком подходе к поиску приближённого решения ответить на вопрос, насколько это приближённое решение будет близко к точному решению в общем случае нельзя.

Таким образом, далее, для определения коэффициентов с_i (i = 1, 2, … ,n) необходимо записать условие ортогональности невязки:

или с учётом (34):

L[u ₀(x)] — f (x) + º R(x, c₁, c₂, . c_n), (i = 1,2, …, n).

запишем условия ортогональности невязки в более подробной записи:

(36)

Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов с_i (i = 1, 2, … ,n).

Замечание. Отметим, что в методе Галёркина при выборе базисных функций требование (30) ортогональности самих базисных функций не является обязательным, если коэффициенты с_i (i = 1, 2, …, n) подбирать из условия минимальности интеграла (35). Так, например, взяв за основу полную систему функций, ортогональных на отрезке [a, b], можно выбрать в качестве базисных функций линейные комбинации функций из этой системы. Достаточно лишь, чтобы выбранные функции были линейно независимы на отрезке [a, b].

ПРИМЕР 3Методом Галёркина найти приближённое решение уравнения:

С однородными краевыми условиями первого рода:

В качестве базисных функций u_i(x) выберем следующие функции:

Данные функции линейно независимы и удовлетворяют нулевым краевым условиям нашей задачи. Приближённое решение задачи ищем в виде:

Подставляя y₂(x) в левую часть уравнения (37) получаем невязку:

Подставив в эту систему значения R(x, c₁, c₂) и вычислив интегралы, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов c₁ и c₂ :

Решая эту систему, получим:

Таким образом, приближённое аналитическое решение данной краевой задачи имеет вид: y₂(x) =

Для оценки качества полученных результатов в таблице 1 в точках отрезка
[0, 1] приведены значения точного решения y(x) данной краевой задачи и приближённого решения y₂(x), полученного по методу Галёркина.

Таблица 1 – значения точного и приближённого решения

Замечание.

Рассмотренные примеры показывают, что при соответствующем выборе базисных функций оказывается возможным найти приближённое решение краевой задачи в аналитической форме.

Если функции p(x), q(x), f (x) в уравнении (1) являются достаточно сложными, то вычисление коэффициентов системы (36) становится слишком громоздким. В таких случаях рекомендуется использовать либо метод коллокации, либо разностный метод.

Заключение (план — аннотация лекции №26).

В лекции 26 рассмотрены метод коллокации и метод Галёркина, позволяющие найти приближённое решение краевой задачи в виде некоторого аналитического выражения.

В методе коллокации (который также иногда называется интерполяционным методом) приближённое решение краевой задачи строится в виде линейной комбинации так называемых базисных функций, причём коэффициенты такой линейной комбинации выбираются из условия совпадения (на некоторой внутренней сетке) искомого приближённого решения с точным решением дифференциальной задачи.

Реализация такого подхода приводит к необходимости решения системы линейных алгебраических уравнений для определения значений коэффициентов в конструкции (в линейной комбинации базисных функций), определяющей вид искомого приближённого решения. Даны рекомендации по выбору базисных функций, используемых для конструирования приближённого решения. Рассмотрен пример решения дифференциальной краевой задачи методом коллокации.

Дано элементарное изложение метода Галёркина (без экскурса в соответствующие разделы функционального анализа для его теоретического обоснования).

Как и в методе коллокации в методе Галёркина приближённое решение также ищется виде линейной комбинации базисных функций, коэффициенты которой выбираются из условия минимизации невязки, обусловленной заменой точного решения дифференциальной задачи искомым приближённым решением. В теории метода Галёркина доказывается, что обеспечить указанную минимальность невязки в среднем можно потребовав, чтобы невязка была ортогональна к базисным функциям, используемым при конструировании приближённого решения.

Реализация такого подхода приводит к необходимости решения системы линейных алгебраических уравнений для определения значений коэффициентов в конструкции (в линейной комбинации базисных функций), определяющей вид искомого приближённого решения. Рассмотрен пример решения дифференциальной краевой задачи методом Галёркина.

Литература:

1. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. Численные методы анализа.
– М.: Наука, 1967. – 368 с.

3. Н.В. Копчёнова, И.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 368 с.

🎦 Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Разрывный метод ГалёркинаСкачать

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать

Об эффективной реализации разрывного метода Галеркина примен … намики на неструктурированных сеткахСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать