Привести к каноническому виду уравнение прямой x 2y (5 видео)

Задача 61290 Перевести к каноническому виду прямую .

Содержание

Условие
Решение
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Общее уравнение прямой на плоскости
Приведение общего уравнения прямой на плоскости к каноническому виду
Приведение общего уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду
📹 Видео

Условие

Перевести к каноническому виду прямую

Решение

Найдем [b]две[/b] точки принадлежащие линии пересечения плоскостей
[m]left<begin
x+2y+4z-8=0\6x+3y+2z-18=0 endright.[/m]

Так как точек на прямой бесчисленное множество, то выберем НАПРИМЕР,
такую точку A, у которой координата z=0

и выберем такую точку В, у которой координата y=0

[m]left<beginx+4z-8=0\6x+2z-18=0 endright.[/m] умножаем второе на (-2)

Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А с направляющим вектором АВ

См формулу в скрине

Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Видео:Общее уравнение прямой привести к каноническому видуСкачать

Общее уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения общего уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и нормальный вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в общем виде в канонический и параметрический виды.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxy. Рассмотрим уравнение первой степени или линейное уравнение:

где A, B, C − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A и B отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение на плоскости определяет прямую. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости определяет прямую линию.

Доказательство. Достаточно доказать, что прямая L определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть на плоскости задана прямая L. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадал с прямой L, а ось Oy был перпендикулярной к ней. Тогда уравнение прямой L примет следующий вид:

Все точки на прямой L будут удовлетворять линейному уравнению (2), а все точки вне этой прямой, не будут удовлетворять уравнению (2). Первая часть теоремы доказана.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат и пусть задана линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A и B отличен от нуля. Найдем геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Так как хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение M(x₀,y₀). (Например, при A≠0, точка M₀(−C/A, 0) принадлежит данному геометрическому месту точек). Подставляя эти координаты в (1) получим тождество

Ax₀+By₀+C=0.

(3)

Вычтем из (1) тождество (3):

A(x−x₀)+B(y−y₀)=0.

(4)

Очевидно, что уравнение (4) эквивалентно уравнению (1). Поэтому достаточно доказать, что (4) определяет некоторую прямую .

Поскольку мы рассматриваем декартову прямоугольную систему координат, то из равенства (4) следует, что вектор с компонентами <x−x₀, y−y₀> ортогонален вектору n с координатами <A,B>.

Рассмотрим некоторую прямую L, проходящую через точку M₀(x₀, y₀) и перпендикулярной вектору n (Рис.1). Пусть точка M(x,y) принадлежит прямой L. Тогда вектор с координатами x−x₀, y−y₀ перпендикулярен n и уравнение (4) удовлетворено (скалярное произведение векторов n и равно нулю). Обратно, если точка M(x,y) не лежит на прямой L, то вектор с координатами x−x₀, y−y₀ не ортогонален вектору n и уравнение (4) не удовлетворено. Теорема доказана.

Привести к каноническому виду уравнение прямой x 2y

Вектор n=<A,B> называется нормальным вектором прямой L.

Замечание 1. Если два общих уравнения прямой

A₁x+B₁y+C₁=0

(5)

A₂x+B₂y+C₂=0

(6)

определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

A₂=A₁λ, B₂=B₁λ, C₂=C₁λ.

(7)

(A₁λ−A₂)x₀+(B₁λ−B₂)x₀+(C₁λ−C₂)=0.

(8)

Так как выполнены первые два равенства из выражений (7), то C₁λ−C₂=0. Т.е. C₂=C₁λ. Замечание доказано.

Заметим, что уравнение (4) определяет уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) и имеющий нормальный вектор n=<A,B>. Поэтому, если известен нормальный вектор прямой и точка, принадлежащая этой прямой, то можно построить общее уравнение прямой с помощью уравнения (4).

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(4,−1) и имеет нормальный вектор n=. Построить общее уравнение прямой.

Решение. Имеем: x₀=4, y₀=−1, A=3, B=5. Для построения общего уравнения прямой, подставим эти значения в уравнение (4):

Упростив получим общее уравнение прямой:

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить общее уравнение прямой.

Решение. Вычислим вектор :

Вектор параллелен прямой L и, следовательно, перпердикулярен нормальному вектору прямой L. Построим нормальный вектор прямой L, учитывая, что скалярное произведение векторов n и равно нулю. Можем записать, например, n=.

Для построения общего уравнения прямой воспользуемся формулой (4). Подставим в (4) координаты точки M₁ (можем взять также координаты точки M₂) и нормального вектора n:

Упростим полученное уравнение:

Подставляя координаты точек M₁ и M₂ в (9) можем убедится, что прямая заданная уравнением (9) проходит через эти точки.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к каноническому виду

Нам нужно привести уравнение (1) к каноническому виду. Для этого найдем некоторую точку M₀(x₀,y₀) на этой прямой. Тогда имеем:

Ax₀+By₀+C=0

(10)

A(x−x₀)+B(y−y₀)=0

(11)

Вторую слагаемую уравнения (11) переместим на право и разделим обе части уравнения на −AB:

(12)

Мы получили каноническое уравнение прямой. Вектор q=<−B, A> является направляющим вектором прямой (12).

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Найдем некоторую точку на прямой (13). Для этого подставим в (13) y=1 и найдем x. Получим x=2. Запишем уравнение прямой пользуясь формулой (11):

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 2·5:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

В предыдущем параграфе мы привели общее уравнение прямой (1) к каноническому виду (12). Из канонического уравнения легко получить параметрическое уравнение прямой. для этого левый и правый части уравнения (12) обозначим через параметр t. Тогда получим:

Выразив x и y через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к параметрическому виду.

Решение: Найдем некоторую точку на прямой (13). Для этого подставим в (14) x=3 и найдем y. Получим y=11. Запишем уравнение прямой пользуясь формулой (11):

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 5·2: