Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических Уравнений

Замена переменной в логарифмических уравнениях

Замена переменной в логарифмических уравнениях в ряде случаев позволяет упростить решение. Самый распространённый пример введения вспомогательной переменной — логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным — мы уже рассмотрели.

Замена переменной в уравнении, содержащем логарифмы в знаменателе, даёт возможность от логарифмического уравнения перейти к дробному рациональному.

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной0;\ 5 — lg x ne 0;\ 1 + lg x ne 0; end right. Rightarrow left< begin x > 0;\ lg x ne 5;\ lg x ne — 1. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пусть lgx=t, t≠5, t≠-1. Тогда имеем дробное рациональное уравнение

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Возвращаемся к исходной переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

В следующем примере замена переменной не столь очевидна.

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной0;\ lg x > 0;\ lg — 2; end right. Rightarrow left< begin x > 0;\ lg x > 0;\ lg x > frac; end right. Rightarrow left< begin x > 0;\ lg x > frac end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

(достаточно довести нахождение ОДЗ до этого момента).

После вынесения показателя степени за знак логарифма

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

удобно ввести новую переменную: пусть lgx=t, t>2/3. Имеем:

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Сумма логарифмов равна логарифму произведения

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Отсюда, по определению логарифма,

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Второй корень не удовлетворяет условию t>2/3.

Выполняем обратную замену:

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Замена переменной также используется при логарифмировании. Этот способ решения логарифмических уравнений мы рассмотрим позже.

Видео:Решение логарифмических уравнений методом замены переменной. Подготовка к ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 #74Скачать

Решение логарифмических уравнений методом замены переменной. Подготовка к ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 #74

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Видео:Подготовка к ЕГЭ #74. Решение логарифмических уравнений методом замены переменнойСкачать

Подготовка к ЕГЭ #74. Решение логарифмических уравнений методом замены переменной

Уравнения вида logaf(x) = logag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Видео:Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Решение уравнения методом замены переменной

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Видео:Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #14 Напрашивается замена переменнойСкачать

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #14 Напрашивается замена переменной

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение логарифмических уравнений. Вебинар | Математика

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Видео:Методы решения логарифмических уравненийСкачать

Методы решения логарифмических уравнений

План-конспект урока по теме: «Решение логарифмических уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Задача: опираясь на ранее изученные свойства логарифмов, научиться решать логарифмические уравнения с помощью замены переменной.

Цели:

  • образовательная: научить применять метод замены переменной при решении логарифмических уравнений;
  • развивающая: формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по теме;
  • воспитательная: учить преодолевать трудности, работать в быстром темпе, воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Тип урока: урок изучения нового.

Оборудование:

  • плакаты: “Свойства логарифмов”, самостоятельная работа на два варианта;
  • магнитная доска и магниты;
  • карточки с домашним заданием.

Ход урока

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя. Сегодня я хочу познакомить вас с одним из интересных способов решения логарифмических уравнений – методом замены переменной. При их решении мы будем пользоваться свойствами логарифмов, которые приведены на плакате.

2. Объяснение нового материала. Рассмотрим примеры.

Пусть log9(x-2)=t , тогда x-2=9 t и исходное уравнение

t+Решение логарифмических уравнений через замену переменной=1,5
1,5t=1,5
t=1 , отсюда x-2=9 1
x=11

Решите в группах уравнение:

Log4 x (5-x)+log8 x (5-x)+log16 x (5-x)=Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Log4 x (5-x)=t, заменить 5-x на (4 x ) Решение логарифмических уравнений через замену переменнойво втором и третьем слагаемом правой части уравнения.

Применяя формулу перехода к другому основанию: log3x=Решение логарифмических уравнений через замену переменной

И полагая, что log2x=t; x>0, имеем

t+Решение логарифмических уравнений через замену переменной=t*Решение логарифмических уравнений через замену переменной, т.к. Решение логарифмических уравнений через замену переменной= log32, то
t+tlog32-t 2 log32=0.
t(1+log32-t log32)=0, откуда
t=0 или tlog32= log32+ log33
tlog32= log36
t=Решение логарифмических уравнений через замену переменной
log2x=0 log2x= log26
x=2 0 =1 x=6

Решите в группах уравнение:

(ответ: Решение логарифмических уравнений через замену переменной)

Положим log2х=t; x>0, тогда х=2 t

Решение логарифмических уравнений через замену переменной
Решение логарифмических уравнений через замену переменной
Решение логарифмических уравнений через замену переменной
t(2+t)+(2t+1)(t+1)=1,5(t+1)(2+t)
t 2 +2t+2t 2 +3t+1=1,5t 2 +4,5t+3
1,5t 2 +0,5t-2=0
t1=1 t2=Решение логарифмических уравнений через замену переменной
x=2 1 =2 x=2 4/3 =Решение логарифмических уравнений через замену переменной
Ответ: 2 и Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решите в группах:

Logх2* Решение логарифмических уравнений через замену переменной=Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Пример 4. Некоторые уравнения можно решить логарифмированием обеих частей уравнения, но можно и при помощи замены переменной. Рассмотрим как раз такой случай.

Решение логарифмических уравнений через замену переменнойlog2x=t, x>0; x=2 t
Решение логарифмических уравнений через замену переменной
t 2 +3t-4=0
t1=1; t2=-4 отсюда x=2 1 =2
x=2 -4 =Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Ответ: 2 и Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решите в группах следующее уравнение:

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Решение логарифмических уравнений через замену переменнойlog6x=t, x>0; x=6 t
Решение логарифмических уравнений через замену переменной Решение логарифмических уравнений через замену переменнойt 2 =1 t=1 и t=-1,

тогда x=6 и x=Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Ответ: 6 и Решение логарифмических уравнений через замену переменной

В группах решите:

Решение логарифмических уравнений через замену переменной

(ответ: Решение логарифмических уравнений через замену переменнойи 4)

1 вариант2 вариант
а) log2x+ log4x+ log8x=11а) log4x+ log16x+ log2x=7
б) x 2lgx =10xб) x 2lgx =100x
в) Решение логарифмических уравнений через замену переменнойв) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
г) Решение логарифмических уравнений через замену переменнойг) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
д) Решение логарифмических уравнений через замену переменнойд) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
е) 3log3xx=2log9xx 2е) 2log4xx 3 =5log2xx

а) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
б) log4x+logx8=Решение логарифмических уравнений через замену переменной
в) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
г) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
д) Решение логарифмических уравнений через замену переменной
е) Решение логарифмических уравнений через замену переменной

Список использованной литературы

  1. Башмаков М.И., Братусь Т.А., Жарковская Н.А. и др. “Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы. 10-11 классы” М., Дрофа, 2004.
  2. Бородуля И.Т. “Показательная и логарифмическая функции (задачи и упражнения)” М., Просвещение,1984.
  3. Зив Б.Г., Алтынов П.И. “Алгебра и начала анализа. Геометрия. Дидактические материалы” М., Дрофа, 1999.
  4. Зив Б.Г., Гольдич В.А. “Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы” СПб.,Петроглиф, 2006.
  5. Карп А.П. “Сборник задач по алгебре и началам анализа” М., Просвещение, 1999.
  6. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. “Задачи по алгебре и началам анализа” М., Просвещение, 1997.
  7. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2006.
  8. Шабунин М.В. “ Уравнения. Лекции для старшеклассников и абитуриентов” М., Чистые пруды, 2005.
  9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. “Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс” М., Просвещение, 1991.

💡 Видео

Подготовка к ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений. Замена переменныхСкачать

Подготовка к ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений. Замена переменных

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения с заменой переменныхСкачать

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения с заменой переменных

11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

11 класс, 17 урок, Логарифмические уравнения

12.4. Логарифмические уравнения. Замена переменной.Скачать

12.4. Логарифмические уравнения. Замена переменной.

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #12 Метод введения новой переменнойСкачать

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #12 Метод введения новой переменной

ИЗИ ЕГЭ. Решение показательных и логарифмических уравнений. №13. Замена переменной, ОДЗСкачать

ИЗИ ЕГЭ. Решение показательных и логарифмических уравнений. №13. Замена переменной, ОДЗ

Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать

Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #15 Вводим новую переменнуюСкачать

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #15 Вводим новую переменную

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #5 Переменная вездеСкачать

Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #5 Переменная везде

Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать

Интересная задача на логарифмы в ЕГЭ
Поделиться или сохранить к себе: