Пример системы линейных уравнений с бесконечным множеством решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Понятие метода Гаусса

Чтобы сразу же понять суть метода Гаусса, остановите ненадолго взгляд на анимации ниже. Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами? Подсказка: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z .

Догадались? В такой системе, называемой трапециевидной, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса, далее — просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее — просто прямой ход). Пример такой системы и её решения как раз и был приведён на анимации в начале урока.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение — переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

У студентов наибольшие трудности вызывает именно прямой ход, то есть приведение исходной системы к трапециевидной. И это несмотря на то, что преобразования, которые необходимы для этого, называются элементарными. И называются неслучайно: в них требуется производить умножение (деление), сложение (вычитание) и перемену уравнений местами.

Преимущества метода:

1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
3. можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
4. метод основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y:

Теперь нам известны значения уже двух переменных — z и y. Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x:

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение — один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
3. удалять «нулевые» строки, где все коэффициенты равны нулю;
4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты — свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Это возможно, так как

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём «с конца» — обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:

Из первого уравнения найдём x:

Ответ: решение данной системы уравнений — .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма — здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной «икс четвёртое»:

.

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

,

откуда находим «икс третье»:

.

Далее, подставляем значения и во второе уравнение системы:

,

.

Наконец, подстановка значений

в первое уравнение даёт

,

откуда находим «икс первое»:

.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае — вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .

Из второго уравнения находим

,

Из третьего уравнения —

.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример — совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

,

соответствующие уравнению вида

Если во всех уравнениях имеющих вид

свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

В результате приходим к системе

Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: . Из первого уравнения значение для также находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример — несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

,

соответствующие уравнению вида

Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить систему линейных уравнений:

Видео:14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3Скачать

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на . Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.

Проведём теперь исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на .

Получили следующую систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

и известны, а находим из первого уравнения:

.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

Видео:Системы с бесконечным множеством решенийСкачать

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида

(*)

с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную исходной системе систему линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных, а уравнения вида (*) удовлетворяются при любых значениях неизвестных. Их можно отбросить.

Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 = 0, например, третьему и четвёртому (*, отброшенным уравнениям), придадим произвольные значения (пример 2). Они чаще всего записываются так: . Подставляя эти значения в остальные уравнения, не имеющие вида (*), например, первое и второе, получаем формулы, дающие нам значения остальных неизвестных. В них можно подставлять любые численные значения и . Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. В этом случае неопределённой является и исходная система.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Видео:Теорема о количестве решений системы линейных уравненийСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Неоднородные системы линейных уравненийСкачать

Системы линейных уравнений

Обозначим через $ mathbb A_ $ любое из множеств $ mathbb Q_, mathbb R_ $ или $ mathbb C_ $.

Примеры систем уравнений над $ mathbb R $.

Относительно числа $ m_ $ уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных $ n_ $. Если $ m_>n $ то система называется переопределенной. Решением системы уравнений называется любой набор значений переменных $ x_1=alpha_,dots, x_n = alpha_n $, обращающий каждое из уравнений в истинное равенство. Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Можно доказать (см. результаты ☟ НИЖЕ ), что все возможности для произвольной системы ограничиваются следующими вариантами:

1. система совместна и имеет единственное решение;

2. cистема совместна и имеет бесконечное множество решений;

3. cистема несовместна.

При этом все решения будут находиться в том же множестве $ mathbb A_ $, что и коэффициенты системы.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Матричная форма записи

Для системы линейных уравнений относительно переменных $ x_1,x_2,dots,x_n $ $$ left< begin a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=b_1,\ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=b_2,\ dots & & & & dots \ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=b_m. end right. $$ матрицей системы называется матрица $$ A=left( begin a_ & a_ & dots & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ \ dots &&& dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right)_ ; $$ cтолбец $$ = left( begin b_ \ b_ \ vdots \ b_ end right) $$ называется столбцом правых частей системы, а столбец $$ X= left( begin x_ \ x_ \ vdots \ x_ end right) $$ — столбцом неизвестных. Используя правило умножения матриц, систему можно записать в матричном виде: $$ AX= . $$ Любое решение $ x_1=alpha_1,dots,x_n=alpha_n $ системы можно также записать в виде столбца: $$ X=left( begin alpha_1 \ vdots \ alpha_n end right) in mathbb A^n . $$ Матрица, составленная из всех коэффициентов системы уравнений: $$ [A mid mathcal B ]= left( begin a_ & a_ & dots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & dots & a_ & b_2 \ dots &&& & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & b_m end right)_ , $$ т.е. конкатенацией матрицы $ A_ $ и столбца правых частей $ _ $ называется расширенной матрицей системы л.у.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Исключение переменных (метод Гаусса)

метода достаточно проста.

Пример. Решить систему уравнений $$ left< begin 2x_1&-3x_2&-x_3&=3 \ 4x_1&-3x_2&-5x_3&=6 \ 3x_1&+5x_2&+9x_3&=-8 end right. $$

Решение. Выразим из первого уравнения $ x_ $ $$ x_1=frac x_2+frac x_3 + frac $$ и подставим в оставшиеся уравнения $$ 4 left(frac x_2+frac x_3 + fracright) -3,x_2-5,x_3=6 <coloriff > 3x_2-3x_3 = 0 $$ $$ <coloriff > x_2-x_3=0 ; $$ $$ 3 left(frac x_2+frac x_3 + fracright) +5x_2+9x_3=-8 <coloriff > frac x_2 +fracx_3=-frac $$ $$ <coloriff > 19x_2 +21x_3=-25 . $$ Два получившихся уравнения не зависят от неизвестной $ x_ $ — она оказалась исключенной из этих уравнений. Иными словами, мы получили новую подсистему уравнений $$ left< begin x_2&-x_3&=0 \ 19x_2&+21x_3&=-25, end right. $$ которой должны удовлетворять неизвестные $ x_ $ и $ x_ $. Продолжаем действовать по аналогии: выразим из первого уравнения $ x_ $ через $ x_ $: $$x_2=x_3 $$ и подставим во второе: $$ 40 x_3 =-25 iff x_3=-frac . $$ Итак, значение одной компоненты решения получено. Для нахождения оставшихся подставим значение $ x_ $ в полученные по ходу решения соотношения: $$ x_2=x_3=-frac Rightarrow x_1=frac x_2+frac x_3 + frac=frac . $$

Ответ. $ x_=1/4, x_2=-5/8, x_3=-5/8 $.

Теперь осталось формализовать изложенную идею метода (сформулировав допустимые правила действия над уравнениями — те, что в принципе, очевидны из здравого смысла ), а также исследовать возможные последствия его применения к системам общего вида.

Исключение переменных

Элементарными преобразованиями системы л.у. называются преобразования следующих трех типов:

1. перестановка двух уравнений;

2. умножение обеих частей уравнения на любое отличное от нуля число;

3. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на произвольное число: пара уравнений $$ begin a_x_1 +a_x_2+ ldots+a_x_n &=&b_j,\ a_x_1 +a_x_2+ ldots+a_x_n &=&b_k end $$ заменяется парой $$ begin (a_+ <colorlambda > a_) x_1 &+ (a_+ <colorlambda > a_) x_2 &+ ldots &+ (a_+ <colorlambda > a_) x_n &=&b_j + <colorlambda > b_k, , \ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots &+a_x_n &=&b_k , . end $$

Теорема. Любое элементарное преобразование системы л.у. переводит эту систему в ей эквивалентную, т.е. имеющую то же множество решений, что и исходная.

Задача. С помощью элементарных преобразований привести систему л.у. к наиболее простому виду: такому, из которого легко было бы установить множество решений.

Предположим, что первое уравнение системы содержит явно неизвестную $ x_ $, т.е. $ a_^ ne 0 $. Исключим эту неизвестную из всех оставшихся уравнений. С этой целью вычтем из второго уравнения первое, домноженное на $ a_/a_^ $. Получим $$left(a_- frac<a_><a_> a_ right)x_2 + dots + left(a_- frac<a_><a_> a_ right)x_n = b_2 — frac<a_><a_> b_1 , $$ Аналогичное преобразование — вычитание из третьего уравнения системы первого, умноженного на $ a_/a_^ $, позволяет исключить $ x_ $ из этого уравнения, т.е. заменить его на $$left(a_- frac<a_><a_> a_ right)x_2 + dots + left(a_- frac<a_><a_> a_ right)x_n = b_3 — frac<a_><a_> b_1 . $$ Продолжаем процесс далее. В конечном итоге исключаем $ x_ $ из всех уравнений кроме первого: $$ left< begin a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=b_1,\ &a_^x_2&+ ldots&+a_^x_n &=b_2^,\ &dots & & & dots \ &a_^x_2&+ ldots&+a_^x_n &=b_m^. end right. npu begin a_^ &= & displaystyle a_ — frac<a_a_><a_> ,\ b_j^ &= & displaystyle b_j — frac<a_b_1><a_> . end $$ Полученная система эквивалентна исходной системе, однако она имеет более простой вид: в ней выделилась подсиcтема $$ left< begin a_^x_2&+ ldots&+a_^x_n &=b_2^,\ dots & & & dots \ a_^x_2&+ ldots&+a_^x_n &=b_m^, end right. $$ которая не зависит от переменной $ x_ $. К этой новой подсистеме можно применить те же рассуждения, что и к исходной системе, поставив теперь целью исключение переменной $ x_ $.

Понятно, что процесс исключения может быть продолжен и далее. Теперь посмотрим, где он может прерваться. Может так случиться, что очередная, $ ell_ $-я подсистема имеет коэффициент $ a_^ $ равным нулю, что не позволит алгоритму идти дальше — т.е. исключить переменную $ x_^ $ из оставшихся уравнений (в принципе, такое могло случиться уже на первом шаге, если бы коэффициент $ a_^ $ был бы равен нулю). Возможные варианты дальнейших действий:

1. если хотя бы один коэффициент при $ x_^ $ в одном из оставшихся уравнений отличен от нуля: $ a_^ne 0^ $, то это уравнение переставляется с $ ell_ $-м;

2. если при всех $ jge ell^ $ коэффициенты $ a_^ $ равны нулю, то переменная $ x_^ $ не входит ни в одно оставшееся уравнение, и можно перейти к исключению переменной $ x_^ $.

Поскольку число переменных конечно, то алгоритм исключения должен завершиться за конечное число шагов. Чем он может завершиться? Окончательная система должна иметь вид: $$ left< begin a_x_1 +&a_x_2&+ ldots& +a_<1 >x_& +a_ <1 ,+1>x_<+1>&+ ldots + & a_x_n &=b_1,\ &a_^x_2&+ ldots& +a_<2 >^ x_& +a_<2 ,+1>^ x_<+1>&+ ldots + & a_^ x_n &=b_2^,\ & & ddots & & & & & dots \ & & & a_ <>^<[-1]>x_ & + a_ <, +1>^<[-1]>x_<+1>& + ldots + & a_ <,n>^<[-1]>x_n &=b_^<[-1]>, \ & & & & & & 0 &=b_<+1>^<[-1]>, \ & & & & & & dots & \ & & & & & & 0 &=b_^<[-1]>, \ end right. $$ при $ le n_ $. Заметим, что все коэффициенты этой системы будут принадлежать тому же множеству, что и коэффициенты исходной системы.

Предположение . Мы будем считать, что каждое из первых $ _ $ уравнений системы содержит в своей левой части хотя бы одну переменную с ненулевым коэффициентом.

Процесс получения системы такого вида из исходной системы уравнений называется прямым ходом метода Гаусса.

Исторический комментарий о Гауссе ☞ ЗДЕСЬ.

Установление множества решений

Теорема. Если хотя бы одно из чисел $ b_<+1>^<[-1]>,dots , b_^<[-1]> $ отлично от нуля, то исходная система линейных уравнений будет несовместной.

Для простоты мы будем иллюстрировать наши рассуждения на системах л.у. над $ mathbb R_ $, в этом же множестве искать решения. Каждое из преобразований метода Гаусса будем обозначать $ to_ $.

Пример. Решить систему л.у.

$$ left< begin x_1&+x_2&-3, x_3 =& -1 \ 2,x_1&+x_2&-2, x_3 =& 1 \ x_1&+x_2&+ x_3 =& 3 \ x_1&+2,x_2&-3, x_3 =& 1. end right. $$

Решение. $$ to left< begin x_1&+x_2&-3, x_3 =& -1 \ &-x_2&+4, x_3 =& 3 \ &&4, x_3 =& 4 \ &x_2&=& 2 end right. to left< begin x_1&+x_2&-3, x_3 =& -1 \ &-x_2&+4, x_3 =& 3 \ &&4, x_3 =& 4 \ &&4, x_3=& 5 end right. to $$ $$ to left< begin x_1&+x_2&-3, x_3 =& -1 \ &-x_2&+4, x_3 =& 3 \ &&4, x_3 =& 4 \ &&0=& 1 end right. $$ Последнее равенство абсолютно противоречиво.

Ответ. Система несовместна.

Пусть теперь $ b_<+1>^<[-1]>=0,dots, b_^<[-1]>=0 $. Возможны два случая: $ =n_ $ и $ предположения , имеем $ a_^ ne 0 $. Но тогда, поскольку система является конечной стадией прямого хода метода Гаусса, то и все коэффициенты $ a_^, dots, a_^, a_ $ должны быть отличны от нуля — в противном случае метод Гаусса не остановился бы на системе такого вида; он называется треугольным: Из последнего уравнения системы можно однозначно установить значение $ x_ $: $$x_n=b_n^ big/ a_^ .$$ Далее, подставляя это значение в $ (n-1) $-е уравнение системы, выражаем $ x_ $: $$ x_= frac<b_^ — a_^x_>< a_^>= frac< b_^ — a_^ b_n^ Big/ a_^>< a_^> . $$ Подставляем полученные значения для $ x_ $ и $ x_ $ в $ (n-2)_ $-е уравнение системы, выражаем $ x_ $, и т.д., в конце концов приходим к первому уравнению, из которого выражаем $ x_ $ если ранее уже получены выражения для $ x_2,dots,x_ $.

Теорема. Если прямой ход метода Гаусса заканчивается треугольной системой, т.е. $ mathfrak r = n_ $ и $ b_<+1>^<[-1]>=0,dots, b_^<[-1]>=0 $, то исходная система линейных уравнений имеет единственное решение.

Пример. Решить систему л.у.

$$ left< begin x_1&+3,x_2&+ x_3 =&5 \ 2,x_1&+x_2&+ x_3 =& 2 \ x_1&+x_2&+ 5,x_3 =& -7 \ 2,x_1&+3,x_2&-3, x_3 =& 14. end right. $$

Ответ. $ x_1=1,, x_=2,, x_3=-2 $ .

Исследуем теперь случай $ 1) : На основании предположения , в $ $-м уравнении этой системы имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части, пусть $ a_ <>^<[-1]>ne 0 $ — первый из них. Если $ =n $, то из этого уравнения однозначно определится $ x_ $ $$ x_n=alpha_n = b_^<[-1]> big/ a_ <n>^<[-1]> . $$ Если же $ предположения , в этом уравнении имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части; пусть $ a_<-1, >^<[-2]>ne 0_ $ — первый из них. Поскольку мы преположили, что система является конечной стадией прямого хода метода Гаусса, то $ по крайней мере две переменные, значения которых еще не были зафиксированы на предыдущих шагах. Это следует из предположения, что число уравнений $ _ $ меньше числа неизвестных $ n_ $. Такое уравнение допускает бесконечное число решений, любое из которых в ходе дальнейших шагов может быть «доделано» до решения системы.

Теорема. Если прямой ход метода Гаусса заканчивается трапециевидной системой, т.е. $ mathfrak r 2) матрицы $ A_ $ (третьего порядка). Понятие определителя распространяется и на квадратные матрицы бóльших порядков; образно говоря, определитель — это функция элементов матрицы, отвечающая за единственность решения системы уравнений.

Дальнейший матричный анализ метода Гаусса ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_ $, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Теорема. Cистема

$$ left<begin a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&b_1\ a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&b_2\ ldots& & ldots \ a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&b_n endright. $$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: $$ left| begin a_ & a_ & dots & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ \ dots &&& dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right| ne 0 . $$ В этом случае решение можно вычислить по формулами Крамера 3) : $$ x_k =frac<det left[ A_|dots|A_||A_|dots|A_ right]> quad npu quad kin . $$ Для получения значения $ x_ $ в числитель ставится определитель, получающийся из $ det A_ $ заменой его $ k_ $-го столбца на столбец правых частей ( здесь $ | $ означает конкатенацию).

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Пример. Решить систему уравнений

$$ left<begin 2x_1& +3x_2&+11x_3&+5x_4 &=& color2,\ x_1& +x_2&+5x_3&+2x_4 &=& color1 ,\ 2x_1& +x_2&+3x_3&+2x_4 &=&color,\ x_1& +x_2&+3x_3&+4x_4 &=&color. endright. $$

Решение. $$ x_1=frac<left|begin color2 & 3&11&5 \ color1 & 1&5&2 \ color& 1&3&2 \ color & 1&3&4 endright|> <left|begin 2& 3&11&5 \ 1& 1&5&2 \ 2& 1&3&2 \ 1& 1&3&4 endright|>=frac=-2, x_2=frac<left|begin 2& color2&11&5 \ 1& color1&5&2 \ 2& color&3&2 \ 1& color&3&4 endright|> <left|begin 2& 3&11&5 \ 1& 1&5&2 \ 2& 1&3&2 \ 1& 1&3&4 endright|>=frac=0, dots $$ Найдите оставшиеся компоненты решения. ♦

Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_ $ является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что $ det A_ ne 0 $.

Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Еще один способ решения системы основан на построении обратной матрицы: $$ AX= quad Rightarrow quad X=A^ . $$ Этот способ малоэффективен при фиксированных числовых $ A_ $ и $ _ $.

Найти достаточное условие существования общего решения систем уравнений:

$$ A_1 X = _1 quad u quad A_2 Y = _2 , $$ при квадратных матрицах $ A_1 $ и $ A_2 $ одинакового порядка.

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Теорема Кронекера-Капелли

Матрица, получающаяся конкатенацией матрицы $ A_ $ и столбца правых частей $ _ $ $$ [ A| ] = left( begin a_ & a_ & dots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & dots & a_ & b_2 \ dots &&& & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & b_m end right)_ $$ называется расширенной матрицей системы линейных уравнений $ AX= $.

Теорема [Кронекер, Капелли]. Система $ AX= $ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:

$$ operatorname, A = operatorname, [ A| ] . $$ При выполнении этого условия, система имеет единственное решение, если число неизвестных $ n_ $ совпадает с общим значением ранга $ mathfrak r_ $, и бесконечное множество решений, если $ n_ $ больше этого значения.

Доказательство необходимости. Пусть существует решение $ x_1=alpha_1,dots,x_n=alpha_n $ системы, тогда $$alpha_1 A_+dots+alpha_n A_= ,$$ т.е. столбец $ $ линейно выражается через столбцы $ A_,dots,A_ $. Но тогда $$ operatorname <A_,dots,A_>=operatorname <A_,dots,A_,> .$$ Следовательно $ operatorname, A = operatorname, [ A| ] $.

Доказательство достаточности проводится в следующем пункте. ♦

Пример. Исследовать совместность системы уравнений

Решение. В этом примере число уравнений совпадает с числом неизвестных. Это обстоятельство несколько облегчает рассуждения. Обратимся к замечанию из предыдущего пункта: система л.у. с числом уравнений, совпадающем с числом неизвестных, как правило, совместна. Тогда попробуем установить условия, обеспечивающие противоположное свойство — несовместность. Оно, фактически, единственно: за все отвечает определитель системы $ det A_ $. Если он отличен от нуля — система совместна. $$det A = left| begin<color> &1&1&1 \ 1&<color>&1&1 \ 1&1&<color>&1 \ 1&1&1&<color> end right|= left| begin (<color>-1) &(1-<color>)&0&0 \ 0&(<color>-1)&(1-<color>)&0 \ 0&0&(<color>-1)&(1-<color>) \ 1&1&1&<color> end right| =(<color>-1)^3 left| begin 1 &-1&0&0 \ 0&1&-1&0 \ 0&0&1&-1 \ 1&1&1&<color> end right|= $$ $ =(<color>-1)^3(<color>+3) $. По теореме Крамера при $ <color>ne 1 $ и при $ <color>ne -3 $ решение системы единственно: $$x_1=x_2=x_3=x_4=1/(<color>+3) .$$

Осталось исследовать критические случаи: $ <color>=1_ $ и $ <color>= -3 $: определитель системы обращается в нуль, но система может оказаться совместной. Придется вычислять ранги, но, к счастью, уже числовых матриц (а не зависящих от параметра, как исходная!). При $ <color>= 1_ $ имеем $$ operatorname left( begin 1 &1&1&1 \ 1&1&1&1 \ 1&1&1&1 \ 1&1&1&1 end right)= operatorname left( begin 1&1&1&1&1 \ 1&1&1&1&1 \ 1&1&1&1&1 \ 1&1&1&1&1 end right)=1 , $$ и система совместна. Она эквивалентна единственному уравнению $$x_1+x_2+x_3+x_4=1 ,$$ которое имеет бесконечно много решений.

При $ <color>= -3 $: $$ operatorname left( begin -3 &1&1&1 \ 1&-3&1&1 \ 1&1&-3&1 \ 1&1&1&-3 end right)=3,quad operatorname left( begin -3 &1&1&1&1 \ 1&-3&1&1&1 \ 1&1&-3&1&1 \ 1&1&1&-3&1 end right)=4 $$ и система несовместна.

Ответ. Система несовместна при $ <color> = -3 $; она имеет бесконечное множество решений при $ <color> = 1_ $ и единственное решение при $ <color> notin $.

Система однородных уравнений

$$ left< begin a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=0,\ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=0,\ dots & & & dots & \ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=0 end right. $$ всегда совместна: она имеет тривиальное решение $ x_1=0,dots,x_n=0 $. Для того, чтобы у нее существовало еще и нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы был равен нулю.

Пример. Найти условие, при котором три точки плоскости с координатами $ (x_1,y_1), (x_2,y_2) $ и $ (x_3,y_) $ лежат на одной прямой.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде $ ax+by+c=0 $ при неопределенных коэффициентах $ a,b,c_ $. Если точки лежат на прямой, то получаем для определения этих коэффициентов систему линейных уравнений: $$ left< begin ax_1+by_1+c & =0\ ax_2+by_2+c & =0\ ax_3+by_3+c & =0 end right. $$ Получившаяся система является однородной, условие существования у нее нетривиального решения (т.е. набора $ (a,b,c)_ $ при хотя бы одном из чисел отличном от нуля): $$ left|begin x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 end right|=0 . $$ ♦

Доказать, что для совместности системы

$$ left< begin a_x_1+a_x_2+a_x_3 &=& b_1 \ a_x_1+a_x_2+a_x_3 &=& b_2 \ a_x_1+a_x_2+a_x_3 &=& b_3 \ a_x_1+a_x_2+a_x_3 &=& b_4 end right. $$ необходимо, чтобы было выполнено условие $$ left| begin a_&a_& a_ & b_1 \ a_&a_& a_ & b_2 \ a_&a_& a_ & b_3 \ a_&a_& a_ & b_4 end right|=0 quad . $$ Является ли это условие достаточным для совместности?

An elementary treatise on determinants

в следующей формулировке.

Теорема. Для того чтобы система $ n_ $ неоднородных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы порядок наибольшего отличного от нуля минора был одинаков в расширенной и нерасширенной матрице системы.

Додсон — один из самых знаменитых математиков мира. Назовите его псевдоним.

Ответ ☞ ЗДЕСЬ

Видео:метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать

Общее решение

Пусть выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли: $ operatorname (A)=operatorname[Amid mathcal B ] =mathfrak $. По определению ранга матрицы, в матрице $ A $ существует минор порядка $ mathfrak $, отличный от нуля; этот же минор останется и минором расширенной матрицы $ [ Amid mathcal B ] $. Пусть, для определенности, ненулевой минор находится в левом верхнем углу матрицы 4) : $$ Delta = Aleft( begin 1 & 2 & dots & mathfrak \ 1 & 2 & dots & mathfrak end right) = left| begin a_ & a_ & dots & a_<1mathfrak> \ a_ & a_ & dots & a_<2mathfrak> \ dots &&& dots \ a_<mathfrak1> & a_<mathfrak2> & dots & a_ <mathfrakmathfrak> end right| ne 0 . $$ Тогда первые $ mathfrak $ строк матрицы $ A $ линейно независимы, а остальные будут линейно выражаться через них. Это же утверждение будет справедливо и для строк матрицы $ [Amid mathcal B] $. Умножая первые $ mathfrak $ уравнений системы на соответствующие числа и складывая их, получим любое оставшееся уравнение. Таким образом, система уравнений может быть заменена эквивалентной ей системой из первых $ mathfrak $ уравнений: $$ left< begin a_x_1+dots+a_<1mathfrak>x_<mathfrak>&+a_<1,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+ dots +a_x_n&=&b_1, \ dots & & & dots \ a_<mathfrak1>x_1+dots+a_<mathfrakmathfrak>x_<mathfrak>& +a_<mathfrak,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots +a_<mathfrakn>x_n&=&b_mathfrak end right. quad iff quad A^ X=^ $$ Если $ mathfrak=n $, то матрица $ A^ $ квадратная. По предположению $ det A^ ne 0 $. По теореме Крамера решение такой системы единственно.

Пусть теперь $ mathfrak произвольных фиксированных значениях $ x_<mathfrak+1>,dots,x_n $: $$ x_j=frac< left| begin a_ & dots &a_ &left[ b_1-(a_<1,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots +a_x_n) right] &a_& dots &a_<1mathfrak> \ dots &&&dots&&& dots \ a_<mathfrak1> & dots &a_<mathfrak,j-1> & left[ b_<mathfrak>- (a_<mathfrak,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots +a_<mathfrakn>x_n) right] &a_<mathfrak,j+1>& dots &a_<mathfrakmathfrak> end right| > $$ $$ mbox jin <1,dots, mathfrak> . $$ Таким образом, в этом случае система имеет бесконечное множество решений. Используя свойство линейности определителя по столбцу (см. свойство 5 ☞ ЗДЕСЬ ), формулы можно переписать в виде $$ x_j=beta_j + gamma_<j,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_x_n npu jin <1,dots, mathfrak> . $$ Здесь $$ beta_j =frac left| begin a_ & dots &a_ & b_1 &a_& dots &a_<1mathfrak> \ vdots &&&vdots&&& vdots \ a_<mathfrak1> & dots &a_<mathfrak,j-1> & b_<mathfrak> &a_<mathfrak,j+1>& dots &a_<mathfrakmathfrak> end right|, , $$ $$ gamma_ = -frac left| begin a_ & dots &a_ & a_ &a_& dots &a_<1mathfrak> \ vdots &&&vdots&&& vdots \ a_<mathfrak1> & dots &a_<mathfrak,j-1> & a_<mathfrakk> &a_<mathfrak,j+1>& dots &a_<mathfrakmathfrak> end right| . $$ Эти формулы называются общим решением системы $ A X=mathcal B $. Участвующие в них переменные $ x_<mathfrak+1>,dots,x_n $ называются основными (или свободными), а $ x_1,dots,x_<mathfrak> $ — зависимыми. Решение, получающееся из общего решения фиксированием значений основных переменных, называется частным решением системы уравнений.

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы уравнений:

Решение проведем двумя способами, соответствующими двум способам вычисления ранга матрицы. Вычисляем сначала ранг матрицы $ A $ по методу окаймляющих миноров: $$ |2| ne 0,quad left| begin 2 & 1 \ 6 & 2 end right| ne 0, quad left| begin 2 & 1 & 2 \ 6 & 2 & 4 \ 4 & 1 & 1 end right|=2 ne 0 , $$ а все миноры, окаймляющие последний, равны нулю. Итак, $ operatorname (A) =3 $. Для нахождения ранга расширенной матрицы $ [Amid mathcal B] $ достаточно проверить окаймление найденного ненулевого минора третьего порядка с помощью элементов взятых из столбца правых частей. Имеется всего один такой минор, и он равен нулю. Следовательно $ operatorname[ Amid mathcal B ] =3 $, система совместна, и имеет бесконечное множество решений.

Ненулевой минор третьего порядка (базисный минор) находится в первой, второй и четвертых строках, что означает линейную независимость соответствующих уравнений. Третье уравнение линейно зависит от остальных, и может быть отброшено. Далее, указанный базисный минор образован коэффициентами при $ x_1,x_3 $ и $ x_4 $. Следовательно оставшиеся уравнения могут быть разрешены относительно этих переменных, т.е. они — зависимые, а $ x_2 $ и $ x_5 $ — основные. Использование формулы дает общее решение $$ begin x_1&=&frac<left| begin 2 & 1 & 2 \ 3 & 2 & 4 \ 1 & 1 & 1 end right|> -x_2frac<left| begin -1 & 1 & 2 \ -3 & 2 & 4 \ -2 & 1 & 1 end right|> -x_5frac<left| begin 3 & 1 & 2 \ 5 & 2 & 4 \ 2 & 1 & 1 end right|> =-frac+fracx_2+fracx_5, \ & & \ x_3&=&frac<left| begin 2 & 2 & 2 \ 6 & 3 & 4 \ 4 & 1 & 1 end right|> -x_2frac<left| begin 2 & -1 & 2 \ 6 & -3 & 4 \ 4 & -2 & 1 end right|> -x_5frac<left| begin 2 & 3 & 2 \ 6 & 5 & 4 \ 4 & 2 & 1 end right|>=3-4x_5, \ & & \ x_4 &=&frac<left| begin 2 & 1 & 2 \ 6 & 2 & 3 \ 4 & 1 & 1 end right|> -x_2frac<left| begin 2 & 1 & -1 \ 6 & 2 & -3 \ 4 & 1 & -2 end right|> -x_5frac<left| begin 2 & 1 & 3 \ 6 & 2 & 5 \ 4 & 1 & 2 end right|> = 0. end $$ Решим теперь ту же задачу, воспользовавшись методом Гаусса исключения переменных в системе линейных уравнений: $$ left< begin 2x_1&-x_2&+x_3&+2x_4&+3x_5&=&2, \ &&x_3&+2x_4&+4x_5&=&3, \ &&&x_4&&=&0 end right. $$ Используя обратный ход метода Гаусса, снова приходим к полученным формулам.

Ответ. Общее решение системы: $ x_1=1/2 (x_2+x_5-1), x_3=3-4,x_5, x_4=0 $.

Проанализируем теперь полученные общие формулы для общего решения. В этих формулах $ beta_j $ представляет решение системы, получаемое при $ x_<mathfrak+1>=0,dots,x_n=0 $. Величины же коэффициентов $ gamma_ $ вовсе не зависят от правых частей системы и будут одинаковыми при любых значениях $ b_1,dots,b_m $. В частности, если $ b_1=0,dots,b_m=0 $, то в формулах величины $ beta_j $ обращаются в нуль и эти формулы превращаются в $$ x_j=gamma_<j,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_x_n npu jin <1,dots, mathfrak> . $$

Вывод. Формула общего решения системы $ A X=mathcal B $: $$ x_j=beta_j + gamma_<j,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_x_n npu jin <1,dots, mathfrak> $$ состоит из двух частей: слагаемые, не содержащие свободных переменных, определяют частное решение неоднородной системы: $$ x_1= beta_1,dots, x_<mathfrak>= beta_<mathfrak>,x_<mathfrak+1>=0,dots,x_n=0 ; $$ оставшиеся после их отбрасывания формулы задают общее решение системы $ AX=mathbb O $. Этот результат обобщается в следующей теореме.

Теорема. Общее решение системы уравнений $ A X=mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=mathbb O $.

Доказательство тривиально если система $ A X=mathcal B $ имеет единственное решение. Если же решений бесконечно много, то выбрав какое-то одно частное $ X=X_1 $ мы получаем, что любое другое частное решение $ X=X_2 $ должно быть связано с первым соотношением $$ A(X_2-X_1)=mathbb O , $$ т.е. разность частных решений неоднородной системы обязательно является решением однородной системы уравнений $ AX=mathbb O $. ♦

Теперь посмотрим как можно описать общее решение однородной системы.

Система однородных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю: $$ left< begin a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=0,\ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=0,\ dots & & & dots & \ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &=0. end right. $$ или, в матричном виде: $$ A_X=_ $$

Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрица $ A_ $ системы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что условие $ det (A_) = 0 $ является и достаточным для существования нетривиального решения.

Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений с квадратной матрицей $ A_ $ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы $ det (A_) = 0 $.

Для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_ $ имеет место следующий общий результат.

Теорема 2. Если $ operatorname (A)=mathfrak r 5) $ A_^ $.

Теорема 3. Множество решений системы однородных уравнений образует линейное подпространство пространства $ mathbb A^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-mathfrak r $, а фундаментальная система решений образует его базис.

Пусть матрица системы $ AX=mathbb O $ квадратная и

$$ operatorname (A) =n_-1 , .$$ Доказать, что если ненулевой минор матрицы порядка $ n_-1 $ соответствует какому-нибудь элементу $ j_ $-й строки, то система алгебраических дополнений к элементам $ a_,dots,a_^ $ этой строки составляет ФСР для $ AX=mathbb O_ $. Например, для системы $$ left< begin a_x_1 +a_x_2+a_x_3&=0,\ a_x_1 +a_x_2+a_x_3&=0 end right. $$ ФСР состоит из решения $$ x_1=left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| , x_2=-left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| , x_3=left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| , $$ если только хотя бы один из миноров отличен от нуля.

Теперь обсудим способы нахождения ФСР.

1. Первый из них получается из общего метода решения системы линейных уравнений, рассмотренного в предыдущем пункте. Так же, как и в том пункте, сделаем упрощающее обозначения предположение, что зависимыми переменными являются первые $ x_,dots,x_ $, т.е. общее решение задается формулами $$ x_j=gamma_<j,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_x_n npu jin <1,dots, mathfrak> . $$ Иными словами, вектор столбец $$ X=left(begin gamma_<1,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_x_n \ gamma_<2,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_x_n \ vdots \ gamma_<mathfrak,mathfrak+1>x_<mathfrak+1>+dots+gamma_<mathfrakn>x_n \ x_<mathfrak+1> \ x_<mathfrak+2> \ vdots \ x_ endright) $$ будет решением однородной системы при любых наборах значений основных переменных $ x_<mathfrak+1>,dots,x_ $. Представим этот вектор в виде суммы векторов: $$ =x_<mathfrak+1> underbrace< left(begin gamma_<1,mathfrak+1> \ gamma_<2,mathfrak+1> \ vdots \ gamma_<mathfrak,mathfrak+1> \ 1 \ 0 \ vdots \ 0 endright)>_ + x_<mathfrak+2> underbrace<left(begin gamma_<1,mathfrak+2> \ gamma_<2,mathfrak+2> \ vdots \ gamma_<mathfrak,mathfrak+2> \ 0 \ 1 \ vdots \ 0 endright)>_+dots+ x_ underbrace<left(begin gamma_ \ gamma_ \ vdots \ gamma_<mathfrakn> \ 0 \ 0 \ vdots \ 1 endright)>_<X_> . $$ Таким образом, любое решение однородной системы представимо в виде линейной комбинации $ n_- mathfrak r $ фиксированных решений. Именно эти решения и можно взять в качестве ФСР — их линейная независимость очевидна (единицы в нижних частях каждого вектора $ X_ $ расположены на разных местах, и ни какая линейная комбинация столбцов $ < X_1,dots,X_> $ не сможет обратить их одновременно в нуль).

Оформим этот способ построения ФСР в теорему:

Теорема 4. Если система уравнений $ AX=mathbb O $ имеет структуру матрицы $ A_ $ вида:

$$ A = left[ E_ mid P_ right] , $$ то ее ФСР состоит из столбцов матрицы $$ left[ begin — P^ \ hline E_ end right] . $$

Пример. Найти ФСР для системы уравнений

Решение. Приводим систему к трапециевидному виду: $$ left< begin x_1-&x_2+&x_3-&x_4=&0, \ &&x_3+&4x_4=&0 end right. $$ В качестве зависимых переменных можно взять, например, $ x_ $ и $ x_ $. $$ begin x_1 & x_3 & x_2 & x_4 \ hline 1 & 0 & 1 & 0 \ 5 & -4 & 0 & 1 end $$

2. Этот способ напоминает вычисление обратной матрицы методом приписывания единичной матрицы. Транспонируем матрицу $ A_ $ системы и припишем к ней справа единичную матрицу порядка $ n_ $: $$ left[ A^ | E_n right] = left(begin a_ & a_ & dots & a_ & 1 & 0 & 0 & dots & 0 \ a_ & a_ & dots & a_ & 0 & 1 & 0 & dots & 0 \ a_ & a_ & dots & a_ & 0 & 0 & 1 & dots & 0 \ vdots & & & vdots & vdots & & & ddots & vdots \ a_ & a_ & dots & a_ & 0 & 0 & 0 & dots & 1 end right) ; $$ здесь $ |_ $ означает конкатенацию. Получившуюся матрицу элементарными преобразованиями строк приводим к форме: $$ left( begin hat A & K \ mathbb O & L end right) = left(begin color & * & * & dots & * & * & * & * & * & * & * & dots & * \ 0 & color & * & dots & * & * & * & * & * & * & * & dots & * \ 0 & 0 & color & dots & * & * & * & * & * & * & * & dots & * \ vdots & & & ddots & & vdots & & & vdots & & & & vdots \ 0 & 0 & dots & & 0 & color & * & * & * & * & * & dots & * \ hline 0 & 0 & dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & Box & Box & Box & dots & Box \ vdots & & & & & vdots & & & vdots & & & & vdots \ 0 & 0 & dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & Box & Box & Box & dots & Box end right) begin left.begin \ \ \ \ \ endright> mathfrak r \ left. begin \ \ \ endright> n — mathfrak r end . $$ Элементы трапециевидной матрицы $ hat A $, обозначенные $ color $, могут быть равны нулю, но $ operatorname(hat A)= mathfrak r_ $. В этом случае строки матрицы $ L_ $, образовавшейся в правом нижнем углу (ее элементы обозначены $ Box $), составляют ФСР для системы $ AX=mathbb O $.

Пример. Найти ФСР для системы уравнений

$$ left< begin x_1 &+2,x_2&+ x_3&+3,x_4&-x_5&+2,x_6=&0,\ -3x_1 &-x_2&+ 2,x_3&-4,x_4&+x_5&-x_6=&0,\ x_1 &+x_2&+ 3,x_3&+2,x_4&+x_5&+3,x_6=&0,\ -8,x_1 &-7,x_2&+ 4,x_3&-15,x_4&+6,x_5&-5,x_6=&0,\ 6x_1 &+5,x_2& +5,x_3&+11,x_4 &&+9,x_6=&0. end right. $$ Решение. Преобразуем матрицу $ left[ A^ | E_6 right] $

$$ left(begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \ 2 & -1 & 1 & -7 & 5 & & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & & 1 \ 3 & -4 & 2 & -15 & 11 &&&& 1 \ -1 & 1 & 1 & 6 & 0 &&&&& 1 \ 2 & -1 & 3 & -5 & 9 &&&&&& 1 end right)_ $$ к трапециевидной форме с помощью элементарных преобразований строк: $$ rightarrow left(begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-2 & 1 \ 0 & 5 & 2 & 12 & -1 &-1 &0 & 1 \ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-3&0&0& 1 \ 0 & -2 & 2 & -2 & 6 &1&0&0&0& 1 \ 0 & 5 & 1 & 11 & -3 &-2&0&0&0&0& 1 end right)rightarrow $$ $$ rightarrow left(begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-2 & 1 \ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 &1 &-1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1&-1&0& 1 \ 0 & 0 & 8/5 & 8/5 & 16/5 &1/5&2/5&0&0& 1 \ 0 & 0 & 2 & 2 & 4 &0&-1&0&0&0& 1 end right)rightarrow $$ $$ rightarrow left(begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-2 & 1 \ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 &1 &-1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1&-1&0& 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1/3&14/15&-8/15&0& 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-2/3&-1/3&-2/3&0& 0 & 1 end right) $$

3. Еще один способ построения ФСР основан на теореме Гамильтона-Кэли.

Теорема. Пусть матрица системы $ AX=mathbb O $ квадратная и $ operatorname (A) = $. Тогда характеристический полином матрицы $ A_ $ имеет вид:

Пример. Найти ФСР для системы уравнений

Решение. Здесь $$ A= left( begin 1 & 1 & -1 & -1 \ 2 & 3 & 1 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right), quad det (A-lambda E) = lambda^2(lambda^2-4lambda+1), $$ $$ A^2-4A+E= left( begin 0 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 0 & -3 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end right) $$

Блок-схемы зависимости множества решений системы уравнений $ AX= mathcal B $ от комбинации чисел $ n, mathfrak r $ ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Геометрическая интерпретация

Геометрический смысл введенных определений поясним на примере $ mathbb R^ $. Уравнение $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b $$ — при фиксированных вещественных коэффициентах $ a_1,a_2,a_3 $ (хотя бы один из них считаем отличным от нуля) и $ b_ $ — задает плоскость. Если, к примеру, $ a_1ne 0 $, то из уравнения получаем выражение для $ x_ $ как функции $ x_2,x_3 $: $$ x_1=frac-fracx_2-fracx_3 . $$ В этом представлении переменные $ x_ $ и $ x_ $ могут принимать любые вещественные значения независимо друг от друга, а вот переменная $ x_ $ полностью определяется заданием $ x_ $ и $ x_ $. С одной стороны, последняя формула определяет общее решения системы линейных уравнений (которая в нашем частном случае состоит из одного-единственного уравнения); переменные $ x_ $ и $ x_ $ выбраны основными, а $ x_ $ оказывается зависимой. Строго говоря, координаты любой точки плоскости можно представить формулами $$x_1=frac-fract-fracu, x_2=t, x_3=u quad npu quad subset mathbb R , $$ которые называются параметрическим представлением плоскости. Таким образом, получили геометрическую интерпретацию общего решения системы уравнений. Идем далее: представим последние формулы в векторной форме: $$ left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)= left( begin b/a_1- t, a_2/a_1- u, a_3/a_1 \ t \ u end right)= left( begin b/a_1\ 0 \ 0 end right)+ t left( begin -a_2/a_1\ 1 \ 0 end right) + u left( begin -a_3/a_1\ 0 \ 1 end right) . $$ Какой геометрический смысл имеет каждое из слагаемых? Первое слагаемое $$ X_0=left( begin b/a_1\ 0 \ 0 end right) $$ получается при задании $ t=0,u=0_ $ в общем решении. Это — частное решение нашего уравнения и определяет точку, через которую проходит плоскость. Два оставшихся столбца $$ X_1=left( begin -a_2/a_1\ 1 \ 0 end right) quad u quad X_2=left( begin -a_3/a_1\ 0 \ 1 end right) $$ не задают решения нашего уравнения — если только $ bne 0_ $. Но оба удовлетворяют однородному уравнению $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 , $$ Последнее также определяет плоскость — параллельную исходной и проходящую через начало координат. Первая плоскость получается из второй сдвигом (параллельным переносом) на вектор $ vec $: и этот факт составляет геометрическую интерпретацию теоремы, сформулированной в конце ☞ ПУНКТА:

Теорема. Общее решение системы уравнений $ A X=mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=mathbb O $.

Координаты произвольной точки плоскости $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 $ задаются соотношениями $$ left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)=tX_1+uX_2 . $$ Векторы пространства $ vec $ и $ vec $ являются базисными векторами плоскости — любой вектор $ vec $, лежащий в плоскости, через них выражается и они линейно независимы. Но $ X_ $ и $ X_ $ определяют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Таким образом, мы получили геометрическую интерпретацию для ФСР: она задает базисные векторы плоскости, проходящей через начало координат.

Теперь рассмотрим систему из двух уравнений: $$ left<begin a_x_1 +a_x_2+a_x_3 &=&b_1,\ a_x_1 +a_x_2+a_x_3 &=&b_2. endright. $$ Ее можно интерпретировать как пересечение двух плоскостей в $ mathbb R^ $. Здесь уже возможны варианты: пересечение может оказаться как пустым так и непустым. От чего это зависит? — В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, надо сравнить два числа $$ operatorname left( begin a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ end right) quad u quad operatorname left( begin a_ & a_ & a_ & b_1 \ a_ & a_ & a_ & b_2 end right) . $$ Очевидно, ни одно из них не может быть большим $ 2_ $. Если оба равны $ 2_ $ и этот факт обеспечен, например, условием $$ left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| ne 0, $$ то решения системы определяют прямую в пространстве. Действительно, при таком условии систему можно разрешить относительно неизвестных $ x_ $ и $ x_ $ и представить общее решение в виде: $$ x_1= frac<left|begin b_1 & a_ \ b_2 & a_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>+ frac<left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>x_3 , quad x_2= frac<left|begin a_ & b_ \ a_ & b_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>- frac<left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>x_3 . $$ В этих формулах переменная $ x_ $ принимает любое значение, а значения переменных $ x_ $ и $ x_ $ линейно выражаются через $ x_ $. Общее решение фактически задает прямую в параметрическом виде: координаты произвольной ее точки определяются формулами $$ left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)=X_0+tX_1 , $$ где вектор $$ quad X_0 = left(frac<left|begin a_ & b_ \ a_ & b_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|> , frac<left|begin a_ & b_ \ a_ & b_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>, 0right)^ $$ задает координаты точки, лежащей на прямой (т.е. принадлежащей пересечению плоскостей), а вектор $$ X_1= left(frac<left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>, — frac<left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|><left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|>, 1 right)^ $$ является направляющим для прямой. С тем же успехом мы могли бы взять в качестве направляющего вектор, получающийся растяжением $ X_ $: $$ tilde X_1 = left(left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|, — left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|, left|begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| right)^ . $$ Очевидно, что любой из векторов $ X_ $ или $ tilde X_1 $ задает фундаментальную систему решений однородной системы уравнений 10) $$ left<begin a_x_1 +a_x_2+a_x_3 &=&0,\ a_x_1 +a_x_2+a_x_3 &=&0. endright. $$ Последняя определяет прямую в $ mathbb R^3 $, проходящую через начало координат. Мы снова получаем интерпретацию теоремы: общее решение неоднородной системы получается сдвигом (параллельным переносом) общего решения однородной системы на вектор $ vec $.

Мы рассмотрели пока только случай пересекающихся плоскостей в пространстве. Его можно считать общим, т.е. случаем «как правило»: две случайным образом выбранные плоскости в $ mathbb R^ $ пересекаться будут. Исследуем теперь исключительный случай — параллельности плоскостей. Исключительность этого случая может быть проверена и аналитикой. Для несовместности системы из двух уравнений необходимо, чтобы ранг ее матрицы $$ left( begin a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ end right) $$ оказался меньшим $ 2_ $. Это равносильно тому, что все миноры второго порядка этой матрицы обращаются в нуль: $$ left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|=0, left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| =0, left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right|=0 . $$ Эти условия можно переписать в виде $$ frac<a_><a_>=frac<a_><a_>=frac<a_><a_> ; $$ и, если обозначить общую величину последний отношений через $ tau_ $, то получаем: $$ (a_,a_,a_)=tau (a_,a_,a_) . $$ Если вспомнить, что каждый из этих наборов коэффициентов задает вектор $ vec<OA^> $ в $ mathbb R^ $, перпендикулярный соответствующей плоскости, то, в самом деле, плоскости, определяемые уравнениями, оказываются параллельными. Пересекаться они, как правило, не будут: для пересечения необходимо, чтобы расширенная матрица системы $$ left( begin a_ & a_ & a_ & b_1 \ a_ & a_ & a_ & b_2 end right) $$ имела ранг меньший $ 2_ $. Это возможно только при условии когда коэффициенты правых частей удовлетворяют соотношению $$ b_1 = tau b_2 $$ при величине $ tau_ $ определенной выше. При выполнении этого условия второе уравнение получается из первого домножением на $ tau_ $ и соответствующие плоскости попросту совпадают.

Перейдем теперь к системе из трех уравнений: $$ left< begin a_x_1 +&a_x_2+&a_x_3=&b_1, \ a_x_1 +&a_x_2+&a_x_3=&b_2, \ a_x_1 +&a_x_2+&a_x_3=&b_3. end right. $$ Вариантов взаимного расположения трех плоскостей в $ mathbb R^ $ уже значительно больше. Какой из них будет самым распространенным, то есть случаем «как правило»? Геометрически ответ очевиден: если пересечение двух плоскостей определяет, как правило, прямую, то эта прямая пересекается с третьей плоскостью, как правило, в одной-единственной точке. И алгебра подтверждает геометрию: в комментарии к теореме Крамера говорится, что система, число уравнений которой совпадает с числом неизвестных, как правило, имеет единственное решение. Условие для этого случая «как правило» дается той же теоремой Крамера: $$ left| begin a_ & a_ & a_\ a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ end right| ne 0 . $$

Теорема Кронекера-Капелли в этом случае не нужна — нет, она остается справедливой! — но проверка условия на ранги матриц тривиальна: они оба равны $ 3_ $. Если же указанный определитель обращается в нуль, то этот факт эквивалентен тому, что три строки определителя линейно зависимы. Например, возможно, что строка $ (a_,a_, a_) $ может быть представлена в виде линейной комбинации первых двух строк. Вспомним геометрический смысл этих строк: они задают координаты векторов, перпендикулярных соответствующим плоскостям. Если система уравнений $$ left<begin a_x_1 +a_x_2+a_x_3 &=&b_1,\ a_x_1 +a_x_2+a_x_3 &=&b_2 endright. $$ определяет прямую в $ mathbb R^ $, то оба вектора $ vec<OA^> $ и $ vec<OA^> $ при $ A^= (a_,a_, a_) $ и $ A^= (a_,a_, a_) $ перпендикулярны этой прямой; любая их комбинация также перпендикулярна этой прямой, а, следовательно, плоскость $$ a_x_1 +a_x_2+a_x_3 =b_3 $$ будет ей параллельна.

Статья не закончена!

Видео:Метод Гаусса Пример РешенияСкачать

Ортогональность

Геометрические соображения из предыдущего пункта могут быть обобщены на случай когда размерности рассматриваемых пространств увеличиваются, и мы говорим о точках и векторах многомерных пространств. В последующих пунктах нам потребуются понятия линейной оболочки, линейного пространства, размерности, базиса и координат применительно к векторам-столбцам или векторам-строкам. Их можно найти ☞ ЗДЕСЬ.

Задача решения системы линейных уравнений $$ left< begin 3x_1&+4x_2&-x_3&=2, \ x_1&-2x_2&+3x_3&=1 end right. $$ может быть рассмотрена с двух точек зрения. С одной стороны, переписав систему в виде $$ x_1left(begin 3 \ 1 end right)+ x_2left(begin 4 \ -2 end right)+ x_3left(begin -1 \ 3 end right)= left(begin 2 \ 1 end right) , $$ можно говорить о поиске линейной комбинации столбцов $$ left(begin 3 \ 1 end right), left(begin 4 \ -2 end right), left(begin -1 \ 3 end right) $$ равной заданному столбцу $$ left(begin 2 \ 1 end right) . $$ В случае произвольной системы, записанной в матричном виде $$ A_X=mathcal B_ $$ совместность системы интерпретировать в смысле принадлежности столбца $ mathcal B $ линейной оболочке столбцов $ A_,dots,A_ $: $$ mathcal B=x_1 A_+dots+x_nA_ quad iff quad mathcal B in mathcal L (A_,dots,A_) . $$ В случае положительного ответа числа $ x_,dots,x_n $ интерпретируются как координаты столбца $ mathcal B $ в системе столбцов 11) $ <A_,dots,A_> $.

С другой стороны, к той же задаче решения системы уравнений, в предыдущем ПУНКТЕ мы подошли с другой стороны. Первое из уравнений системы $$ 3,x_1+4,x_2-x_3=2 $$ можно интерпретировать так: скалярное произведение векторов $ vec<^> $ и $ vec<> $ равно фиксированному числу $ 2_ $. Здесь вектора рассматриваются в пространстве строк $ mathbb R_^ $; считается, что каждый вектор имеет начало в начале координат $ mathbf O=[0,0,0] $, а конец — в точке с координатами $ [3,4,-1] $ или, соответственно, $ [x_1,x_2,x_3] $. Если скалярное произведение векторов обозначать скобками $ langle mbox rangle $, то систему уравнений можно переписать в виде $$ langle vec<^> , vec<> rangle=2, langle vec<^> , vec<> rangle=1 quad npu quad A^ = [3,4,-1], A^=[1,-2,3] $$ — строках матрицы $ A_ $. И задачу решения такой системы понимать в смысле: найти координаты всех векторов-строк $ [x_1,x_2,x_3] $ которые обеспечат нам заданные значения скалярных произведений с двумя фиксированными векторами.

Геометрическая интерпретация еще более упрощается если рассмотреть случай однородной системы уравнений. Так, решить систему уравнений $$ left< begin 3x_1&+4x_2&-x_3&=0, \ x_1&-2x_2&+3x_3&=0 end right. $$ означает подобрать вектор $ vec<> $ перпендикулярный (ортогональный) одновременно обоим векторам $ vec<^> $ и $ vec<^> $. Очевидно, что таких векторов в $ mathbb R^ $ бесконечно много — найдя хотя бы один такой вектор $ vec<> $, другие получим его растяжением: $ alpha cdot vec<> $ остается перпендикулярным векторам $ vec<^> $ и $ vec<^> $ при $ forall alpha in mathbb R $.

Все эти геометрические соображения обобщаются в произвольное пространство $ mathbb R_^ $ строк или столбцов, состоящих из $ n_ $ вещественных чисел (компонент). Для этого приходится обобщать понятие скалярного произведения. В общем случае оно вводится аксиоматически (и, более того, в одном и том же множестве может быть определено разными способами, см. ☞ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ). Мы сейчас не будем залезать так глубоко в эту аксиоматику, а просто определим скалярное произведение двух строк $ X=[x_1,x_2,dots,x_n] $ и $ Y=[y_1,y_2,dots,y_n] $ формулой $$ langle X,Y rangle=x_1y_1+x_2y_2+dots+x_ny_n $$ и продекларируем без обоснований, что все привычные нам по случаям $ mathbb R^ $ и $ mathbb R^ $ свойства скалярного произведения будут выполнены.

В терминах скалярного произведения, задачу решения системы линейных уравнений можно переформулировать как поиск строки $ X=[x_1,x_2,dots,x_n] $, ортогональной всем строкам матрицы $ A_ $: $$ langle A^,X rangle=0, langle A^,X rangle=0,dots, langle A^,X rangle=0 . $$ Множество таких строк образует линейное подпространство пространства $ mathbb R_^ $, это подпространство является ортогональным дополнением линейной оболочки $ mathcal L ( A^, A^,dots, A^ ) $ в пространстве $ mathbb R_^ $. Это подпространство называется нуль-пространством матрицы или ядром матрицы $ A_ $ и обозначается 12) $ er (A) $. Фундаментальная система решений системы $ AX=mathbb O $ составляет базис этого подпространства. Для произвольного линейного пространства количество векторов его базиса называется размерностью пространства и обозначается $ operatorname $. Во введенных обозначениях теорема из ☞ ПУНКТА переформулируется так:

Теорема. $ operatorname left( er (A) right)=n- mathfrak r $, где $ n_ $ — количество столбцов матрицы $ A_ $, а $ mathfrak r=operatorname (A) $ — ее ранг.

Видео:МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Системы линейных уравнений с примерами решений

Содержание:

Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используют для решения сложных и необходимых задач. Системы уравнений бывают с двумя, тремя и более переменными. В этой главе вы ознакомитесь с простейшими системами двух уравнений с двумя переменными. Основные темы лекции:

• уравнения с двумя переменными;
• график линейного уравнения;
• системы уравнений;
• способ подстановки;
• способ сложения;
• решение задач составлением системы уравнений.

Уравнения с двумя переменными

До сих пор мы рассматривали уравнение с одной переменной. Однако существуют задачи, решение которых приводит к уравнениям с двумя переменными.

Пример:

На 22 руб. купили несколько книжек по 5 руб. и географических карт — по 3 руб. Сколько купили книжек и карт?

Решение:

Пусть купили х книжки у карт. За книжки заплатили 5х руб., а за карты — 3у руб. Всего заплатили 22 руб., то есть, 5х + Зу = 22.

Это уравнение с двумя переменными. Приведём и другие примеры таких уравнений с двумя переменными:

Уравнение вида ах + by = с, где а, b, с — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Если

Примеры линейных уравнений:

два первых из них — уравнение первой степени с двумя переменными.

Паре чисел х = -1 и у = 9 удовлетворяет уравнение 5х + Зу -= 22, так как А пара чисел х = 1 и у = 2 этому уравнению не удовлетворяет, поскольку

Каждая пара чисел, удовлетворяющая уравнение с двумя переменными, т. е. обращающая это уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Обратите внимание: одно решение состоит из двух чисел, на первом месте записывают значение х, на втором — у. Корнями их не называют.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, следует подставить в уравнение произвольное значение первой неременной и, решив полученное уравнение, найти соответствующее значение второй переменной.

Для примера найдем несколько решений уравнения

Если х = 1, то отсюда у = -2. Пара чисел х = 1 и у = -2 — решение данного уравнения. Его записывают ещё и так: (1; -2). Придавая переменной х значения 2, 3, 4, . , так же можно найти сколько угодно решений уравнения: (2; 1), (3; 4), (4; 7), (5; 10), . Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.

Уравнение также имеет бесконечно много решений, но сформулированную выше задачу удовлетворяет только одно из них: (2; 4).

Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Для уравнения с двумя переменными остаются справедливыми свойства, сформулированные для уравнений с одной переменной.

Обе части уравнения с двумя переменными можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Любой член такого уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате получается уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение можно преобразовать так: . Каждое из этих уравнений равносильно друг другу.

Иногда возникает потребность решить уравнение с двумя переменными во множестве целых чисел, то есть определить решения, являющиеся парами целых чисел. Способы решения таких уравнений определил древнегреческий математик Диофант (III в.), поэтому их называют диофантовыми уравнениями. Например, задача о книжках и картах сводится к уравнению где х и у могут быть только целыми (иногда натуральными) числами.

Переменную у из этого уравнения выразим через х:

Будем подставлять в равенство вместо х первые натуральные числа до тех пор, пока не получим целое значение переменной у. Это можно делать устно. Если х = 2, то у = 4. Других натуральных решений уравнение не имеет. Поэтому задача имеет единственное решение: 2 книги и 4 карты.

Пример:

Решение:

а) При любых значениях х и у значения выражения не может быть отрицательным числом. Поэтому уравнение не имеет решений.

б) Значение выражения равно нулю только при условии, когда x -3 = 0 и y = 0. Значит, уравнение имеет только одно решение: х = 3, у = 0.

Пример:

Составьте уравнение с двумя переменными, решением которого будет пара чисел (1; -5).

Решение:

Пишем любой двучлен с переменными х и у, например Если х = 1, а у = -5, то значение даного двучлена равно 28. Следовательно, уравнение удовлетворяет условие задачи.

Есть много других линейных уравнений с двумя переменными, имеющих такое же решение (1; -5).

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение Давая переменной х значения -2, -1,0,1,2, 3. найдём соответствующие значения переменной у. Будем иметь решение данного уравнения: (-2; -б), (-1; -4,5), (0; -3),

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📸 Видео

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать