Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.

Пусть дано уравнение f ( x ) = 0, корень отделен на отрезке [ a , b ].

Рассмотрим случай, когда f ‘( x ) f ’’( x )>0 (рис. 2.13).

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b ).

Тогда вычисления следует проводить по формулам:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Теперь корень ξ заключен в интервале [ a 1, b 1]. Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Если же f ‘( x ) f ’’( x )

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Вычислительный процесс прекращается, как только выполнится условие:

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример Решения

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ — Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

— применить умения отделять корни алгебраических уравнений;

— применить умения решать алгебраические уравнений приближенными методами (метод хорд и касательных);

1. Рабочая тетрадь в клетку.

2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.

3. Калькулятор простой.

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Предположим, что удалось найти достаточно малый промежуток Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, содержащий ровно один действительный корень уравнения (1).

Тогда, согласно теореме 5, непрерывная и дифференцируемая функция Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпринимает на его концах значения разных знаков, т.е. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Предположим, также, что промежуток Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхстоль мал, что во всех его точках Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхсохраняют постоянный знак.

На рис. 1 – 4 изобразим схематические графики четырёх типов расположения дуги кривой.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, т.е. либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Случай 2. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, т.е. либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точки Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхкривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпроведем хорду AB . Ее уравнение имеет вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

б) найдём абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох. Положив Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, получим Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

в) подставив значение Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхв уравнение кривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, получим Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Точка Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхимеет координаты Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

г) через точки Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхкривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпроведем хорду Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Ее уравнение имеет вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

д) найдем абсциссу точки пересечения хорды Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхс осью Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Положив Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, будем иметь:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

е) в результате получим последовательность значений Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных,…, сходящуюся к Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

После выполнения неравенства Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, где Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных— выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных(2)

Приведем алгоритм решения задачи во втором случае:

а) значения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхнаходятся так же, как и в первом случае. Точка Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхимеет координаты Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

б) через точки Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхкривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпроведем хорду Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Ее уравнение имеет вид: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

в) найдем абсциссу точки пересечения хорды Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхс осью Ox . Положив Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, будем иметь: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

г) дальнейшие действия такие же, как и в первом случае. Итак, во втором случае вычисления производятся по формулам:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Метод касательных (метод Ньютона).

При тех же предложениях, что и в методе хорд на рис. 5 и 8, изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги кривой.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. . Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных(см. рис. 5 и 8), т.е. либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Случай 2. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных(см. рис. 6 и 7), т.е. либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, либо Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точку Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпроведем касательную к кривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Ее уравнение имеет вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

б) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Положив Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, получим Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

в) подставив значение Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхв уравнении кривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхполучим: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Точка Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхимеет координаты Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

г) через точку Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпроведем касательную к кривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Ее уравнение имеет вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

д) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Положив Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, получим Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

е) в результате получим последовательность значений Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных…, сходящуюся к Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

После выполнения неравенства Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, где Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных— выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Алгоритм решения задачи во втором случае будет таким же, как и в первом случае, только первая касательная будет проводиться через точку Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Итак, во втором случае вычисления проводятся по формулам:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Комбинированный метод хорд и касательных.

Пусть требуется найти действительный корень уравнения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхизолированный на отрезке Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Предполагается, что Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхимеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхтакую точку Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхчто Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных(при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Величины Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпринадлежат промежутку изоляции, причем Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Построим новую пару приближений к корню:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Точки Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхна числовой оси расположены между точками Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, причем Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхимеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи т.д.

Каждая из последовательностей

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных…, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных…; Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных…, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхтогда Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Задав заранее достаточно малое Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхмы можем, увеличивая Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхдобиться выполнения неравенства Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхследовательно, при этом же значении Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхбудет выполняться неравенство Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхТаким образом, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхявляется приближенным значением корня Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхвычисленным с погрешностью, не превышающей Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Так, например, для нахождения приближенного значения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхс точностью до 0,001 нужно определить Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхтаким образом, чтобы значения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхвычисленные с точностью до 0,001, совпадали.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Методом хорд найти положительный корень уравнения

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

С точностью Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Прежде всего, отделяем корень. Так как

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

То искомый корень х лежит в интервале Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

То искомый корень х лежит в интервале Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхто Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Так как Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпри Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхследовательно , продолжаем вычисления;

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Таким образом, можно принять Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхс точностью Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Заметим, что точный корень уравнения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

С помощью графического метода отделить корни трансцендентного уравнения и уточнить их методом Ньютона с точностью е=0,00001.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Решение. Запишем наше уравнение в виде Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Строим графики данных функций.

Из рис. 3 видно, что данное уравнение имеет два корня: первый корень принадлежит отрезку [0,1; 1], а второй [1,1; 2].

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхУточним корни методом касательных. Для этого вычислим производные.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Итерационная формула метода Ньютона в данном случае принимает вид.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхРезультаты вычислений представим в виде таблиц

Видео:Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хорд

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Видео:Численное решение уравнений, урок 5/5. Комбинированный метод хорд и касательныхСкачать

Численное решение уравнений, урок 5/5. Комбинированный метод хорд и касательных

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд ( метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось — Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныххордой, проходящей через точки Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных(см. рис.1.).

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхзаписанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, на концах которого функция Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпринимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныходним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных) и начальный шаг итерации ( Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных) .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

3. Необходимо найти значение функции Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхв точках Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных. Далее необходимо проверить два условия:

— если выполняется условие Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, то искомый корень находится внутри левого отрезка положить Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных;

— если выполняется условие Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, то искомый корень находится внутри правого отрезка принять Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

— если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

— если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, то необходимо продолжить итерационный процесс Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхи перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Видео:Метод хордСкачать

Метод хорд

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхметодом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхс точностью Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхпри поиске уравнения в диапазоне Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхнеобходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения ( False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхалгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхсохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных0,

f»(a)>0″ width=»158″ height=»20″ border=»0″ />

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных0″ width=»158″ height=»20″ border=»0″ />

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b .

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных0″ width=»122″ height=»20″ border=»0″ /> , где Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхили Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

— если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, где k =0,1,2,…

— если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных, где k =0,1,2,…

Случай Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательныхсводится к рассматриваемому , если уравнение записать в форме: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и методом касательных.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

🎦 Видео

Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Метод касательных (метод Ньютона)

1,2 Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

1,2 Решение нелинейных уравнений методом хорд

Численное решение уравнений, урок 4/5. Метод касательных (Ньютона)Скачать

Численное решение уравнений, урок 4/5. Метод касательных (Ньютона)

Метод хорд для приближённого решения алгебраических уравненийСкачать

Метод хорд для приближённого решения алгебраических уравнений

Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать

Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хорд

1 4 Метод Ньютона касательныхСкачать

1 4 Метод Ньютона касательных

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)Скачать

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравнения

Метод Хорд - ВизуализацияСкачать

Метод Хорд - Визуализация

Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравнений

10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

10 Численные методы решения нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

Решение нелинейных уравнений методом хорд

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравнений

10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравнения

Решение нелинейного уравнения методом хорд (секущих) (программа)Скачать

Решение нелинейного уравнения методом хорд (секущих) (программа)

4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать

4.2 Решение систем нелинейных уравнений. Методы
Поделиться или сохранить к себе: