Проект уравнения с параметром для 10 класса

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Решение уравнений с параметром» учеником 11 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные способы решения задач с параметрами, решить ряд аналогичных заданий, чтобы подготовиться к решению примеров с параметрами на ЕГЭ.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Решение уравнений с параметром» автор анализирует задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет, систематизирует все задания по видам, показывает способы решения в общем виде, подбирает по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения. К концу учебного года 19/20 автор планирует создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ.

Оглавление

Введение
1. Методы решения заданий с параметром.
1.1. Аналитический метод.
1.2. Графический метод.
1.3. Метод решения относительно параметра.
2. Виды уравнений с параметром.
3. Решение уравнений с параметром.
4. Задания для самостоятельного решения.
Заключение
Литература

Введение

На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

Противоречие: многие ученики не приступают к решению задания с параметром на ЕГЭ, даже несмотря на то, что оно высоко оценивается.

Проблема: как подготовиться к решению заданий с параметрами из ЕГЭ

Цель проекта: изучение различных способов решения задач с параметрами.

Задачи:

• Проанализировать задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет
• Систематизировать все задания по видам
• Показать способы решения в общем виде
• Подобрать по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения
• к концу учебного года 19/20 создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ

Данная методическая разработка «Решение уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.

Актуальность проекта обусловлена тем, что многим ученикам будет гораздо легче подготовиться к ЕГЭ, используя эту разработку.

По данным только около 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент верного решения всего 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Продукт проекта: методическая разработка для подготовки к ЕГЭ (задание с параметром).

Этапы работы над проектом:

Заключение

Во время создания данного проекта я взялся за детальное рассмотрение параметра на примерах математических задач. Ведь параметры встречаются гораздо чаще, чем мы себе представляем. Изучение многих процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Включая такое большое количество столкновений, пусть и косвенных, с параметром, я пришел к выводу, что необходимо изучать данную тему более детально. Также, решение уравнений с параметром способствует развитию логического и вариативного мышление человека, что позволит ему улучшить свои знания и умения. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и я надеюсь, что знания, которые я получил в процессе работы, а также использовал при выполнении данной проектной работы, помогут мне и другим одиннадцатиклассникам при сдаче ЕГЭ. Выполняя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рациональных способов решения. На мой взгляд, графо-аналитический метод является самым удобным и наглядным способом решения уравнений с параметрами, так как при таком решении можно наглядно увидеть все корни и гораздо легче заметить ошибки.

Видео:11 класс, 34 урок, Задачи с параметрамиСкачать

Решение уравнений с параметрами
творческая работа учащихся (10 класс) по теме

Работа студентки, написанная для конференции

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
Пермский химико-технологический техникум

Решение уравнений с параметром

Выполнил студент гр. П-10-9:

Руководитель: Старкова О.П.

1. Решение уравнений с параметром

2.1. Основные определения

2.2. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним

2.3. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

3. Практическая часть

3.1. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним

3.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

3.3. Системы линейных уравнений с двумя переменными

3.4. Тригонометрические уравнения

3.5. Графический способ решения уравнений

Во многих областях человеческой деятельности возникает потребность решать уравнения. С решением линейных и квадратных уравнений мы уже знакомы. Любое равенство вида f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) – некоторые функции, называется уравнением с одной переменной х . В реальных же прикладных задачах их больше. При этом важно выяснить, как зависит ответ (сколько решений вообще или с определёнными свойствами: положительные, рациональные, целые и т. д.) в зависимости от тех или иных переменных, входящих в уравнение. Поэтому решение уравнений с параметром находит широкое применение и имеет большое значение.

В математике, физике, экономике решаются следующие уравнения:

1. линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным;
2. квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным;
3. уравнения с модулем;
4. графическое решение уравнений с параметром;
5. системы линейных уравнений;

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Уравнение х² + ах + 1 = 0 можно рассматривать как уравнение с переменными х и а. Но чаще говоря о решении уравнения относительно х , т.е. считают переменные х и а неравноценными и решают уравнение, считая а известным. При таком рассмотрении переменная х называется неизвестным, переменная а – параметром.

Рассмотрим уравнение вида к f ( a; в; с; … ; к; х; )=g( а; в; с; … ; х ) , где

а; в; с; … ; к; х – переменные величины.

Любую систему значений а = а ; в = в ; … ; к = к ; х = х ; при которой обе части уравнения имеют смысл, будем называть системой допустимых значений переменных а; в; с; … ; к; и …………………………………………. подставить в обе части уравнения, то получим уравнение с одной переменной х .

Переменные а; в; с; … ; к; которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами , а само уравнение называется уравнением с параметром .

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а; в; с;

… ; к; l; t; n; а известные – буквами х; у; z .

= =

a, b, c, d, l, m, n, p – являются параметрами, х – неизвестное.

Допустимой является любая система значений a, b, c, d, l, m, p, x, удовлетворяющая условию: х ≠ 0, с ≠ 0, m ≠ -1, р ≠ 0, m ≠ 0 .

Решить уравнение – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения, сколько их и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если:

1. они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров,
2. каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ,

ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ

Уравнения вида ах = b , где а и b – выражения, зависящие только от параметров, а х – неизвестное, называются линейным уравнением относительно х .

Приведём словесное описание алгоритма его решения:

Ответ: единственный корень .

1. Если а = 0 , b = 0 , то 0·х = 0

Ответ: х — любое число.

1. Если а = 0 , b ≠ 0 , то 0 ·х = b

Ответ: решений не существует .

если а ≠ 0 , то х = 0;

если а = 0 , то корней нет.

если а ≠ 0, то х = 1;

если а = 0 , то 0х = 0,

х – любое действительное число .

если а=1 , то уравнение корней не имеет;

если а ≠ 1 , то х = 2 : (а-1) корень уравнения.

2.3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ

Уравнения вида mx² + px + q = 0 , где х – неизвестное, m, p, q – выражения, зависящие только от параметров, а m ≠ 0 , называются квадратными уравнениями относительно х .

Допустимыми являются такие значения параметров, при которых m, p, q имеют смысл.

ах² — 2(а+1)х + 2а = 0

Если а = 0 , то в этом случае уравнение не будет являться квадратным, уравнение примет вид: 2х = 0,

Если а ≠ 0 , то в этом случае уравнение является квадратным, поэтому существование корней и их число определяется знаком дискриминанта. Найдём дискриминант:

D = (a+1)²-2a² = -a² + 2a +1 .

D зависит от параметра а . Для вычисления его знака найдём корни: а 1 =1- и а 2 =1+ . Нанесём на числовую ось а полученные точки (рис.2)

Если 1 — , а ≠ 0 , то D > 0 и уравнение имеет два решения:

При а = 1 — и а = 1 + , D = 0 и уравнение имеет по одному решению. Если а = 1 — , то х = , при а = 1 + — корень х = — .

При а є (- ; 1 — ) (1 + ; + ) уравнение не имеет решений, так как D

Ответ: а є(- ;1 — ) корней нет,

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим ряд уравнений, содержащие буквенные коэффициенты (параметры). Решить уравнение с параметром – значит найти все решения данного уравнения для каждой допустимой системы значений параметров.

3.1 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРИВОДИМЫЕ К НИМ.

а) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

если а=5 , то имеем х · 0= -3 – не имеет решение.

Ответ: а = 5 уравнение не имеет решения,

а≠ 5 , уравнение имеет единственное решение: х= .

б) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

( а² — 9)х = а² + 2а — 3

Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:

(а — 3)(а + 3)х = (а + 3)(а — 1)

если а = — 3 , то уравнение примет вид: 0х = 0 . Отсюда следует, что решением этого уравнения является любое действительное число (x є R) .

если а ≠ — 3 , то уравнение примет вид: (а — 3)х = а — 1

при а = 3 имеем 0х = 2 . Уравнение решения не имеет.

при а ≠ 3 имеем х = . Уравнение имеет одно решение.

Ответ: а = — 3, x є R;

а = 3, нет решения;

в) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

Очевидно, (х + 1)а ≠ 0, т.е. х ≠ -1, а ≠ 0.

Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на а(х + 1) ≠ 0.

(х — 4)а – 1 = — 2(х + 1)

ха — 4а – 1 = — 2х — 2

ха — 4а – 1 + 2х + 2 = 0

ха — 4а + 2х + 1 = 0

Если а = — 2 , то имеем 0х = — 9 , уравнение решений не имеет.

Если а ≠ — 2 , то х = .

Согласно ОДЗ: х ≠ — 1 , поэтому необходимо проверить, нет ли таких значений а , при которых найденное значение х равно — 1 :

Значит, при а ≠ 0, а ≠ — 2, а = — уравнение имеет единственное решение:

Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Проектно-исследовательская работа на тему «УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

Клементьева Екатерина Алексеевна,

средняя общеобразовательная школа

№ 46 с углубленным изучением

отдельных предметов, 9 класс

Кузнецова Елена Борисовна,

высшей квалификационной категории

2017

Выбор темы проекта «Уравнения с параметром» обусловлен желанием научиться решать такие уравнения, так как своевременно не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром, а предстоит изучение еще и квадратных уравнений.

В проекте подробно описаны пять решенных линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем; графики построены с помощью приложения «Живая математика». Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОГЛАВЛЕНИЕ

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 5

2.1. Историческая справка 5

2.2. Линейные уравнения с параметром 5

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром 6

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром 7

2.5. Квадратные уравнения с параметром 9

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с
параметром 10

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с
параметром 11

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14

Видео:Простейшие уравнения с параметром #2Скачать

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметром считаются трудными, так как каждая из них является исследовательской: нужно понять, принять и вычислить две или больше неизвестных в одном уравнении, нужно привыкнуть к тому, что эти неизвестные играют разные роли, могут по-разному обозначаться. Желание научиться решать такие задачи у меня появилось еще в 7 классе, когда мы впервые рассмотрели параметр в линейных уравнениях. Данная тема приобретает для меня все большую актуальность в связи с изучением с этого учебного года квадратных уравнений, биквадратных уравнений и началом подготовки к ОГЭ.

Объект исследования: Уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: Уравнения с параметром.

Проблема: недостаточно знаний и умений по теме «Уравнения с параметром».

не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром при изучении их в седьмом классе;

не изучались квадратные уравнения с параметром в восьмом классе.

Цель: изучить способы решения уравнений с параметром.

Дать определение понятию «Уравнение с параметром»;

Рассмотреть способы решения уравнений с параметром;

Подобрать различные виды заданий для решения;

Представить изученный материал в докладе и презентации.

Гипотеза исследования: Можно предположить, что если изучить различные методы решения уравнений с параметром, то можно найти универсальный метод, позволяющий решать уравнения разных видов.

Эмпирические (изучение литературы по теме исследования, самостоятельное решение уравнений);

Обобщения и систематизации математического материала;

Экспериментально-теоретические (анализ, моделирование, сравнение).

Данная тема открыла мне новые виды уравнений с параметром, позволила познакомиться с доступными способами их решения.

Практическая значимость проекта:

Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№48 - Тригонометрические уравнения с параметрами.)Скачать

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Видео:Уравнение с параметром | Математика TutorOnlineСкачать

2.1. Историческая справка

«Все математики знали,

что под алгеброй были скрыты

но не умели их найти.»

Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготье

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой [7].

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx 2 + bx = c.

Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения уравнений с параметром.

Понятие переменной величины было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему – основа графического метода решения уравнений с параметром.

Видео:Математика, 10-й класс, Показательные уравнения с параметромСкачать

2.2. Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения: 5х +1 = 2, 1 + 2х = 2, — 0,5х + 1 = 2. В общем виде эти уравнения можно записать так: ах + 1 = 2, где а – некоторое число, х – переменная. Приведем еще примеры уравнений, в которых коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами: 5х = р, ах =1, с + d х = 10, k х – 3 = 0,5. Такие буквы называют параметрами.

Определение 1: Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству[2].

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательной левой части уравнения |х| = а – 1 не следует неотрицательность значений выражения а – 1, если а – 1

Определение 2: Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все значения параметра, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждого найденного значения параметра, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

К основным методам решения линейных уравнений с параметром относятся аналитический метод и графический метод.

Видео:Решить квадратное уравнение с параметром - bezbotvyСкачать

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром

Определение: Аналитический метод – это способ «прямого» решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Аналитический метод решения задач с параметром самый трудный способ, требующий высокой математической грамотности.

Рассмотрим решение линейного уравнения ах = b , где а и b – некоторые действительные числа, х — переменная. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

Пример 1[9, с.3]. Решить уравнение ах=1.

Решение: при а=0, то есть 0 ⋅ х=1, уравнение корней не имеет; при а≠0 уравнение имеет корень х = .

Ответ: если а=0, то корней нет; если а≠0, то х = .

Пример 2[4]. Решить уравнение +3=5-х

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: +х=2;

х (+1) =2; х× =2.

При а = 0 уравнение не имеет смысла.

При а ≠ 0 и а + 1 = 0 (а = – 1) уравнение примет вид 0·х = 2, т. е. не имеет решений.

При а ≠ 0, а≠– 1 уравнение имеет единственный корень х =

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла; если а ≠ 0 и а = – 1, то корней нет; если а ≠ 0 и а ≠ – 1, то х =.

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение а 2 х+2=4х+а имеет бесконечно много корней?

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: а 2 х — 4х = а — 2; (а 2 —
– 4) х = а – 2; (а-2) (а+2) х = (а-2). При а = 2 данное уравнение принимает вид 0·х = 0, значит х – любое число.

Ответ: а = 2.

Видео:Простейшие уравнения с параметром #1Скачать

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром

Графический метод решения задач с параметром исключительно наглядный способ решения. В любом классе задач есть задачи, которые блестяще решаются данным способом и трудоемко другими.

Часто в линейных уравнениях с параметром переходят к линейным функциям вида у = kx + b, где k и b – коэффициенты. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.

Геометрически каждое уравнение представляет прямую на плоскости, поэтому возможны три случая расположения двух прямых, то есть три случая решения: 1) прямые пересекаются — уравнение будет иметь один корень; 2) прямые параллельны — уравнение не имеет корней; 3) прямые совпадают — уравнение имеет бесконечно много решений.

Возможно при использовании графического метода возникает вопрос о строгости решения. Поэтому, когда результат, полученный с помощью графического метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Рассмотрим решение двух линейных уравнений с параметром графическим методом с построением графиков в координатной плоскости Оху.

Пример 1 . Решить уравнение ах = 1.

Решение: запишем уравнение в виде системы у=1,

Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а ≠ 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень х = .

Ответ : если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х = .

Пример 2. Решите уравнение |х| = х – а.

Решение: снова запишем уравнение в виде системы: у= │х│,

В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе – семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Видно, что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при а

х = — .

Ответ : если а > 0, то нет корней;

если а = 0, то решений бесконечно много;

если а .

Видео:Что такое параметр? | Математика 10 класс | УмскулСкачать

2.5. Квадратные уравнения с параметром

Общий вид квадратного уравнения с параметром: α x 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа.

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Выражение D = b 2 – 4 α c называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня [5, с.292].

Рассмотрим решение квадратного уравнения αx 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

Видео:Математика это не ИсламСкачать

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[9, с.6] . Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1) x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не менее одного корня.

При 2 a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a = разбираем отдельно.

Если a = , то уравнение принимает вид x – 3 = 0, оно имеет один корень: х = 6.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не менее одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

D = a 2 – 4(2 a – 1) (2 a – 3) = -15 a 2 + 32 a – 12≥0

16+2 √19

-15 а 2 + 32 а — 12 ≥ 0 15

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли а=

полученному условию: сравним и ; и , > и
.

Ответ : если а ≠ , то х ⋲ (-∞; ) U < > U ( ; +∞);

если а = , то х = 6.

Пример 2. Один из корней уравнения x 2 + bx + 6 = 0 равен 2. Найдите коэффициент b и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

2+х ₂ = — b ,

2х ₂ = 6,

х ₂ =3 ⇒ 2 + 3 = 5 = — b ⇒ b = — 5.

Ответ : х ₂ = 3, b = — 5.

Пример 3. Один из корней уравнения x 2 + kx – 2k + 5 = 0 равен 1. Найдите значение параметра k и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

1+ x ₂ = — k ,

1 ⋅ x ₂ = -2k + 5 , 1 – 2 k + 5 = — k , — k = — 6, k = 6 ⇒ x ₂ = — 7

Ответ: x ₂ = — 7, k = 6.

Видео:✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[3] . Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а.

Заметим, что количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а равно количеству точек пересечения графиков функций у= ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ и y = a.

График функции у = х 2 – 7х + 6 показан на рис.1.

График функции у = х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 показан на рис.2.

График функции у = ∣ х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ показан на рис.3.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

при a = 0 и a = – четыре решения;

при 6 – шесть решений; при a > – два решения.

Видео:#1 ЕГЭ. ПАРАМЕТРЫ С НУЛЯ. Что такое параметры? Линейные уравнения с параметрами.Скачать

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выбор темы обусловлен желанием научиться решать уравнения с параметрами не только простые, но и повышенного уровня сложности. В результате можно отметить:

решены пять линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем;

решения всех уравнений подробно описаны в работе;

графики построены с помощью приложения «Живая математика».

В ходе выполнения данной работы выдвинутая гипотеза подтвердилась. Существуют задачи с параметрами, при решении которых используются только аналитические методы. Но иногда можно решить задачу и аналитически, и графически. Таким образом, аналитический метод – универсальный.

Считаю, что мне удалось справиться с поставленной целью и задачами, разрешить проблему. Кроме того, я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное. Могу отметить, что новые знания уже пригодились мне на некоторых уроках.

Видео:Уравнения с параметрами | Алгебра 11 класс #32 | ИнфоурокСкачать

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/

Голубев В., Гольдман А. О задачах с параметром. Первоначальные сведения. // Математика – 2002 — № 23 – с.27-32;

Информационный источник сложной структуры «Виртуальная математика. Задачи с параметрами. 7 – 11 кл.». [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/ df 413 b 15-266 b -4 a 0 a — bdb 228 fc 41140 ab 2/;

Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. // Математика – 2001 — № 36 – с. 19-22;

Макарычев Ю.Н. Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2010, — 384 с.;

СтудопедиЯ. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://studopedia.ru/4_94223_analiticheskiy-metod-resheniya-zadach-s-parametrami.html;

Уравнения с параметрами в школьном курсе математики. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://qp1qp.narod.ru/istoriya.html;

Феоктистов И. Е. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. — М.: Мнемозина, 2013. – 173 с.;

Чикунова О.И. Практикум. Задачи с параметрами: учебно – методическое пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2015. – 64 с.

🎦 Видео

Математика, 10-й класс, Уравнения I-ой степени с параметромСкачать

Алгебра, 10 класс | Задачи с параметрами. Квадратные уравнения. Часть 1Скачать

9 класс, 7 урок, Задачи с параметрамиСкачать

8 класс, 39 урок, Задачи с параметрамиСкачать

Уравнения с параметром. Алгебра 7 класс.Скачать