Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Видео:Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую и вторую производные у/ и у// .

В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка можно представить в виде: F(x,y,y/,y//)=0 (1).

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Если разрешить его относительно второй производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 2-го порядка.

Решение данного уравнения находится двухкратным интегрированием с появлением двух произвольных констант С1 и С2.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется искомая функция у=у(х,С1,С2), которая при любых значениях произвольных констант С1, С2 обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Определение Частным решением называется такое решение у=у(х,С10,С20), которое получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Видео:Урок 320. Производная функции и ее геометрический смыслСкачать

Урок 320. Производная функции и ее геометрический смысл

Геометрический смысл, задача и Теорема коши решения дифференциальных уравнений второго порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения второго порядка представляет собой двухпараметрическое семейство интегральных кривых у=у(х,С1,С2). Причем через каждую заданную точку М0(х0;у0) проходит целый пучёк интегральных кривых.

Частное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую у=у(х0,С10,С20) с заданными значениями произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Для того, чтобы найти частное решение в виде единственной интегральной кривой, проходящую через заданную точку М0 с координатами х=х0 и у=у0, необходимо задать значение производной, которая определяет угловой коэффициент касательной в заданной точке у/=y/0=kk=tgб0. Координаты х=х0; у=у0 и значение производной у/=y/0 в заданной точке М0 называются начальными условиями.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, сводится к нахождению конкретных значений произвольных констант С1=С10 и С2=С20 из системы уравнений

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

получаемой подстановкой начальных условий в общее решение.

Таким образом, частное решением получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20, для нахождения которых используют два начальных условия:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Первое начальное условие определяет точку М0(х0,у0), через которую пройдет интегральная кривая, а второе условие определяет угол наклона касательной y/0=kk=tgб0 к искомой интегральной кривой.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

При решении задачи Коши используют теорему Коши о существовании и единственности решения.

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области Д, то в любой ее точке существует и причем единственное частное решение у = у(х,С10,С20), удовлетворяющее начальным условиям:

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

Видео:2. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.Скачать

2. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.

10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго по­рядка называется уравнение вида

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У’ и У» — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у’) и ее частные производные Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядкаи Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка, непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у’). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у’0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X0, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y0 касательной (рис. 10.1).

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Условия (10.3) называются Начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют Задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку 0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая У = х + 1.

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Линейным называется дифференциальное уравнение n -го порядка , если оно 1-ой степени относительно искомой функции y ( x ) и ее производных Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , то есть имеет вид:

Если коэффициент P 0 ( x ) ≠ 1, то на него можно поделить и после соответствующих переобозначений получить:

Уравнение (8.43) называется уравнением с переменными коэффициентами. Предположим, что в нем функции Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , непрерывны на интервале Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Тогда для уравнения (8.43) на данном интервале имеет место задача Коши, сформулированная нами ранее.

Примечание. Частным случаем (8.43) является линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами:

Если в уравнении (8.43) f ( x ) ≡ 0, то оно называется однородным, если f ( x ) ≠ 0, то неоднородным.

Теорема 8.3 (о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Запишем коротко: Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (8.43), имеет вид:

Пусть в уравнении (8.45) функции Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Тогда оно принимает вид:

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами , где Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка – функции, n раз дифференцируемые.

Рассмотрим решения уравнений (8.45) и (8.46). Обозначим полную совокупность их линейно независимых решений через Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Тогда, по свойству решений однородного уравнения, их линейная комбинация также является решением уравнения (8.45) и (8.46), т о есть общее решение может быть записано в виде:

где ci – константы интегрирования.

Перейдем к конструированию функций Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Какого они вида? Так как эти функции в уравнениях (8.45) и (8.46) n раз дифференцируемы, то их конструкция при дифференцировании не меняется. Это возможно в случае экспоненциального вида функций, то есть при

где Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , . Отсюда, линейная комбинация функций (8.48):

– также решение уравнений (8.45) и (8.46).

Рассмотрим одну из функций (8.48) – функцию y = e λx как решение для уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:

Так как e λx 0 , то Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка ( 8.50)

–алгебраическое уравнение n -ой степени относительно λ, называемое характеристическим уравнением для уравнения (8.46). Известно, что уравнение n -ой степени имеет равно n корней как действительных, так и комплексных, с учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение (8.50) дает нам n значений числа λ, ранее обозначенных нами через Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , которые при подстановке в (8.49) приводит нас к окончательному виду общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим наиболее распространенный частный случай уравнения (8.46) – его аналог 2-го порядка:

Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.50) принимает вид:

Уравнение (8.52) является квадратным относительно λ. В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения рассматривают три случая, приведенных в таблице 8.1.

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Пример 8.17. Найти общее решение уравнений:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

а) Составляем характеристическое уравнение λ 2 +2 λ – 15 = 0. Корнями этого уравнения будут λ 1 = –5 и λ 2 = 3 . Тогда, применяя (8.53), получаем общее решение: y=C 1 e – 5x +C 2 e 3x .

б) Составляем характеристическое уравнение λ 2 – 16 λ + 64 = 0.

Решая это уравнение, получим λ 1 = λ 2 = 8 . Так как корни равные, то, применяя (8.54), будем иметь:

в) Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ + 13 = 0 имеет комплексные корни λ 1 = 2+3 i и λ 2 = 2 –3 i . Положив в (8.55) α=2 и β = 3, получим общее решение: Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка .

г) Характеристическое уравнение λ 2 +9 = 0 имеет корни λ 1;2 = ± 3 i . П олагая в (8.55) α=0 и β = 3, получим общее решение Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

Теорема 8.4. Пусть задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и п равой частью специального вида

1. Если Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

где Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка – многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами).

2. Если Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка – корень характеристического уравнения кратности s , то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка – многочлены общего вида Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Рассмотрим в таблице 8.2 некоторые случаи составления частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.57) по специальному виду его правой части.

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Пример 8.18. Найти общее решение уравнения Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ: Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Х арактеристическое уравнение λ 2 +2 λ +1 = 0 имеет корень λ1 = 1 кратности 2 (смотри таблицу 8.1). Значит, yo . o . = c 1 e x + c 2 x e x . Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть x –4=( x –4) e 0 x есть формула вида P 1 ( x ) e 0 x , причем α= 0 не является корнем характеристического уравнения: α λ . Поэтому согласно формуле (8.58), частное решение y ч.н. ищем в виде y ч.н. = Q 1 ( x ) e 0 x , т.е. y ч.н. = Ax + B , где A и B – неопределенные коэффициенты. Тогда

Пример 8.19. Решить уравнение Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка .

уравнения Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ +13 = 0 имеет корни λ1 = 2+3 i , λ 2 = 2 –3 i (смотри таблицу 8.1). Следовательно, Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка .

Находим частное решение y ч.н. . Правая часть неоднородного уравнения в нашем случае имеет вид

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Отсюда, сравнивая коэффициенты при косинусе и синусе, имеем Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Следовательно, A = 1, B = – 3 . Поэтому Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . И наконец, с учетом теоремы 8.3 получаем общее решение заданного линейного неоднородного ДУ в виде:

Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Пример 8.20. Найти частное решение уравнения Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , удовлетворяющее начальным условиям Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка .

Решение . Находим общее решение однородного уравнения Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Характеристическое уравнение λ 2 – λ – 2 = 0 имеет два корня λ 1 = –1 и λ 2 = 2 (смотри таблицу 8.1) ; тогда yo . o . = C 1 ex + C 2 e 2 x – общее решение соответствующего однородного ДУ.

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае α=2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде функции Axe 2 x . Таким образом, y ч.н. = Axe 2 x . Дифференцируя дважды это равенство, по лучим: Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Подставим y ч.н. и ее производные в левую часть заданного уравнения и найдем коэффициент A : Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка . Следовательно, частное решение y ч.н. = 3xe 2 x , общее решение

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных C 1 и C 2 . Дифференцируя общее решение (8.60), получим:

Подставим в общее решение (8.60) значения x = 0 и y = 2, будем иметь 2 = C 1 + C 2 . Подставим в выражение для Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка значения x = 0 и Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , будем иметь: 13 = – C 1 +2 C 2 +3 ; 10 = – C 1 + C 2 . Из этих уравнений составим систему Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , из которой находим: C 1 = – 2 и C 2 =4 . Таким образом, Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

Теорема 8.5 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (8.56) представляет собой сумму двух функций: Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка , а y 1 ч.н. и y 2 ч.н. – частные решения уравнений Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка и Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка соответственно, то функция

является частным решением данного уравнения Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения 2 го порядка

🔍 Видео

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

22. Дифференциал функции и его геометрический смыслСкачать

22. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

03. Геометрический смысл производнойСкачать

03. Геометрический смысл производной

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

9. Геометрический смысл частных производных функции двух переменныхСкачать

9. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

Видеоурок "Геом. смысл дифференциального уравнения"Скачать

Видеоурок "Геом. смысл дифференциального уравнения"

Вторая производная, Точки перегиба - Производная - Математический анализСкачать

Вторая производная, Точки перегиба - Производная - Математический анализ

День студента мехмата МГУ #мгу #умскул #физика #математика #учеба #подготовкаогэ #подготовкакегэСкачать

День студента мехмата МГУ #мгу #умскул #физика #математика #учеба #подготовкаогэ #подготовкакегэ

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка
Поделиться или сохранить к себе: