При расчете рам на устойчивость методом перемещений уравнение устойчивости

Будем выполнять расчет на устойчивость рам, в которых внешняя узловая нагрузка не может вызвать линейных смещений узлов вследствие изгиба стержней до момента потери устойчивости. Примером могут служить рамы, показанные на рис. 11.8.

Однако те же рамы при другом приложении нагрузки могут до момента потери устойчивости иметь перемещения от изгиба стержней (рис. 11.9). Такие рамы, рассчитываются на продольнопоперечный изгиб.

При расчете рам принимаются следующие допущения:

рассматривается только узловая нагрузка, не вызывающая поперечного изгиба стержней рамы;

стержни считаются нерастяжимыми и несжимаемыми;

— изменением расстояния между концами стержня, которое получается вследствие его изгиба от потери устойчивости, пренебрегаем;

при расчете учитываются нормальные силы, возникающие до потери устойчивости; влияние приращения нормальных сил, возникающих в момент потери устойчивости, не учитывается;

при определении поперечных сил в изогнутых стержнях не учитывается изменение угла наклона сечения за счет изгиба стержня;

нагружение считается простым, то есть величины нагрузок возрастают пропорционально некоторому параметру.

Рассмотрим раму, показанную на рис. 11.11. Пока нагрузка меньше критической, возможна только первоначальная равновесная форма. При достижении критического значения продольного усилия в каком-либо стержне возможна первоначальная равновесная форма, из которой рама легко выводится малым возмущением, или новая равновесная форма, после которой нагрузка может возрастать (теоретически). Таким образом, нас интересует наименьшее значение критической нагрузки, возникающее в одном или во всех стержнях.

Поскольку новое деформированное состояние равновесное, то можно применять известные методы расчета статически неопределимых систем — метод сил или метод перемещений. Метод сил несколько сложнее и менее удобен в практических расчетах. Для метода перемещений эпюры приведены в табл. П2 приложения.

Рассмотрим порядок расчета рам методом перемещений.

• 1. Вначале определяется степень кинематической неопределимости метода перемещений, затем выбираются основная и эквивалентная системы, нумеруются стержни в произвольном порядке.
• 2. Записываются канонические уравнения метода перемещений:

где свободные члены равны нулю, что обусловлено допущением об отсутствии поперечного изгиба до момента потери устойчивости рамы.

Система однородных уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

После раскрытия определителя (11.35) получаем уравнение устойчивости.

• 3. Строятся единичные эпюры с помощью таблицы П2 приложения.
• 4. Определяются коэффициенты метода перемещений. Для этого вырезаются узлы на единичных эпюрах и составляются уравнения равновесия.
• 5. Решается уравнение устойчивости, в котором имеется неизвестный параметр

Для каждой стойки эти параметры разные, поэтому составляются соотношения между параметрами v_; каждого из стержней рамы, нагруженного продольной силой.

Из уравнения (11.36) для параметра продольной устойчивости v следует, что:

По формуле Эйлера для стержня

где |х — коэффициент приведения длины стойки, зависящий от типа опирания ее концов и показывающий количество полуволн изгибания стержня.

Из сравнения формул (11.37) и (11.38) видно, что

• 6. После определения v находится минимальная критическая нагрузка, при которой произойдет потеря устойчивости.
• 7. Определяется гибкость стержня

где i — радиус инерции стержня.

8. Проверяется прочность стержня:

где (р — коэффициент продольного изгиба; А — площадь поперечного сечения стержня.

Пример 11.4. Определить величину критической нагрузки для рамы, показанной на рис. 11.10, а.

• 1. Вычисляем степень кинематической неопределимости n = 1 и выбираем эквивалентную систему метода перемещений (рис. 11.10, б).
• 2. Уравнение устойчивости запишем как:

Поскольку Zj ф 0, получаем т_{< х} = А = 0.

3. Строим единичные эпюры по таблицам метода перемещений (рис. 11.11, а).

Из условия равновесия узла (рис. 11.11,6) имеем:

Уравнение устойчивости запишется в виде:

3. Выразим параметры через v, чтобы иметь одно неизвестное:

Тогда уравнение устойчивости примет вид:

4. Уравнение устойчивости решается графическим методом. Выбираем одно значение Vi и по таблице ПЗ определяем соответствующие значения функций (Pj (Vj) и ф₂ (vj):

Подставляя полученные величины в уравнение устойчивости получим:

Выбрав другое значение V2, будем иметь:

После аналогичной постановки:

5. На основе полученных результатов строим график (рис. 11.12), который на заданном промежутке приближенно описывает кривую, соответствующую уравнению устойчивости.

Получаем решение v = 3,69.

6. Критическая нагрузка определяется по формуле:

Видео:Расчет рамы на устойчивость методом перемещений. Строительная механика.Скачать

РАСЧЕТ РАМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • теорию метода перемещений решения задач устойчивости стержневых систем;
• • возможные формы потери устойчивости загруженных симметричных рам; уметь
• • правильно выбирать основную систему метода перемещений при расчетах рам на устойчивость;
• • безошибочно находить минимальный корень уравнения устойчивости; владеть
• • методом перемещений для расчета рам на устойчивость;
• • методами анализа полученных результатов.

Видео:Расчет на устойчивость методом перемещений ( угловое перемещение)Скачать

Теория метода

Метод перемещений получил широкое распространение при расчете строительных конструкций. Объясняется этот факт элементарностью выбора основной системы и ее простотой. Особенно существенны эти преимущества при решении задач устойчивости. На первый взгляд кажется, что основная система метода сил проще, так как она является статически определимой. На самом же деле, в силу того что расчет на устойчивость проводится по деформированной схеме, в многоэлементной системе метода сил получить деформированную схему гораздо сложнее, чем в основной системе метода перемещений, состоящей из отдельных прямолинейных стержней.

Основная система метода перемещений при определении критической нагрузки принимается такой же, как при решении задач прочности (рис. 10.1, а). Но реакции в дополнительных связях определяются уже с учетом продольного изгиба по деформированной схеме.

Рис. 10.1. Основная система метода и форма потери устойчивости

Согласно принятым допущениям в раме, нагруженной узловой нагрузкой, вплоть до момента потери устойчивости будут иметь место только продольные усилия. Как известно, при узловой нагрузке все свободные члены системы канонических уравнений метода перемещений для несвободных рам будут равны нулю:

Поэтому канонические уравнения получаются однородными. Примем для реакций те же обозначения, что и при расчете на прочность. Но при этом следует помнить, что реакции определяются по деформированной схеме:

Физический смысл этих уравнений равновесия состоит в том, что они отрицают наличие реакций в любой дополнительной связи при возникновении перемещений. Таким образом, идея эквивалентности основной и заданной систем сохраняется и здесь. Остается справедливой и теорема о взаимности реакций от единичных перемещений, т.е. r_jk = r_kj.

Однородная система уравнений (10.1) имеет не единственное решение. Одно из них, так называемое тривиальное решение, будет иметь место, если все неизвестные Z, = Z₂ = . = Z„ = 0. Равенство нулю перемещений в большинстве случаев свидетельствует о том, что нагрузка еще не достигла критического значения и рама находится в устойчивом состоянии. Поэтому тривиальное решение не представляет интереса. Правда, в определенных случаях может произойти потеря устойчивости стержней и при нулевых значениях перемещений. Это происходит при достижении значения критического параметра больше 2п в отдельных стержнях.

При решении задач методом перемещений будем использовать статический критерий устойчивости, как и в методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. С этой целью зададим раме малые перемещения (рис. 10.1, б — сплошная линия) и будем искать то минимальное значение нагрузки, при котором рама может находиться в равновесии как в недеформированном состоянии, так и в деформированном.

Нетривиальное решение уравнений (10.1), когда перемещения не будут нулевыми, имеет место в том случае, когда определитель из коэффициентов будет равен нулю, т.е.

Раскрывая этот определитель, получим уравнение устойчивости, которое служит для вычисления критической нагрузки. Как правило, коэффициенты r_kJ выражаются нс через F непосредственно, а через критический параметр v (см. формулу (9.7)). Как будет показано ниже, коэффициенты г_к1 являются трансцендентными функциями этого параметра. Поэтому уравнение устойчивости, получаемое в результате раскрытия определителя

• (10.2) , будет трансцендентным уравнением, корни которого находятся путем подбора. Этим определитель (10.2) отличается от определителя (2.7). Там рассматривались системы с конечным числом степеней свободы, что приводило к алгебраическому уравнению, а здесь рассматриваются рамы с бесконечным числом степеней свободы. По этой причине уравнение
• (10.2) имеет множество корней, из которых, как и в методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения оси стержня, нужно находить только минимальное ненулевое значение v, удовлетворяющее уравнению (10.2).

В общем случае параметр v_k, определяемый выражением (9.7), зависит от длины стержня 1_к, силы F_k и жесткости поэтому для различных стержней он может оказаться различным. 11о на основании четвертого допущения (см. параграф У.2), задающего соотношение между силами F_k, легко выразить все критические параметры v_k через какой-нибудь один из них. Тогда все коэффициенты r_kjопределителя (10.2) будут функциями только одного параметра.

После определения критического параметра критическое значение силы для выбранного стержня находится по формуле (9.8). Затем исходя из полученных соотношений между критическими параметрами находятся остальные параметры а через них и критические силы по той же формуле (9.8). Для дальнейших расчетов определяются расчетные длины стержней из выражения (9.17).

Полученной критической нагрузке соответствует определенная форма потери устойчивости, которую нетрудно представить ориентировочно. Но эту форму можно и уточнить, насколько это возможно, выразив форму деформированного состояния системы с бесконечным числом степеней свободы через несколько перемещений. С этой целью следует использовать прием, изложенный в параграфе 2.2, для определения соотношений между перемещениями. Нужно принять какое-то значение, например Z, = 1, подставить его и значения v_; в уравнение (10.1) и, решая систему из (п — 1)-го уравнения, найти остальные значения Z-. По ним можно уточнить искомую форму потери устойчивости.

Видео:С.М. Задача №8.1 расчёт рамы на устойчивость методом перемещенийСкачать

Методические указания к расчетно-графической работе “Расчет рамно-балочных систем на устойчивость”

Министерство образования и науки

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра строительной механики

Видео:С.М. Тема №8 Расчёт на устойчивость методом перемещенийСкачать

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к расчетно-графической работе

“Расчет рамно-балочных систем

Ш17 Методические указания к расчетно-графической работе “Расчет рамно-балочных систем на устойчивость” / Шакирзянов, . – Казань: КГАСУ, 2011. – 16 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Казан-ского государственного архитектурно-строительного университета.

Методические указания предназначены для успешного усвоения теоретических знаний, закрепления навыков по расчету сооружений на устойчивость и выполнения расчетно-графической работы (РГР) по устойчивости сооружений.

Определяются общая схема и последовательность выполнения РГР, даются рекомендации для ее самостоятельного выполнения и примеры решения задач расчета рамно-балочных систем на устойчивость методом перемещений.

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики КГАСУ

Ó Казанский государственный

Строительная механика − это наука о принципах и методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Поэтому бакалавры и магистры, обучающиеся по направлению “Строительство” и изучающие курс строительной механики, а также аспиранты и специалисты-строители, повышающие квалификацию по этому направлению должны знать теоретические положения, принципы и методы расчета сооружений на устойчивость.

Под воздействием внешней нагрузки в рамно-балочных системах (рис. 1 а) могут возникать большие продольные усилия (рис. 1 б), приводящие к потере устойчивости системы. В таких случаях (рис. 1 в), а также при узловом воздействии нагрузки (рис. 1 г) может ставиться задача проверки этих систем на устойчивость.

Обе эти задачи можно решать методом перемещений по единой методике, если принять упрощающие гипотезы:

– нагрузка прикладывается только в узлах;

– продольные силы вызывают только центральное сжатие;

– при потере устойчивости напряжения остаются в упругой зоне;

– деформации малы и расстояния между узлами сохраняются.

Алгоритм расчета на устойчивость методом перемещений

1. Определение числа неизвестных.

2. Выбор основной системы.

3. Построение эпюры продольных сил N0 в основной системе.

4. Определение параметров устойчивости стержней

.

Все параметры устойчивости необходимо выразить через максимальный из них и обозначить v=max vi , а остальные определить как , где коэффициенты .

5. Запись канонических уравнений.

6. Рассмотрение единичных состояний основной системы.

7. Построение эпюр изгибающих моментов в единичных состояниях.

8. Определение коэффициентов канонических уравнений.

9. Решение уравнения устойчивости .

10. Определение критических сил и приведенных длин сжатых стержней по формулам

, .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. На одноэтажную раму действует сосредоточенная сила, направленная вдоль оси одной из стоек (рис. 2 а). Определить величину этой силы, при которой рама достигает критического состояния.

1. Определяем число неизвестных по методу перемещений:

2. Выбираем основную систему (рис. 2 б).

3. Строим эпюру продольных сил в основной системе (рис. 2 в).

4. Параметры устойчивости стержней:

, .

5. Каноническое уравнение будет

(так внешняя нагрузка до момента потери устойчивости не вызывает изгиба элементов, то ).

6. Рассмотрим единичное состояние основной системы (рис. 3 а).

7. В единичном состоянии строим эпюру изгибающих моментов. При этом надо помнить следующее: в стержне 3 в основной системе имеется сжимающие усилие (рис. 2 в), поэтому при построении эпюры изгибающих моментов в этом стержне надо пользоваться специальной таблицей метода перемещений (табл. 2 в приложении), а в стержнях 1 и 2 сжимающие силы отсутствуют, поэтому при построении эпюр моментов в этих стержнях надо использовать обычную таблицу метода перемещений (табл. 3). Тогда эпюра моментов для стержня 3 будет криволинейной, а для стержня 1 будет прямолинейной (рис. 3 б). Следует отметить, что в данной задаче построение этой эпюры не обязательно.

8. По рис. 3 в определяем коэффициент канонического уравнения:

.

9. Каноническое уравнение имеет два решения:

1) , 2) .

Согласно основной системе (рис. 2 б), второе решение соответствует закреплению 3-го стержня в горизонтальном направлении. Поэтому этот стержень, подвергнутый воздействию сжимающей силы P, можно рассматривать отдельно (рис. 3 г).

Такие задачи решаются теоретически, результаты их расчета приведены в приложении в табл. 1. Нашему случаю соответствует 4-ая схема этой таблицы, из которого определяем коэффициент приведенной длины стержня μ=0,7. Тогда

.

Если рассматривать первое решение, то

.

Из него получаем уравнение или .

Тогда, используя табл. 4, определяем корень уравнения .

Итак, получили два решения: 1) , 2) . По критерию Эйлера, критической является наименьшая из них. Поэтому .

10. Определяем величину критической силы и коэффициент приведенной длины стержня. Принимая

,

, .

Как видно из данного примера, уравнение дает завышенное значение приведенной длины стержня (а значит и критической силы). При решении других задач получаются аналогичные результаты. Поэтому в дальнейшем решения типа рассматривать не будем.

Задача 2. Провести расчет рамы, представленной на рис. 4 а, на устойчивость методом перемещений.

1. Определяем число неизвестных по методу перемещений:

2. Выберем основную систему (ОС). Она получается введением двух условных связей − заделки и опоры (рис. 4 б).

3. Строим эпюру продольных сил в основной системе (рис. 4 в). В ней имеются два стержня, в которых есть сжимающие продольные усилия.

4. Параметры устойчивости стержней рамы будут:

, , .

Наибольший из них соответствует 1-му стержню. Поэтому примем его параметр устойчивости за основной и обозначим

.

,

имеем .

5. Запишем систему канонических уравнений:

Эта однородная система уравнений имеет два решения:

1) 2) .

Второе решение, как дающее завышенное значение критического корня, рассматривать не будем. А первое решение с учетом принимает вид

.

Это и есть уравнение устойчивости.

6. Рассмотрим два единичных состояния основной системы, в которых обозначим деформации элементов и реактивные усилия (рис. 5):

7. Используя таблицы метода перемещений, в обоих состояниях строим эпюры изгибающих моментов (рис. 6 а, б).

При этом при построении эпюр в стержнях 1 и 2 (в них учитывается сжатие) основной системы используем специальную таблицу метода перемещений (табл. 2), а при построении эпюр в стержнях 3 и 4 (где сжимающие силы отсутствуют) используем обычную таблицу метода перемещений (табл. 3). Поэтому эпюры моментов для стержней 1 и 2 них будут криволинейными, а для стержней 3 и 4 − прямолинейными.

8. Коэффициенты системы канонических уравнений определяем согласно единичным состояниям (рис. 5) и по рис. 6 а, б:

;

;

9. Решаем уравнение устойчивости. Для этого подставим найденные коэффициенты в уравнение устойчивости и сократим его на EI. Получим трансцендентное уравнение (уравнение с бесконечным числом корней). С целью определения наименьшего положительного корня этого уравнения вначале определим интервал, в котором этот корень находится. Для этого проведем следующие рассуждения:

1) уравнение устойчивости зависит от параметра устойчивости 1-го стержня рамы , поэтому исследуем поведение этого стержня;

2) в состоянии “малой жесткости” рамы, когда изгибные жесткости всех стержней (кроме 1-го) равны нулю (рис. 7 а), стержень 1 можно рассматривать отдельно как показано на рис. 7 б. В этом случае по табл. 1 имеем . Тогда ;

3) в состоянии “большой жесткости”, когда изгибные жесткости всех стержней (кроме 1-го) равны бесконечности (рис. 7 в), стержень 1 можно рассматривать отдельно как показано на рис. 7 г. По табл. 1 принимаем . Тогда, ;

4) в действительности жесткость 1-го стержня находится в интервале от нуля до бесконечности. Следовательно, искомый корень уравнения устойчивости находится между найденными крайними величинами, т. е.

.

Теперь уточним его. Это удобно проводить в следующей табличной форме (значения специальных функций берутся из табл. 4):

🔥 Видео

расчет рамы на устойчивость методом перемещений (линейное перемещение) / строительная механикаСкачать

Строительная механика. Расчет рамы методом перемещений. Часть 1.Скачать

Расчет плоских статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений (1 часть)Скачать

С.М. Задача №8.3 (начало) расчёт рам на устойчивость методом перемещенийСкачать

С.М. Задача №8.4 Расчёт на устойчивость рам методом перемещенийСкачать

Расчет рамы методом перемещений. СтроймехСкачать

С.М. Расчёт рам на устойчивость методом перемещений. Задача № 8.3 (продолж. )Скачать

РАСЧЁТ РАМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬСкачать

С.М. Задача №8.2 (начало) Расчёт на устойчивость методом перемещений.Скачать

Устойчивость. Метод перемещений - 2.Скачать

Расчет плоских статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений (3 часть)Скачать

Расчет рамы методом перемещенийСкачать

С.М. Задача №8.2 (продолжение) расчет на устойчивость методом перемещений на примереСкачать

Расчет рамы на устойчивость. Определение критической силы FкрСкачать