Примеры решения уравнений с арифметической прогрессией
Обновлено
Поделиться
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, . , an, . , для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
где d – это разность арифметической прогрессии.
Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, . является арифметической прогрессией с разностью d = 4.
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, . является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3.
Убывающая— арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, . является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2.
Стационарная— арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, . является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.
Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.
Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a1 = -18 и d = 5
a20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77
S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45
Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, . . Найти номер этого члена.
Пусть n — номер, который нужно найти.
Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n
В арифметической прогрессии a8 = 22 и a14 = 34. Найти формулу для n-ого члена.
Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:
Подставив в эти выражения a8 и a14 получаем систему уравнений:
Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:
Подставляем d в первое уравнение для получения a1:
Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:
an = 8 + 2 ⋅ (n — 1) = 8 + 2n — 2 = 6 + 2n
Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, . , если их сумма равна 81.
Из заданной арифметической прогрессии получаем a1 и d:
И подставляем известные данные в формулу суммы:
Видео:Арифметическая и геометрическая прогрессия | Математика TutorOnlineСкачать
Примеры решения уравнений с арифметической прогрессией
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Видео:Разбор ОГЭ №14. Задачи на прогрессию | Математика | TutorOnlineСкачать
Понятие арифметической прогрессии—примеры задач с решением для 9 класса
Видео:Простейшие задачи на арифметическую прогрессиюСкачать
Основные понятия
Рассмотрим некий числовой ряд:
4 , 7 , — 8 , 13 , — 5 , — 6 , 0 , …
Записывать можно какие угодно числа в любом количестве. При этом всегда легко определить, какое из чисел является первым, вторым, третьим и так далее до последнего. Таким образом, числам присваиваются номера. В результате получился пример числовой последовательности.
Числовая последовательность является множеством чисел, каждое из которых соответствует определенному номеру.
Определенный номер может соответствовать лишь одному из чисел, составляющих числовую последовательность. Не может быть нескольких вторых чисел. Второе по счету число, как и n-ное число в любом случае будет единственным.
Число, которое имеет номер n, определяется, как n-ный член последовательности.
Обозначают числовую последовательность некой буквой, например, «а». Тогда каждый из членов данной последовательности будет записан с помощью аналогичной буквы с индексом, соответствующим номеру члена:
a 1 , a 2 , … , a 10 , … , a n .
Представим такую ситуацию, при которой соседние числа в последовательности отличаются на d. Например:
a 1 = 3 a 2 = 3 + d = 7 ⇒ d = 7 — 3 = 4 a 3 = 7 + 4 = 11
Эта запись последовательности представляет собой арифметическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия — такая числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, увеличенному на одинаковое число. Это число является разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.
В качестве примера рассмотрим следующие последовательности:
3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 17 …
1 ; 12 ; 23 ; 34 ; 45 …
— 5 ; — 1 ; 3 ; 7 ; 11 ; 15 …
— 6 ; 5 ; 17 ; 28 ; 39 …
Заметим, что арифметической прогрессией являются вторая и третья последовательности.
Видео:Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии. 9 класс.Скачать
Формулы и вычисление арифметической прогрессии
Рассмотрим еще раз записанную ранее арифметическую прогрессию:
3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 …
Здесь присутствует 5 членов. Попробуем определить значение 6-го члена. Справиться с этой задачей можно двумя способами.
В первом варианте решения потребуется увеличивать каждое предыдущее значение числа прогрессии на d=4. Действие необходимо повторять до тех пор, пока не получится 6-ой по счету член. В результате:
a 4 = 11 + 4 = 15 a 5 = 15 + 4 = 19 a 6 = 19 + 4 = 23
Получилось, что 6-м членом прогрессии является число 23.
Этот способ работает с небольшими прогрессиями. Разберем второй вариант решения задачи.
Выпишем всю известную информацию:
арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19 и так далее
номера прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, и так далее
разница прогрессии d=4.
Второй член прогрессии равен:
Третий член прогрессии определяется таким образом:
11=3+4+4 или 11=3+d+d
Заметим, что для получения второго члена прогрессии потребовалось к первому члену прибавить одно d. При вычислении третьего члена прогрессии прибавляли уже два d. Появилась некая закономерность. Таким образом, требуется прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена последовательности.
Четвертый член прогрессии составит:
15=3+4+4+4 или 15=3+d+d+d
Когда требуется определить значение числа прогрессии с порядковым номером n, нужно сложить первый член арифметической прогрессии с числом d такое количество раз, которое на одно значение меньше по сравнению с порядковым номером искомого числа.
Запишем, что входит в состав 4-го члена рассматриваемой арифметической прогрессии:
a 4 = a 1 + d 4 — 1 a 4 = 3 + 4 4 — 1 = 15
Теперь определим, чему равен 6-ой член прогрессии:
a 6 = a 1 + d 6 — 1 a 6 = 3 + 4 6 — 1 = 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23
Заметим, что полученный ответ аналогичен тому, который был найден при решении задачи первым способом.
Уравнение арифметической прогрессии:
a n = a 1 + d n — 1
Используя формулу, посчитаем 140 и 169 члены рассмотренной ранее арифметической прогрессии:
… a 140 = a 1 + d 140 — 1 a 140 = 3 + 4 140 — 1 = 3 + 4 · 139 = 3 + 556 = 559 a 169 = a 1 + d 169 — 1 a 169 = 3 + 4 169 — 1 = 3 + 4 · 168 = 3 + 672 = 675
Возрастающими арифметическими прогрессиями называют такие прогрессии, в которых каждый последующий член больше, чем предыдущий.
Данные прогрессии являются возрастающими:
4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 — 2 ; 4 ; 10 ; 16 ; 20
Убывающими называют такие арифметические прогрессии, в которых каждый последующий член меньше, чем предыдущий.
Данные прогрессии являются убывающими:
12 ; 10 ; 8 ; 6 ; 4 4 ; 0 ; — 4 ; — 8 ; — 12 .
Уравнение арифметической прогрессии справедливо, если прогрессия возрастает или убывает.
Представим, что имеется некая прогрессия:
Вычислим четвертый член прогрессии с помощью уравнения:
a n = a 1 + d n — 1
По причине убывания арифметической прогрессии d будет меньше нуля, так как каждый следующий член меньше по сравнению с предыдущим:
a 4 = a 1 + d 4 — 1
Согласно тому, что d=-5, получим:
a 4 = 13 — 5 4 — 1 = 13 — 15 = — 2
Получилось доказать, что формула арифметической прогрессии справедлива в любом случае.
Попробуем вычислить 140 и 169 члены этой прогрессии:
a 140 = a 1 + d 140 — 1 a 140 = 13 — 5 140 — 1 = 13 — 5 · 139 = 13 — 695 = — 682 a 169 = a 1 + d 169 — 1 a 169 = 13 — 5 169 — 1 = 13 — 5 · 168 = 13 — 840 = — 827
Рассмотрим следующий вопрос, касающийся свойства арифметической прогрессии.
Предположим, что требуется определить значение х в данной арифметической прогрессии:
Можно воспользоваться уже знакомой формулой:
a n = a 1 + d n — 1
Представим, что a 1 = 4 , а a 3 = 12 . В результате:
a 3 = a 1 + d 3 — 1 12 = 4 + 2 d ⇒ d = 12 — 4 2 = 4 a 2 = x = a 1 + d a 2 = x = 4 + 4 = 8
В первую очередь было найдено значение d, которое затем сложили с первым числом для получения искомого х.
Существует и другой способ решения этого примера. Предположим, что искомый член равен:
Уравнение прогрессии имеет вид:
a n = a 1 + d n — 1
В таком случае, предыдущий член прогрессии равен:
a n — d : a n — 1 = a 1 + d n — 1 — d
Последующий член прогрессии определяется, как:
a n + d : a n + 1 = a 1 + d n — 1 + d
Найдем сумму предыдущего и последующего членов прогрессии:
a 1 + d n — 1 — d + a 1 + d n — 1 + d = 2 a 1 + d n — 1
Заметим, что при сложении предыдущего и последующего членов прогрессии в результате получается значение члена прогрессии, который записан между ними.
Свойство членов арифметической прогрессии: определить значение члена прогрессии, когда известны значения предыдущего и последующего членов, можно путем их сложения и деления пополам:
a n = a n + 1 + a n — 1 2
С помощью записанного уравнения определим, чему равен х:
Получилось такое же число, что и в решении первым способом.
Рассмотрим следующую прогрессию:
6; 8; 10; 12; 14; 16…
Попробуем определить сумму шести членов этой прогрессии. Заметим, что их суммы равны. Вычислим количество таких пар в записанной прогрессии:
В сумме два члена арифметической прогрессии дают 22. Таких пар имеется 3 штуки. В результате общая сумма составит:
Сумма первых n членов какой-либо арифметической прогрессии определяется по формуле:
S n = a 1 + a n · n 2
Здесь n является количеством значений.
Можно встретить задачи с неизвестным n-м членом, в которых дана разность прогрессии. В этом случае следует подставить в формулу суммы записанное ранее уравнение n-го члена:
Во время тренировок Мария каждый день увеличивает число приседаний на 5. Требуется определить количество приседаний, спустя две недели, при условии, что на первой тренировке Мария присела 10 раз.
Запишем все известные данные арифметической прогрессии:
a 1 = 10 , d = 5 , n = 14 ( 2 н е д е л и = 14 д н е й ) .
a n = a 1 + d n — 1 a 14 = 10 + 5 14 — 1 = 10 + 13 · 5 = 75
Необходимо найти сумму всех нечетных чисел, которые включены в состав 20.
1-ым нечетным числом является:
Последнее нечетное число равно:
Разность арифметической прогрессии составит:
Воспользуемся формулой n-ного члена арифметической прогрессии:
a n = a 1 + d n — 1
19 = 1 + 2 n — 1 ⇒ n — 1 = 19 — 1 2 = 9 ⇒ n = 9 + 1 = 10
Получается, что количество чисел, которые являются нечетными и составляют 20, равно 10. Полученные значения запишем в формулу:
S n = a 1 + a n · n 2 S 20 = 1 + 19 · 10 2 = 20 · 10 2 = 100
Во время рубки леса укладка бревен производится так, что следующий верхний слой получается меньше по сравнению с предыдущим на одно бревно. Нужно определить количество бревен в одной кладке при условии, что в ее основании 14 бревен.
При уменьшении каждого слоя на 1 бревно получается, что кладка состоит из 14 слоев, то есть:
Воспользуемся формулой и подставим найденные значения:
S n = a 1 + a n · n 2 S 14 = 14 + 1 · 14 2 = 15 · 14 2 = 15 · 7 = 105
Ответ: 105 бревен.
Дана арифметическая прогрессия:
Требуется определить 100-ый член и записать формулу n-го члена.
1 член данной прогрессии равен -5. Определим разность прогрессии:
d = a 2 — a 1 = — 2 — — 5 = 3
Формула n-го члена примет следующий вид:
a n = — 5 + 3 n — 1
В таком случае, 100-ый член равен:
a 100 = — 5 + 3 · 99 = 292 .
Решение: a n = — 5 + 3 n — 1 ; 100-ый член равен 292.
Определить сумму всех двухзначных чисел, которые кратны числу 4.
Первым искомым числом является 12. Для получения следующего числа требуется увеличить 12 на число 4. В результате первый член арифметической прогрессии составит:
Разность арифметической прогрессии равна:
Запишем формулу n-го члена, используя полученные данные:
a n = a 1 + d n — 1 = 12 + 4 n — 1 = 8 + 4 n
Вычислим количество двузначных членов в прогрессии:
Каждый день спортсмен увеличивает дистанцию забега на 100 м по сравнению с предыдущим днем. В первый день он преодолел расстояние в 2 км 400м. Требуется вычислить, сколько километров пробежал спортсмен за две недели.
Запишем параметры арифметической прогрессии:
n=14 (две недели — это 14 дней)
Найдем сумму первых n членов данной прогрессии:
S n = 2 a 1 + d n — 1 2 · n = 2 · 2400 + 100 · 14 — 1 2 · 14 = 42700 м = 42 , 7 км .
Велосипедист ежедневно увеличивает свой путь на 2 км по сравнению с предыдущим днем. В течение первого дня ему удалось проехать 16 км. Нужно определить количество дней, за которые велосипедист проедет 250 км, а также путь, преодоленный в последний день.
Запишем параметры арифметической прогрессии:
Неизвестным в данном случае является n.
Воспользуемся формулой суммы:
S n = 2 a 1 + d n — 1 2 · n .
Выполним подстановку известных значений:
250 = 2 · 16 + 2 n — 1 2 · n ⇔ n 2 + 15 n — 250 = 0 ⇔ n = — 25 n = 10 .
Заметим, что отрицательный корень является посторонним. Поэтому:
Вычислим расстояние, которое проехал велосипедист в последний день, используя формулу n-го члена:
a n = a 1 + d n — 1 ⇒ a 10 = 16 + 2 · 9 = 34 ( к м ) .
Ответ: 10 дней; 34 км.
Стоимость холодильника в магазине снижается каждый год на одинаковую сумму. С учетом того, что при начальной цене в 20000 рублей холодильник был продан, спустя 6 лет, за 12750 рублей, требуется определить ежегодное снижение цены.
Запишем исходные данные:
Неизвестным является разность прогрессии d.
Воспользуемся формулой прогрессии:
a n = a 1 + d n — 1 ⇒ 12750 = 20000 + 5 d ⇒ d = — 1450 ( р у б ) .
