Пусть а множество корней уравнения x2 9 в множество корней (4 видео)

Практическая работа «Операции над множествами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Практическая работа №1

Тема: «Выполнение операций над множествами»

Цель: развитие практических навыков задания множеств, выполнения операций над множествами.

Время выполнения : 90 минут.

1. Найдите объединение, пересечение, разность множеств А и В , если:

а) А = ] ; B =[1; + )

2. (Устно) Найдите дополнение в множестве всех треугольников к множеству:

а) всех равносторонних треугольников;

б) всех равнобедренных треугольников;

в) всех прямоугольных треугольников.

а) А ( В С ); е) АВ;

б) ( С В ) А ; ж) А В;

в) А ( В С ); з) В С.

г) А ( В С );

д) А ( В С) ;

4.(Устно)Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов;

г) геометрических фигур;

д) населенных пунктов;

ж) политических деятелей.

Пусть А – множество корней уравнения

. Перечислите элементы множеств:

а) А

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < x : x N , -2 ≤ x ≤ 5>;

б) В = < х : x Z , | x |

в) С = < х : x N , 2 х 2 + 5 х – 3 = 0>.

3.Даны множества: А= . Найдите А

4.Даны два множества: А – множество стран и В – множество материков. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок. А= , В= .

Пусть А – множество корней уравнения

. Перечислите элементы множеств:

а) А

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < х : x Z , | x | = 4>;

б) В = < х : x N , –2 х ≤ 5>;

в) С = < х : x Q , x 2 + 3 х + 4 = 0>.

3.Даны множества: А= . Найдите А

4.Даны два множества: А – множество месяцев года и В – множество времён года. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок.

Пусть А – множество корней уравнения

. Перечислите элементы множеств:

а) А

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < х: x Z , –2 ≤ x ≤ 3>;

б) В = < х : x N , (5 х + 6)( х – 4) = 0>;

в) С = < х : x N , | x | = 7>.

3.Даны множества: А= . Найдите А

Пусть А – множество корней уравнения

. Перечислите элементы множеств:

а) А

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < х : х N , х ≤ 4>;

б) В = < х : х Z , ( х + 1)(– х – 3) = 0>;

в) С = < х : х N , | х | = 5>.

3.Даны множества: А= . Найдите А

4. Даны два множества: А – множество месяцев года и В – множество времён года. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок.

1. Назовите элементы, принадлежащие множеству:

а) студентов вашей группы;

б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;

в) всех частей света;

г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.

2. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

3.Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];

б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;

в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;

г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

д) Е – множество натуральных делителей числа 18;

е) F – множество чисел, модуль которых равен .

4.На факультете филологии и журналистики учатся студенты, получающие стипендию, и студенты, не получающие стипендию. Пусть А – множество всех студентов факультета; В – множество студентов факультета, получающих стипендию.

Укажите, что собой представляет объединение , пересечение и разность множеств А и В .

Содержание

Курс предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов «Элементы теории множеств»
Пояснительная записка
Дидактический материал
Тема 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество
Тема 2. Понятие подмножества
Тема 3. Пересечение и объединение множеств.
Тема 4. Конечные и бесконечные множества.
Тема 6. Числовые множества. Числовые промежутки.
Тема 7. Взаимнооднозначное соответствие между множествами
Тема 8. Разность множеств
Тема 9. Проверочная работа
Объединение множеств
📺 Видео

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Курс предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов «Элементы теории множеств»

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Программа данного элективного курса рассчитана на 9 часов. Подобранный материал способствует расширению объема сведений по математике, а также обучению подростков навыкам анализа нестандартных ситуаций, самостоятельной работе с литературой, развитию математической речи.

В настоящее время большинство разделов математики построены на базе теоретико-множественных идей. Использование множеств и операций над ними позволяет осветить с современных позиций целый ряд разделов школьной математики. В то же время основные понятия теории множеств настолько просты и ясны, что их можно начинать преподавать с начальной школы.

При проведении занятий по теории множеств большое внимание уделяется разбору примеров множеств из окружающего мира. Надо научить школьников видеть конкретные примеры множеств, подмножеств, пересечений и объединений множеств и т.д. В то же время следует разобрать достаточное число примеров из уже известных школьникам вопросов математики, научить подходить к этим вопросам с теоретико-множественных позиций. Такие понятия, как система уравнений и неравенств, совокупность уравнений и неравенств, получают естественное истолкование на языке теории множеств.

Цель курса: познакомить учащихся с элементами теории множества.

Задачи курса:

познакомить учащихся с понятием множества;
познакомить учащихся с основными операциями: объединение и пересечение множеств;
дать определение подмножества;
рассмотреть конечные, бесконечные, числовые множества;
рассмотреть число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств;
предоставить учащимся возможность, проанализировать свои способности к математике.

Тема занятияКол-во часов

Виды деятельности учащихся1.Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество.

1Составление конспекта. Коллективное решение задач. Работа со справочной литературой.2.Понятие подмножества.

1Деятельность учащихся направлена на выработку умения, отличать множества от подмножества.3.Пересечение и объединение множеств.

1Выполнение тренировочных упражнений на отработку определений пересечения и объединения множеств. Проводятся тренировочные упражнения в устной форме на применение терминов из теории с целью развития математической речи.4.Конечные и бесконечные множества.

1Используя навыки определения множества и подмножества, учащиеся самостоятельно

пытаются дать определение конечному и бесконечному множеству. Приводят примеры из жизненного опыта, рассматривают упражнения в письменной и устной форме.5.Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств

1На конкретных примерах учащиеся самостоятельно формулируют свойства, записывают их в тетрадь. Выполняют тренировочные упражнения, которые помогают закрепить полученные знания.6.Числовые множества. Числовые промежутки.

1Деятельность учащихся направлена на выработку умения, правильно записывать числовые промежутки. Упражнения выполняются в письменной форме.7.Взаимно однозначное соответствие между множествами.

1Конспект лекции, работа со справочной литературой. Отработка полученного материала с записью в тетради.8.Разность множеств.

1Составление опорного конспекта, оформление рисунков на доске, сообщение учеников по данной теме.9.Проверочная работа.

1Обобщение знаний и проверка с помощью выполнения письменной работы составленной по аналогии с пройденным материалом.

Дидактический материал

Тема 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество

Цель: ввести понятие множества, его элементов.

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют, одним словом. Совокупность документов называют архивом; собрание музыкантов – оркестром; группу лошадей – табуном; родителей, детей и их родственников – семьей; большую группу людей – толпой или очередью; собрание книг – библиотекой и т.д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в одну единую совокупность является понятие множества. Это понятие не определяется, подобно понятиям точки, числа, и является первичным.

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. Все множества можно записывать с помощью заглавных букв латинского алфавита:

А – множество квадратов;
В – множество чисел.

Элементы множества можно записать с помощью маленьких букв: х является элементом множества А. Это можно записать так: хА (читают: х есть элемент множества А, или х принадлежит А, или х содержится в А, или А содержит х). Если объект х не является элементом множества А, то это записывают так: хА (читается: х не есть элемент множества А, или х не принадлежит А, или х не содержится в А).

Например: Если множество В – множество натуральных чисел, то 2В, –7В, мухаВ и т.д.

Множество можно иногда задавать перечислением его элементов. Например: множество стран на земном шаре задается их списком в географическом атласе, множество учеников в классе – их списком в классном журнале. Если множество задано списком, то названия всех элементов множества записывают в фигурные скобки, разделяя запятой. Например: если множество С состоит из трех элементов:1,9 и –4, то это записывают так: С =.

Но не все множества можно записывать списком. Если множество содержит бесконечно много элементов, то такой список составить нельзя. Множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают ни какие другие объекты. Такое свойство называют характеристическим свойством множества. Например: множество может быть задано:

а)множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1 2 – 6х + 8 = 0.

Задание множества его характеристическим свойством записывают и в геометрии. Например: биссектриса угла есть геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от его сторон.

Множество элементов обладающих характеристическим свойством записывают так:

А = <х: –3 3 – 1А;
в) х 2 + у 2 – 1А.

№ 4. На координатной плоскости расположен квадрат АВСД, где А(10; 10), В(–10; 10), С(–10; –10), Д(10, –10). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах квадрата или внутри его?

№ 1. Запишите известные вам названия множеств военнослужащих.

№ 2. На координатной плоскости расположен треугольник АВС, где А(–3; –2), В(0; 8), С(10; –5). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах треугольника или внутри его?

Тема 2. Понятие подмножества

Цель: ввести понятие подмножества, его элементов.

При помощи операций над множествами можно получать новые множества. Рассмотрим операцию пересечение множеств.

Пересечение множеств А и В есть множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из множеств А и В.

Обозначается операция пересечения: АВ.

Например: А = и В =, то АВ = .

Наглядно представить расположение множеств в различных случаях можно при помощи геометрических фигур.

Множества называются не пересекающимися, если у них нет общих элементов, т. е. их пересечение пусто.

Если заданы два множества, то можно образовать новое множество, включив в него, во-первых, элементы первого множества и, во-вторых, элементы второго множества, не совпадающие с элементами первого. Рассмотрим операцию объединение множеств.

Объединение множеств А и В представляет собой множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. Обозначается операция объединения: АВ.

Например: А = , В = , то А B = .

№ 1. На координатной плоскости даны три множества:

А – множество точек А(х; у), у которых | x | = 1;
В – множество точек В(х; у), таких, что | y | = 1;
С – множество, равное графику функции у = 2х.

a) A B;
б) А В;
в) А С;
г) В С;
д) А В С

№ 2.Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.

№ 3. Каким свойством выделяется подмножество млекопитающих в множестве всех живых существ?

Пусть А – множество четных чисел из промежутка [100;1000], а В – множество чисел, кратных 5, из того же промежутка.

Сколько чисел в множестве: а) A B; б) А В

Тема 3. Пересечение и объединение множеств.

Цель: ввести понятия пересечения и объединения множеств.

Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В –> подмножество в А, и пишут
ВА. Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество и само множество А. Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.

№ 1. Даны множества:

а) Множество А всех тетрадей.
б) Множество В всех прямоугольников.
в) Множество С всех четырехугольников.
г) Множество D всех квадратов.
д) Множество Е всех параллелограммов.
е) Множество F всех многоугольников.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

№ 2. Даны множества:

а) Множество А всех рациональных чисел.
б) Множество В всех целых чисел.
в) Множество С всех действительных чисел.
г) Множество D всех четных натуральных чисел.
д) Множество Е всех натуральных чисел.
е) Множество F всех натуральных чисел, делящихся на 12.

№ 3. Даны множества:

а) Множество А учеников 8-го класса данной средней школы.
б) Множество В всех учеников данной средней школы.
в) Множество С учеников 8-го класса этой средней школы, посещающие факультативные занятия по математики.
г) Множество Е всех учащихся средней школы в России.
д) Множество D всех учащихся средних школ города Салехард.
е) Множество F мальчиков из 8 класса, посещающих факультативные занятия по математике.

а) Множество А всех позвоночных животных.
б) Множество В всех животных.
в) Множество С всех млекопитающих животных.
г) Множество D всех волков.
д) Множество Е всех хищных млекопитающих.

Тема 4. Конечные и бесконечные множества.

Цель: ввести понятие конечного и бесконечного множества, научить оперировать этими понятиями при решении задач.

Справочный материал.

Множество, элементы которого можно пересчитать называется конечным множеством. Конечное множество можно задавать двумя способами:

указанием на некоторое свойство, которому удовлетворяют его элементы;
перечислением его элементов.

Например: А = <х: –3 2 2 – 7х + 12 = 0.

Верна ли запись – 5А?
Верна ли запись 10А?
Верна ли запись 4А?

Составьте список элементов множества А.

№ 2. Пусть А – множество делителей числа 60.

Верна ли запись 7А?
Верна ли запись 10А?
Верна ли запись 20А?

Составьте список элементов множества А.

№ 3. Составьте список элементов множества, заданных свойствами:

а) А = <х : х 2 – 8х + 12 = 0>;
б) В = <х : хN, –11 2 + 9 = 0.

№ 2. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элементы не обладающие этим свойством:

№ 3. Назовите отличия записи множества А = от множества [2; 4].

Тема 6. Числовые множества. Числовые промежутки.

Цель: ввести понятие “числовые промежутки” и “числовые множества”, учить применять на практике.

Справочный материал.

Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа а и b, а 2 + 5х + 7 + = 1 + .

№ 3. Совпадают ли ОДЗ уравнений: х + 5 = 15 – х и х + 5 +.

№ 1. Найдите ОДЗ для уравнений: .

№ 2. Придумайте и запишите элементы множества, используя рисунок.

А) Б)

Тема 7. Взаимнооднозначное соответствие между множествами

Цель: ввести понятие взаимного однозначного соответствия между множествами.

Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу а из А поставлен в соответствие b из В, и при этом соответствии каждый элемент b из В соответствует одному и только одному элементу а из А.

Например: в случае, когда на танцевальной площадке танцуют все, между множеством юношей и множеством девушек устанавливается соответствие, обладающее следующими свойствами:

1) Каждому юноше соответствует одна и только одна девушка – его партнерша.
2) Каждой девушке соответствует один и только один юноша – ее партнер.

Понятие взаимнооднозначное соответствие весьма важное при изучении функции. Рассмотрим функцию: у = . Когда х изменяется на отрезке [–1; 2], то у изменяется на отрезке [–1; 8]. При этом каждому числу х из отрезка [–1; 2] соответствует одно и только одно значение у, принадлежащее отрезку[–1;8], а каждому значению у из отрезка [–1; 8] – одно и только одно значение х из отрезка [–1; 2]. Иными словами, функция у = устанавливает взаимнооднозначное соответствие между точками отрезков [–1; 8] и [–[1; 2]. Эта функция устанавливает и взаимно однозначное соответствие между точками числовых прямых х и у. Отсюда следует, что каждому значению у соответствует единственное значение х, такое, что х= у.

№ 1. Приведите пример функции, которая не задает взаимно однозначного соответствия. Ответ объясните.

№ 2. Каждой параболе, ось которой параллельна оси ординат, ставится в соответствие ее уравнение вида у = а+ bх + с. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 3. Пусть А – множество всех окружностей на плоскости и В – множество всех квадратов плоскости. Каждому квадрату ставят в соответствие вписанную в него окружность. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 4. Пусть А – множество всех окружностей на плоскости и В – множество всех точек этой плоскости. Каждой окружности ставится в соответствие ее центр. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 5. Найдите объединение корней уравнений (3х + 5) + (8х + 1) = 17 и 2х = 20.

№ 1. Каждому квадратному уравнению вида (а и b — положительные числа) ставится в соответствие его положительный корень. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 2. Найдите пересечение двух прямых у = х и у = 2- х. Ответ запишите в виде множества состоящего из элементов.

Тема 8. Разность множеств

Цель: ввести понятие разности множеств и научить применять его на практике.

Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Разность множеств А и В обозначают АВ. Если рассмотреть разность множеств А и В с помощью диаграмм Эйлера-Вена, то видим АВ = когда А = В.
В случае, когда В — есть подмножество множества А, разность АВ называют дополнением множества В в множестве А и обозначают С_АВ * .

Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольников с неравными сторонами. Разность множеств используется при решении уравнений с переменными в знаменателе.

№ 1. Что представляет собой множество:

а) С_АА;
б) С_А ?

№ 2. Пусть А = [1; 4], В = [2; 6]. Найдите множества АВ и ВА. Чему равно множество (АВ)(ВА)?

Найдите дополнение множества правильных треугольников в множестве всех треугольников; всех правильных многоугольников.

Дома.

Пусть А = <х/х = 2м — 1, м — целое число>, В = <х/х = 4к + 1, к — целое число>. Опишите множество АВ.

Тема 9. Проверочная работа

Цель: проверить знания и умения, учащихся по элементам теории множеств.

№ 1. Даны множества:

а) А В; б) А В; в) В С; г) А С; д) В .

№ 2.Пусть А — множество делителей числа 80.

Верна ли запись 7А?
Верна ли запись 10А?
Верна ли запись 20А?
Составьте список элементов множества А.

№ 3. Даны множества:

а) Множество В всех прямоугольников;
б) Множество С всех четырехугольников;
в) Множество D всех квадратов;
г) Множество Е всех параллелограммов;
д) Множество F всех многоугольников.

№ 4.. На координатной плоскости расположен треугольник АВС,

где А(0; 8), В(2; -4), С(-6; -2). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах треугольника или внутри его?

№ 5.Найдите пересечение двух прямых у = 3х и у = х + 2. Ответ запишите в виде множества состоящего из элементов.

№ 6.Запиши с помощью фигурных скобок множество корней уравнения:

№ 7.Пусть Е — множество, состоящее из таких чисел х, что 9 = х 2 = 25.

Проверьте, что [3; 5]Е. Верно ли, что [3; 5] = Е?

№ 8. Найдите ОДЗ для уравнений: а).

а) А В; б) А В; в) В С; г) А С; д) В .

№ 2. Пусть А — множество делителей числа 60.

Верна ли запись 7А?
Верна ли запись 10А?
Верна ли запись 20А?
Составьте список элементов множества А.

№ 3. Даны множества:

№ 4. На координатной плоскости расположен треугольник АВС, где А(3; 1), В(-2; -8), С(-4; 7). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах треугольника или внутри его?

№ 5. Найдите пересечение двух прямых у = х и у = 2 — х. Ответ запишите в виде множества состоящего из элементов.

№ 6. Запиши с помощью фигурных скобок множество корней уравнения:

№ 7. Пусть Е — множество, состоящее из таких чисел х, что 4 = х 2 = 9. Проверьте, что [2; 3]Е. Верно ли, что [2; 3] = Е?

№ 8. Найдите ОДЗ для уравнений: а).

№ 1. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

№ 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

№ 3.В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 — черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 — яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

№ 4.Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя иностранными языками. Сколько человек из этих 100 знают 3 языка?

№ 5. Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решавших задачу, оказалось равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?

№ 6. Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли с собой бутерброды с ветчиной, 24 — с колбасой, 15 — с сыром, 11 — с ветчиной и с колбасой, 8 — с ветчиной и с сыром, 12 — с колбасой и с сыром, 6 — бутерброды всех трех видов, а 5 — вместо бутербродов взяли с собой пирожки?

Литература:

И.Л. Никольская. «Факультативный курс по математике», учебное пособие для 7-9-х классов средней школы. М., «Просвещение», 1991.
К.П. Сикорский. «Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий», М., «Просвещение», 1969.
Н.А. Виленкин. «Алгебра» учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики, М., «Просвещение», 2005.
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. «Справочник по математике для инженеров и учащихся «, М., «Наука», 1986.
А.Г.Ципкин. «Справочник по математике», для средних учебных заведений, М., «Наука», 1988.

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

Объединение множеств

Объединение множеств A и B являет собой такое же, как и исходные, множество, в составе которого наличествуют элементы, принадлежащие одному или прочим из объединяемых множеств. Удостоверяет объединение двух множеств наличие в обозначении между ними специального знака, напоминающего латинскую букву «U».

Понять, как происходит объединение множеств легко на простом примере:
Если A = и B = , то A U B = .
Или: если A = и B = , то A U B =

В отношении объединения множеств действует коммутативный и ассоциативный законы. Задействуются вычисления объединения множеств наравне с разностью и пересечением множеств при решении различных задач алгебры логики и профильной алгебры множеств, при проектировании сложной микропроцессорной и иной электронной техники.