Производная от степени квадратного уравнения

Производная степенной функции (степени и корни)

Производная от степени квадратного уравнения

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

Основные формулы

Производная от x в степени a равна a , умноженному на x в степени a минус один:
(1) .

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2) .

Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

4. Вычисление производных примеры. Самое начало.

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x .
При некоторых значениях постоянной a , она определена и при отрицательных значениях переменной x . А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n – целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x . Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3) .
Производную первого порядка мы уже нашли:
.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;

.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
.

Заметим, что если a является натуральным числом, , то n -я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
.

Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.

Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.

Еще примеры

Найти производные следующих функций, зависящих от переменной x :
Решение > > > Решение > > > Решение > > > Решение > > > Решение > > >

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Решение > > >

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-04-2017

Видео:ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ решение производных функцийСкачать

ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ решение производных функций

Квадратный трехчлен и его производная

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели урока:

  • Научить учащихся применять ранее полученные знания о квадратном трехчлене, линейной функции, производной, её геометрическом смысле в новой для них нестандартной ситуации;
  • Показать учащимся при решении задач естественную неразрывную связь между алгеброй и геометрией.
  • Формировать у учащихся навыки исследовательской работы.

Пособия:

  • слайды презентации PowerPoint с чертежами к уроку.

План урока:

  • Организационный момент;
  • Объявление темы урока, постановка целей урока;
  • Лекционное изложение нового материала с элементами закрепления:
  • Закрепление материала практическим решением нестандартных задач.
  • Итоги урока, постановка домашнего задания.

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Сообщение темы, целей и плана урока.

2. Повторение свойств линейной и квадратичной функций;

По готовым слайдам презентации повторить свойства линейной и квадратичной функции.

3. Лекционная часть урока “Квадратный трехчлен и его производная”

Рассмотрим две функции: квадратный трехчлен Производная от степени квадратного уравненияи его производную Производная от степени квадратного уравнения, которая, очевидно, является линейной функцией. На рисунке 1 изображены их графики – парабола Производная от степени квадратного уравненияи прямая Производная от степени квадратного уравнения, которые иллюстрируют известный факт, что если на промежутке Производная от степени квадратного уравнения>0, то квадратный трехчлен на этом промежутке возрастает, если на промежутке Производная от степени квадратного уравнения^ Производная от степени квадратного уравнения.

Касательная имеет вид Производная от степени квадратного уравнения. Чтобы найти Производная от степени квадратного уравнениянужно вычислить координаты точки А касания. Их нетрудно посчитать. Точка касания имеет координаты AПроизводная от степени квадратного уравнения, где Производная от степени квадратного уравнения. Составим уравнение касательной, зная угловой коэффициент Производная от степени квадратного уравненияи координаты точки касания, получим уравнение касательной Производная от степени квадратного уравнения. Это значит что Производная от степени квадратного уравнения. Теперь можно вычислить DF=Производная от степени квадратного уравнения. В прямоугольном треугольнике DCF острый угол Производная от степени квадратного уравненияравен углу между касательной и положительным направлением оси абсцисс, поэтому Производная от степени квадратного уравнения. Решая треугольник DCF находим СВ, а значит и искомое расстояние Производная от степени квадратного уравнения.

Производная от степени квадратного уравнения

Задача 2. Как показано выше график квадратного трехчлена Производная от степени квадратного уравнениякасается графика своей производной. Найдите координаты точки касания и докажите, что эта точка касания расположена всегда правее вершины параболы на одну единицу.

Решение. Координаты точки А касания посчитать нетрудно, АПроизводная от степени квадратного уравнения. Простой анализ координат точки А показывает, что абсцисса точки касания на единицу больше, чем абсцисса вершина параболы.

Задача 3. Парабола Производная от степени квадратного уравненияквадратного трехчлена Производная от степени квадратного уравненияи прямая Производная от степени квадратного уравнения, график его производной пересекаются в двух точках А и В. К параболе Производная от степени квадратного уравнениячерез точки А и В проведены две касательные с угловыми коэффициентами Производная от степени квадратного уравненияиПроизводная от степени квадратного уравнения. Докажите, что Производная от степени квадратного уравнения.

Решение. Абсциссы точек А и В пересечения параболы Производная от степени квадратного уравненияи прямой Производная от степени квадратного уравнениянайдем из уравнения Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения

Найдем угловые коэффициенты Производная от степени квадратного уравненияи Производная от степени квадратного уравнениякасательных, проведенные через точки А и В. Они равны значению функции Производная от степени квадратного уравненияв точках Производная от степени квадратного уравненияи Производная от степени квадратного уравнения, фактически эти значения совпадают с ординатами точек А и В. Вычислим их: Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения. Теперь ясно, что Производная от степени квадратного уравнения.

Еще один интересный момент. Если угловой коэффициент прямой АВ обозначить через Производная от степени квадратного уравнения, то учитывая, что Производная от степени квадратного уравнения, нетрудно установить удивительно простую зависимость между угловыми коэффициентами этих прямых: Производная от степени квадратного уравнения.

Производная от степени квадратного уравнения

4. Практикум по решению задач.

  • Пусть Производная от степени квадратного уравнениянекоторый квадратный трехчлен. Рассмотрим параболы Производная от степени квадратного уравненияи Производная от степени квадратного уравнения. Докажите, что вторая парабола получается из первой параллельным переносом на вектор Производная от степени квадратного уравнения.
  • Последовательность квадратных трехчленов, задана реккурентным соотношением Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения. Докажите, что все параболы, являющиеся графиками функций из этой последовательности, имеют общую касательную.
  • Как продолжить последовательность функций из предыдущей задачи влево, если убрать ограничение Производная от степени квадратного уравнения, то есть найдите квадратный трехчлен, непосредственно предшествующий квадратному трехчленуПроизводная от степени квадратного уравнения.
  • Парабола Производная от степени квадратного уравненияпересекает ось Производная от степени квадратного уравнения
  • в двух точках. Через каждую из них проведены касательные, которые пересекаются в точке С. Найдите координаты точки С.

    Ответы к задачам: 3. Производная от степени квадратного уравнения; 4. Производная от степени квадратного уравнения.

    5. Самостоятельная работа в двух вариантах.

    Вариант 1. Решите задачу:

    Парабола Производная от степени квадратного уравненияи прямая Производная от степени квадратного уравненияпересекаются в двух точках А и В. К параболе через точки А и В проведены две касательные, которые пересекаются в точке С. Докажите, что: медиана СМ треугольника АВС параллельна оси ординат;

    Вариант 2. Решите задачу:

    Парабола Производная от степени квадратного уравненияи прямая Производная от степени квадратного уравненияпересекаются в двух точках А и В. К параболе через точки А и В проведены две касательные, которые пересекаются в точке С. Докажите, что одна из средних линий треугольника АВС является касательной к параболе Производная от степени квадратного уравнения.

    6. Разбор задач самостоятельной работы

    Разбор проводится по заранее подготовленным слайдам презентации PowerPoint. Оба варианта рассматриваются одновременно, потому что первая часть решения задач обоих вариантов одинакова, вторая же, различная часть, будет интересна учащимся обоих вариантов.

    7. Задание на дом:

  • Рассмотрим четыре параболы Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравнения, Производная от степени квадратного уравненияи Производная от степени квадратного уравнения, где Производная от степени квадратного уравнения– некоторый квадратный трехчлен. Докажите, что вершины этих парабол совпадают с вершинами некоторого квадрата.
  • Творческое задание (для желающих). Придумать свою задачу по теме “Квадратный трехчлен и его производная”
  • Видео:4.2 Производная Примеры для тренировкиСкачать

    4.2 Производная Примеры для тренировки

    Производная степенной функции

    Видео:12. Производная степенно-показательной функцииСкачать

    12. Производная степенно-показательной функции

    Формула

    Производная степенной функции равна произведению показателя степени и основания в степени на единицу меньше.

    Заметим, что в качестве степени Производная от степени квадратного уравненияможет быть как натуральное число, то есть 1, 2, 3, . ; так и любое отрицательное число: — 1, — 2 и т.д., а также и любое дробное, например, 2,34; — 4,1 или $frac$ , $-frac$ .

    Заметим, что если аргумент у степенной функции есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$, то производную нужно находить по следующей формуле:

    Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

    Примеры вычисления производной степенной функции

    Задание. Найти производную функции $y(x)=frac<x^>$

    Решение. Искомая производная

    По правилам дифференцирования выносим константу $frac$ за знак производной:

    Далее находим производную степенной функции по формуле:

    📺 Видео

    5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

    5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

    Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функцийСкачать

    Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функций

    5. Производная сложной функции примеры №1.Скачать

    5. Производная сложной функции примеры №1.

    Производная степенной функцииСкачать

    Производная степенной функции

    Производная сложной функции. 10 класс.Скачать

    Производная сложной функции. 10 класс.

    Вычисление производных. 10 класс.Скачать

    Вычисление производных. 10 класс.

    Производная показательно-степенной функцииСкачать

    Производная показательно-степенной функции

    Вычисление производной. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

    Вычисление производной. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

    Урок 7. Производная степенной функции. Практика. Алгебра 11 классСкачать

    Урок 7. Производная степенной функции. Практика. Алгебра 11 класс

    Производная сложной функции. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

    Производная сложной функции. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

    Производные степени и корня. Урок 4.2.Скачать

    Производные степени и корня. Урок 4.2.

    СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

    СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯ
    Поделиться или сохранить к себе: