Реферат на тему решение логарифмических уравнений (8 видео)

Курсовая работа: Логарифмические уравнения

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃ ; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если N ₁ ·N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

Замечание. Если k — четное число (k = 2s ), то

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c — четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log_a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x ₂ ).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f (x ) = log_a g (x ) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Название: Логарифмические уравнения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 22:55:07 09 октября 2010 Похожие работы
Просмотров: 4125 Комментариев: 20 Оценило: 5 человек Средний балл: 4.8 Оценка: неизвестно Скачать

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	h (x ) > 0,		h (x ) > 0,
	h (x ) ≠ 1,		h (x ) ≠ 1,
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log₂ (5 + 3log₂ (x — 3)) = 3,	c) log_{(x — 2)} 9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1} (2x 2 — 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, log_a b = c , b = a c и, следовательно,

Опять используя определение, получим

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x — 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 — 4x — 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

или, после элементарных преобразований,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃ x + log₃ (x + 3) = log₃ (x + 24),

b) log₄ (x 2 — 4x + 1) — log₄ (x 2 — 6x + 5) = — 1 /₂

c) log₂ x + log₃ x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x +3 > 0,
	x +24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим


log₃ x + log₃ (x + 3) = log₃ (x + 24) 

	log₃ x (x + 3) = log₃ (x + 24),
	x > 0,


	x (x + 3) = x + 24,
	x > 0,

	x 2 + 2x — 24 = 0,
	x > 0,

		x ₁ = -6,
		x ₂ = 4,
	x > 0,
 x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

откуда получаем уравнение

с решениями x ₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

откуда или или log₂ x = log₆ 3. Следовательно,

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f (x ) > log_a g (x ) равносильно системе неравенств

	f (x ) > g (x ),
	g (x ) > 0.

Утверждение 2. Если 0 log_a g (x ) равносильно системе неравенств

Реферат на тему решение логарифмических уравнений

f (x ) 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h _{(x )} f (x ) > log_h _{(x )} g (x ) равносильно совокупности систем неравенств

		h (x ) > 1,
		f (x ) > g (x ) > 0,
		0 log_a g (x ) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , 2 — x ) ≥ log₃ (x + 8);
		b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log₃ (x 2 — x ) ≥ log₃ (x + 8)	x 2 — x ≥ x + 8,		x 2 — 2x — 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

	x ≤ -2,
	x ≥ 4,	x (-8;-2][4;+∞).
x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂ 1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Реферат «Логарифмы. Способы решения логарифмических уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

10 класса

обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Логарифмы», обретение практических навыков решения логарифмических уравнений и неравенств.

1)изучить историю возникновения логарифмов;

2)повторить определение и свойства логарифмов;

3) изучить способы решения уравнений и неравенств;

4)рассмотреть применение логарифмов в различных областях.

I. История возникновения логарифма.

II. Определение логарифма, свойства логарифмов, виды логарифмов.

III. Логарифмическая функция, её свойства, график.

IV. Логарифмические уравнения.

V. Логарифмические неравенства.

VI. Применение логарифмов.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома,

продлило ему жизнь…»

Мы часто задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?»

Этот вопрос возник и при изучении темы «Логарифмы». В других предметах мы их не встречаем. А нужны ли они вообще?

Так возникла идея: найти, в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.

Задавшись целью, мы выяснили, что логарифмы, логарифмическая функция имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, а так же экономике.

Выполняя работу, мы повторили понятие логарифма, его свойства, рассмотрели методы решения логарифмических уравнений и неравенств, применение логарифмической функции.

I. История возникновения логарифма.

Слово «логарифм» происходит от греческих слов «αριθμος» — число и «λογοσ» — отношение. Переводится как «отношение чисел», одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.

Как только люди научились вычислять, у них сразу же возникло желание как-то упростить этот процесс. Это не удивительно: сложные вычисления с самых давних пор нужны были в таких важных областях, как сбор налогов и астрономия, строительство огромных и сложных сооружений, повседневные расчеты, связанные с торговлей, займами, обменом денег. Одним из важнейших изобретений на этом пути были логарифмы, их появление упростило вычисления с числами и превратило из сложного искусства в рутинную работу.

Заметили, что выполнить умножение или деление гораздо труднее, чем сложение или вычитание. Так и египетские вычислители заменяли умножение чисел сложением и удвоением. При внимательном рассмотрении можно заметить, что алгоритм, который они использовали, опирался на соответствие между членами геометрической прогрессии, образованной степенями двойки, и арифметической прогрессии,

образованной целыми числами.

Гораздо позже, в III веке до н.э., великий древнегреческий ученый Архимед писал: «Если некоторое из чисел, составляющих непрерывную пропорцию начиная от единицы (так Архимед называл геометрическую прогрессию с первым членом 1), перемножается с другим из той же пропорции, то полученное число будет принадлежать к той же самой пропорции, отстоя от большего из перемножаемых чисел настолько, насколько меньшее из перемножаемых чисел в пропорции отстоит от единицы». Труды Архимеда были хорошо известны математикам средневековой Европы, многие из них упоминали обнаруженную Архимедом зависимость, но очень долго никому не удавалось получить из этих наблюдений какую-то практическую пользу.

Дальше всех в изучении этой закономерности продвинулся выдающийся немецкий математик Михаэль Штифель (1487-1567).

Он рассматривал те же последовательности, что и древние египтяне:

Числа верхнего ряда он называл показателями. Штифель заметил, что для того, чтобы получить показатель произведения, надо сложить показатели сомножителей, а показатель частного находится вычитанием показателя делителя из показателя делимого. Кроме того, Штифель первым догадался продолжить оба ряда влево и стал использовать отрицательные показатели степени. Впрочем, дальнейшего продвижения в новом направлении тогда не последовало.

Сопоставление таких последовательностей позволяет умножение двух чисел заменить сложением двух (но уже других!) чисел.

Итак, если уметь каждые два числа представлять как члены одной и той же геометрической прогрессии, можно вместе того, чтобы перемножать их, складывать отвечающие им показатели и находить в прогрессии число, показатель которого равен найденной сумме. Это и есть основная идея, на которой основана теория логарифмов.

Что же мешало создать новые вычислительные инструменты, основанные на такой замечательной идее? Дело в том, что геометрическая прогрессия с целым знаменателем растет очень быстро, даже если мы придаем этому знаменателю, как в рассмотренных примерах, самое маленькое из возможных значений, то есть 2. А значит, подавляющее большинство целых чисел, не говоря уж о дробях, в эту последовательность не попадут, и для их умножения эти прогрессии оказываются бесполезными.

В преодолении этой трудности большую роль сыграли работы голландского математика, инженера и финансиста Симона Стевина . Именно благодаря его усилиям математики Европы стали активно использовать в своей работе десятичные дроби. Книга Стевина под названием «Десятая», изданная в 1585г., способствовала быстрому распространению методов работы с новыми дробями.

Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби. Прежде всего, теоретическая подготовка учения о логарифмах тесно связана с развитием понятия степени. Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта (ок. 3 в.) из Александрии. Им, а возможно и его предшественниками, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степеней. С течением времени символика совершенствовалась, и эта идея получила дальнейшее развитие. Так, много позже, французский врач и математик Никола Шюке (ок. 1445 – 1500) в своем трактате «Наука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени. Ещё раньше, в 14 веке, епископ города Лизье в Нормандии Николай Орем (ок. 1323 – 1382), исходя из соображений о возможности вставлять в арифметическом ряду между натуральными числами дробные, высказал мысль о том, как надо выражать в рядах соответствующие величины геометрического ряда. Таким образом, он пришел к степеням с дробным показателем.

Но кто же стал автором первых таблиц логарифмов, позволяющих свести более сложные действия к более простым?

В истории науки иногда наступают моменты, когда необходимость некоторого открытия осознается многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. Их открыли, независимо друг от друга, шотландец Д.Непер в 1614 году и швейцарец И.Бюрге в 1620 году.

Однако создатели первых логарифмических таблиц подходили к изобретению нового удобного средства для упрощения вычислений по-разному.

Таблицы Иоста Бюрги были ещё очень несовершенны, правила работы с ними достаточно трудоемки, а многие результаты приходилось находить с помощью дополнительных приближенных приемов вычислений.

Бюрги очень медлил с опубликованием своих таблиц. Они вышли в свет лишь в 1620 году под названием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Но значительного распространения эти таблицы не получили, так как к моменту опубликования таблиц Бюрги ученому миру уже семь лет были известны другие таблицы, которые составил шотландский барон Джон Непер (1550 – 1617).

При создании таблиц логарифмов Непер исходил из идеи, которую сегодня оценивают как наиболее прогрессивную и оригинальную. Он близко подошел к понятию логарифмической зависимости. Подход Непера позволил определить логарифм любого положительного числа, но сделано это было не скоро. Члены геометрической прогрессии Непер назвал числами, а члены арифметической прогрессии – их логарифмами (от греческих слов «логос» — отношение, «арифмос» — число). Таким образом, книга первых таблиц логарифмов вышла с вполне современным названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614).

Изобретатель логарифмов был удивительным человеком. Джон Непер родился в 1550г. в родовом замке Мерчистон недалеко от столицы Шотландии Эдинбурга. В 13 лет он поступил в один из университетов Шотландии, но, проучившись там 2-3 года, отправился завершать образование в материковую Европу, где обучался языкам и математике. Около 1570 года он вернулся в Шотландию и больше её не покидал, где занимал различные выборные должности, но большую часть времени проводил в занятиях науками.

Занимался Непер и сельским хозяйством, даже получил патент на новый способ удобрения почвы. Но в истории науки он остался благодаря своим достижениям в математике, в которой его, прежде всего, интересовали способы упрощения вычислений. Кроме логарифмов, он придумал особые счетные палочки, на которые были нанесены специальным образом расположенные части таблицы умножения, что позволяло очень быстро перемножать многозначные числа. А еще придумал счетную доску, вычисления на которой называл «арифметикой мест»: вычисления на ней выполнялись в двоичной системе счисления практически по тем же правилам, что и в компьютерах.

Какие же логарифмы придумал Непер? Его способ определения логарифмов был совершенно необычным для математики того времени. Если все исследователи до него сопоставляли между собой два ряда чисел (арифметическую и геометрическую прогрессии), то Непер сопоставил между собой две переменные. Переменные эти связаны следующим образом: если выбрать ряд значений одной переменной так, чтобы они находились в одинаковом отношении (то есть образовывали геометрическую прогрессию), то соответствующие значения другой переменной будут отстоять друг от друга на одну и ту же величину (то есть образовывать арифметическую прогрессию). По сути дела, Непер определил логарифмическую функцию. А ведь к тому времени не был изобретен координатный метод, да и понятий переменной величины и функции тоже не было. Это был революционный подход, намного опередивший свое время и оказавший огромное влияние на дальнейшее развитие математики.

Но мало определить логарифмы – надо уметь их находить. Поскольку вычисление логарифмов большинства чисел – дело нелегкое, в практической работе используются таблицы логарифмов. При составлении логарифмических таблиц Непер проявил просто поразительную изобретательность, как в самых мелких деталях вычислений, так и в основной идее. По сути, он приближенно решал уравнения совершенно нового типа, которые в современной математике называют дифференциальными. Их систематическое изучение началось почти через сто лет после работ Непера!

Неперовы логарифмы сразу же получили всеобщее признание. Неперовыми называют еще натуральные логарифмы, в основании которых лежит число e.

В действительности это не так. Таблицы натуральных логарифмов составил и издал в 20-х годах 17 века другой английский математик – Джон Спейдель.

Связь между неперовыми логарифмами (LN) числа у и его натуральным логарифмом (ln) может быть приближенно выражена следующей формулой:

LN у ≈ 10 7 ln .

Очень долго логарифмы продолжали рассматривать лишь в связи со сравнением двух прогрессий. Только через полтораста лет после изобретения логарифмов, в середине 18 века, петербургский академик Л.Эйлер полностью и систематически изложил теорию логарифмирования как операции, обратной операции возведения в степень.

Многолетний труд талантливых и трудолюбивых математиков, затраченный на составление таблиц, впоследствии окупился тем, что тысячам вычислителей сохранил многие годы их жизни, сэкономив время при выполнении разнообразных сложных расчетов.

Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка оставались надёжным аппаратом для приближенных, но быстрых вычислений. Они в значительной мере содействовали ускорению научного и технического прогресса. Однако с появлением ЭВМ, которые способны ускорять процесс вычислений в миллионы раз, а особенно с появлением портативных микрокалькуляторов логарифмические таблицы практически потеряли своё значение вычислительного аппарата.

Не меньшее значение имело изобретение логарифмов для развития теоретических вопросов математики. Возникнув из практических нужд вычислителей, астрономов и мореплавателей, идея логарифма привела в 18–19 веках к развитию учения о показательной и логарифмических функциях и других математических теорий, которые в свою очередь открыли возможность для новых практических применений.

Таким образом, история логарифмов ещё раз показывает ту большую роль, которую играет практика и техника в развитии науки о природе.

История логарифмов говорит о том, что великие открытия являются результатом труда не одного человека и даже не одного поколения. Она убеждает нас в том, что научные открытия не являются плодом одной лишь гениальности или выдающихся способностей ученого; они являются результатом гигантского труда, огромного напряжения мысли и воли к достижению цели.

II. Определение логарифма, свойства логарифмов, виды логарифмов.

1) Определение логарифма.

Логарифмом положительного числа b по основанию a ( a > 0, a 1) называется показатель степени , в которую нужно возвести a , чтобы получить b .

Например: log ₃ 81 = 4 , так как 3 4 = 81;

log _1/3 27 = – 3 , так как (1/3) -3 = 3 3 = 27 .

Вышеприведенное определение логарифма можно записать следующим образом:

Полученное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

Пример: 4 log ₄ 15 = 15, = 6.

Операцию нахождения логарифма числа называют логарифмированием .

Особо выделим три формулы:

2) Свойства логарифмов.

1) Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей (с >0, с ≠ 1, а >0, b >0)

2. log ₄ 8 + log ₄ 32 = log ₄ (8 · 32) = log ₄ 256 = 4.

2) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (с >0, с ≠ 1, а >0, b >0)

log _с ( ) = log _с a – log _с b .

2. log ₃ = log ₃ 81 — log ₃ 27 = 4 – 3 = 1.

3) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания (с >0, с ≠ 1, b >0)

1. log ₂ 16 3 = 3 log ₂ 16 = 3 · 4 = 12;

Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

4) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

log b = log _c b

Два последних свойства можно объединить в одно:

log b m = log _c b

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию (с >0, с ≠ 1,

Например, log ₂ 3 = .

В частном случае при b = a имеем:

Например, log ₂ 3 = .

Полезно также знать и следующие свойства логарифмов:

log _a b 2 = 2 log _a l b l при а >0, а ≠ 1,b ≠ 1.

log _a bc = log _a (-b) + log _a (-c) при а >0, а ≠ 1,b 0, с .

log _a ( ) = log _a (-b) — log _a (-c) при а >0, а ≠ 1,b 0, с .

a log _b c = c log _b a при а >0,b > 0, b ≠ 1, с >0 .

2) Виды логарифмов.

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

1. Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10.

Он обозначается lg , т.е. log ₁₀ b = lg b .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3.

Логарифмы чисел 10, 100, 1000, . pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы.

Логарифмы чисел 0,1; 0,01; 0,001; . pавны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой . Целая часть логарифма называется характеристикой .

Известно, например, что lg 2 ≈ 0,3010. Поэтому характеристика равна 0, а мантисса 0,3010

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение; опираясь на особенности принятой десятичной системы счисления, составляли подробные таблицы десятичных логарифмов, наносили значения логарифмов на шкалы специальных логарифмических линеек. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль, более важными стали логарифмы по основании 2.

2. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е .

Он обозначается ln , т.е. log _e b = ln b .

Число е является иррациональным, его приближённое значение 2,718281828… .

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16

Натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.