Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

Немного теории

Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.

ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.

ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому виду

Приведение к каноническому виду

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение

Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Решение ДУ в ЧП

Задача 4. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

$$ u_-2Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$

Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных

Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.

$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$

Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

$$ y u_x -xy u_y=2xu, quad u(x+y=2)=1/y. $$

Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных

Видео:53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду

Разные задачи на исследование ДУ в ЧП

Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию

Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.

Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что

Видео:Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.Скачать

Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.

Помощь с решением ДУ в ЧП

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:Дифференциальные уравнения в частных производных. Привидение к каноническому виду.Скачать

Дифференциальные уравнения в частных производных. Привидение к каноническому виду.

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

· если Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыявляется уравнением эллиптического типа в точках Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; параболического типа в точках Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; и гиперболического типа в точках Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

2. Вычислить выражение Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры);

4. Записать уравнение характеристик:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, (5)

в случае уравнения параболического типа;

· Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыи Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыи Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыберут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

· в случае уравнения параболического типа в качестве Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыберут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, в качестве Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыберут произвольную, дважды дифференцируемую функцию Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, не выражающуюся через Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, т. е. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыи Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыберут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры,

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры,

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, (7)

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры,

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

· в случае уравнения параболического типа:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

· в случае уравнения эллиптического типа:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

2. Вычислим выражение Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

3. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыуравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

6. Введём характеристические переменные:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Используя формулы (7), получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Или после деления на -100 (коэффициент при Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

где Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

3. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыуравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерывводим как и ранее

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

а в качестве Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыберут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, пусть

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Используя формулы (7), получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

где Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

2. Вычислим выражение Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

3. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыуравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Используя формулы (7), получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Или после деления на 4 (коэффициент при Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыи Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

где Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, (14)

где Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры- новая неизвестная функция, Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры- параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерытак, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыи Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Откуда Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыПодставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, придем к уравнению

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры,

где Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

10. Вычислим выражение Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

11. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыуравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры;

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

6. Введём характеристические переменные:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Используя формулы (7), получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыи Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры

Откуда Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыПодставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры, придем к уравнению

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры,

где Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примерыПриведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду примеры.

📹 Видео

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

УМФ, 20.10.2021, приведение уравнений к каноническому видуСкачать

УМФ, 20.10.2021, приведение уравнений к каноническому виду

Приводим диффур в частных производных к каноническому виду | УМФ (УрЧП) | КАК РЕШАТЬ?Скачать

Приводим диффур в частных производных к каноническому виду | УМФ (УрЧП) | КАК РЕШАТЬ?

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"

Приведение к каноническому виду и чертёж: общие слова и пара примеровСкачать

Приведение к каноническому виду и чертёж: общие слова и пара примеров

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ТемаСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Тема

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому виду

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.
Поделиться или сохранить к себе: