Разделы: Математика
Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.
Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.
- систематизация знаний учащихся;
- выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
- формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
- осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
- развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.
Урок рассчитан на два учебных часа.
- Ход урока
- Уравнение с параметром единственное решение. Линейные уравнения с параметром
- Решение
- Решение
- Решение
- Решение
- Дидактический материал
- Квадратные уравнения с параметром
- Дидактический материал
- Показательные уравнения с параметром
- Дидактический материал
- Логарифмические уравнения с параметром
- Квадратные уравнения с параметром
- Исследование квадратного многочлена
- Задачи с параметром
- 🎥 Видео
Ход урока
- Организационный момент
Сообщение темы, целей и задач урока.
- Актуализация опорных знаний учащихся
Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений
а) 
б) 
в) 
графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая
Ответы: 
Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.
В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: 
.
Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.
Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:
- если
(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как ), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение
(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как 
), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение
- если то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет
то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет
- если то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений
то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений
К каждому случаю полезно выполнить рисунок.
Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.
Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.
Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений
- Система имеет единственное решение, если
В этом случае имеем
- Если а = 0, то система принимает вид
Система несовместна, т.е. решений не имеет.
- Если то система запишется в виде
Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; 
где t-любое действительное число.
- при система имеет единственное решение
- при а = 0 — нет решений;
- при а = 3 — бесконечно много решений вида где t R
система имеет единственное решение 
где t Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений
- имеет единственное решение;
- имеет множество решений;
- не имеет решений?
- система имеет единственное решение, если
- подставим в пропорцию значение а = 1, получим , т.е. система имеет бесконечно много решений;
- при а = -1 пропорция примет вид: . В этом случае система не имеет решений.
значение а = 1, получим 
, т.е. система имеет бесконечно много решений;
. В этом случае система не имеет решений.- при система имеет единственное решение;
- при система имеет бесконечно много решений;
- при система не имеет решений.
система имеет единственное решение;
система имеет бесконечно много решений;
система не имеет решений.Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система
имеет бесчисленное множество решений.
Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если 
То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.
- Закрепление изученного в ходе решения задач
- № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений
- № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений
- При каких значениях параметра a система уравнений
а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.
Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений
- Практическая работа в группах
Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.
Карточка. Решите систему линейных уравнений
при всех значениях параметра а.
Ответ: при 
система имеет единственное решение 
; при 
нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t 
R
Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.
Отчет группы, первой верно выполнившей задание
Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.
- При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
- При каком значении p система не имеет решений?
имеет бесконечно много решений?
не имеет решений?- При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
- При каком значении p система не имеет решений?
имеет бесконечно много решений?
не имеет решений?- Итоги урока
Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.
При решении следует помнить:
- для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
- чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
- и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.
Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.
При каких значениях параметра b система уравнений 
- имеет бесконечно много решений;
- не имеет решений?
Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.
- Найдите b и k,
- найдите координаты точки пересечения этих графиков.
Решите систему уравнений 
при всех значениях m и n.
Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).
- Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
- Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
- Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
- Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
- Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать
Уравнение с параметром единственное решение. Линейные уравнения с параметром
Время на чтение: 24 минут
При каких значениях параметра $a$ неравенство $-x^2 + (a + 2)x — 8a — 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение?
Решение
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при $x^2$:
$-x^2 + (a + 2)x — 8a — 1 > 0 quad Leftrightarrow quad x^2 — (a + 2)x + 8a + 1 0$. Квадратный трехчлен $a^2 — 28a$ имеет два корня: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Поэтому неравенству $a^2 — 28a > 0$ удовлетворяют промежутки $a in (-infty; 0) cup (28; + infty)$.
Ответ. $a in (-infty; 0) cup (28; + infty)$.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ имеет хотя бы один корень, и при этом все корни положительны?
Решение
Пусть $a=2$. Тогда уравнение принимает вид $ — 4x +5 = 0$ , откуда получаем, что $x=dfrac$ — положительный корень.
Пусть теперь $ane 2$. Получается квадратное уравнение. Определим сначала, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:
$ D = 4a^2 — 4(a-2)(a+3) = -4a+24geqslant 0Leftrightarrow aleqslant 6.$
Корни по условию должны быть положительны, следовательно, из теоремы Виета получаем систему:
$ beginx_1 + x_2 = dfrac>0,\ x_1x_2 = dfrac> 0,\aleqslant 6end quad Leftrightarrow quad beginain(- infty;0)cup(2; +infty), \ ain(- infty;-3)cup(2; +infty), \ ain(-infty;6] endquadLeftrightarrow quad ain(-infty;-3)cup(2;6]. $
Объединяем ответы, получаем искомое множество: $ain(-infty;-3)cup$.
При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 4ax + 5 leqslant 0$ не имеет решений?
Решение
- Если $a = 0$, то данное неравенство вырождается в неравенство $5 leqslant 0$ , которое не имеет решений. Поэтому значение $a = 0$ удовлетворяет условию задачи.
- Если $a > 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства — парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим $dfrac= 4a^2 — 5a$. Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней ($D 0$ и $y(1) > 0$.
Случай I. Пусть $a > 0$. Тогда
$left< begin y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3 0 end right. quad Leftrightarrow quad left< begin a>-1 \ a>3 \ a>0 end right.quad Leftrightarrow quad a>3.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a > 3$.
Cлучай II. Пусть $a 0 \ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3>0 \ a 0$, то есть эта функция на данном промежутке неограниченно возрастает.
Рассмотрим теперь промежуток $x 0 quad Leftrightarrow quad |9-|3+a|| 0$. Тогда первоначальное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2-3t+a-1 =0$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный.
Дискриминант уравнения равен: $D = 13-4a$. Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при $a = dfrac$. При этом корень $t=dfrac > 0$, поэтому данное значение $a$ подходит.
Если есть два корня, один из которых положителен, другой — неположителен, то $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ и $x_1x_2 = a — 1 leqslant 0$.
То есть $ain(-infty;1]$
Найдите все значения параметра $a$, при которых система
имеет ровно два решения.
Решение
Преобразуем систему к следующему виду:
$ begin log_a y = (2x-x^2)^2, \ y = 2x-x^2. end $
Поскольку параметр $a$ находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: $a>0$, $a ne 1$. Поскольку переменная $y$ является аргументом логарифма, то $y > 0$.
Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: $log_a y = y^2$. В зависимости от того, какие значения принимает параметр $a$, возможны два случая:
- Пусть $0 0$. Из поведения графиков очевидно, что корень уравнения один, при этом он меньше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения, в силу того что дискриминант уравнения $ x^2-2x+y = 0$ при $0 1$. В этом случае функция $f(y)=log_a y leqslant 0$ при $y 0$ при тех же $y$. Значит, если решения и есть, то только при $y > 1$, но второе уравнение системы решений иметь не будет, так как дискриминант уравнения $x^2 — 2x + y = 0$ при $y > 1$ отрицателен.
Рассмотрим случай, когда $a > 1$. Так как при больших по модулю значениях $t$ график функции $f(t) = a^t$ лежит выше прямой $g(t) = t$, то единственная общая точка может быть только точкой касания.
Пусть $t_0$ — точка касания. В этой точке производная к $f(t) = a^t$ равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того, значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система:
$ begin a^ln a = 1, \ a^ = t_0 end quad Leftrightarrow quad begin a^ = dfrac, \ a^ = tau end $
$ a^<frac>ln a = 1 quad Leftrightarrow quad a^ =frac quad Leftrightarrow quad a = e^<frac>. $
При этом других общих точек у прямой и показательной функции очевидно нет.
Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .
Дидактический материал
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
х = 
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
По условию х 1 0
| В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0 | а 6 а > — 1 а > 5/9 |  Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение. Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
Дидактический материал
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень? 3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней? 4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0? 5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень? Показательные уравнения с параметромПример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение 9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня. Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение 3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2) Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 0, или |log 3 а| > 2. Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а 9. Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения? Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = > а – положительное число. Дидактический материал1. Найти все значения а, при которых уравнение
2. При каких значениях а уравнение
3. При каких значениях параметра а уравнение
Логарифмические уравнения с параметромПример 1. Найти все значения а , при которых уравнение log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1) имеет единственное решение. Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению Не выполняется (2) условие из (3). Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990 В последние годы на вступительных экзаменах, на итоговом тестировании в форме ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Эти задачи позволяют диагностировать уровень математического и, главное, логического мышления абитуриентов, способность осуществлять исследовательскую деятельность, а также просто знание основных разделов школьного курса математики. Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр “равен в правах” с переменной, то ему, естественно, можно “выделить” и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – “метод областей”. Наряду с другими методами, применяемыми при решении задач с параметрами, я знакомлю своих учеников и с графическими приёмами, обращая внимание на то, как распознать “такие” задачи и как выглядит процесс решения задачи. Самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод: Задача 1. “При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?” Решение. 1). Раскроем модули с учётом знака подмодульного выражения: 2). Запишем все системы получившихся неравенств: а) б) г) 3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств (рис.1а). 4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол. На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если . Ответ: при . Рассмотренный пример представляет собой “открытую задачу” — можно рассмотреть решение целого класса задач, не изменяя рассмотренное в примере выражение Задача. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? Ответ: при . Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения. Ответ: , тогда Тогда Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень. Ответ: при при . Задача. Решите неравенство . (“Работают” точки, лежащие внутри парабол). Задача 2.Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система неравенств Решение. Перепишем исходную систему в таком виде Все решения этой системы (пары вида ) образуют некоторую область, ограниченную параболами Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при . Ответ: ; . Задача 3.Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство:
Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем: Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале Это возможно при , т.е. при . Ответ: . Задача 4.Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и .
Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3). 1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию. 2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда . Ответ: . Задача 5. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:
, Из последнего неравенства следует: 1) Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4). а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4. б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: . Ответ: . Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение: , 1) Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5). Очевидно, что условие задачи выполняется, если Задача 7. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства 1+ Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра: 2). Перепишем неравенство в виде
1) 2) С учётом ОДЗ решения систем выглядят так: а) а) Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Ответ: . Задача 8. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий. Решение. I. Найдём все решения неравенства
а). ОДЗ: б). На ОДЗ неравенство 1). 2). Очевидно, решением неравенства II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком (рис. 8 , где — первый член, — второй и т.д.). Заметим, что: Или имеем систему линейных неравенств: То, .. Первый, второй и шестой члены этой прогрессии являются решениями неравенства К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра. Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения: у = kx, где x, y – переменные, k – параметр; у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр; аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр. Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем). Задачи с параметром можно условно разделить на два типа: а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя. б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется. Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром. Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая: 1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число; 2) -6а = 3а в случае, когда а = 0; 3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0. Решение и будет являться ответом. Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной. При решении таких уравнений могут быть случаи: 1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k. 2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет. 3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число. Алгоритм решения такого типа уравнений: 1. Определить «контрольные» значения параметра. 2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте. 3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте. 4. Записать ответ можно в следующем виде: 1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …; 2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет. Решить уравнение с параметром |6 – x| = a. Легко видеть, что здесь a ≥ 0. По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х: Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0. Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х. Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0 Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2. В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1. В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число. Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2. Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х. Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число. Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а. Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1) Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1. Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто. Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a? Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) . На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них. Ответ: корней у уравнения не будет, если а 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 1. На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1. Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а? График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) . Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня. Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром? сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. 1. Задача. 1. Решение. 1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О . 2. Задача.
3. Задача. 3. Решение. 4. Задача. 4. Решение. 5. Решение. 6. Задача (10 кл.) Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать  Квадратные уравнения с параметромУравнение называется квадратным, если имеет вид (ax^2+bx+c=0,) где (a,b,c) — любые числа ((a≠0)). При этом надо быть внимательным, если (a=0), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при (x^2) и рассматривать 2 случая: (a=0) (линейное уравнение); (a≠0) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета. Видео:6. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙСкачать  Исследование квадратного многочленаЧтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:
В итоге получаем: если (a*f(γ) 0), то (γ∉(x_1,x_2)). Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0 0, \x_0 При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня? 1 случай: Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень. 2 случай: Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac.$$ С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac;0)∪(0;+∞)). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется): Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку ([-2;2]). 1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]). 2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия: Подставляем полученные выражения в систему: Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать  Задачи с параметром1. Задача. 1. Решение. 1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О . 2. Задача.
2. Ответ:
3. Задача. 3. Решение. 4. Задача. 4. Решение.
Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют. 4. Ответ: a О (- Ґ ,1]. 5. Задача (9 кл.)
имеет ровно два решения? 5. Решение. 6. Задача (10 кл.)
6. Решение.
6. Ответ: a О [2; Ґ ). 7. Задача (10 кл.)
7. Решение. 🎥 Видео#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать  5. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ КОРЕНЬ, РАВНЫЙ ЧИСЛУ ... ?Скачать  №16 Задачи с параметром. ЕГЭ. Задание 18. При каких значениях параметра А система уравнений...Скачать  Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать  При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать  #75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать  Система не имеет решений | система координат с параметром | Параметр 5 | mathus.ruСкачать  ✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать  При каких значениях параметра а уравнение имеет 4 решенияСкачать  Какое неравенство не имеет решений #shortsСкачать  Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать  311 Алгебра 9 класс. При каких значениях t Уравнение не имеет корнейСкачать  Параметр | При каких значениях параметра решение неравенства принадлежит отрезку| Задача 17 ЕГЭ 2022Скачать  Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать  Все уравнения с параметром на РешуЕГЭ. Тотальный разбор 17 номера ЕГЭ по математикеСкачать  Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать  |
в) 
, в которых технические трудности построения графиков уже преодолены.
, 
;
; , тогда 
, .
образует на числовой прямой отрезок длины 1.
и 
(рис 1). 
содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не имеющие общих точек.
, ,
(1)
содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7.
, ,
; последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
содержит число 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.
, ,
.
2) 
содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.
. Из последнего неравенства следует:
2) 
. Ответ: .
содержится в некотором отрезке длиной 1 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5.
, 
,
(1). Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:
б) 
б) 
, а остальные
, т.е.
(учли в решении, что функция возрастает на ).
равносильно неравенству 
, т.е. 
, что даёт:
.
решим её графическим способом. Строим прямые и , а также прямые
, а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений разности этой прогрессии.
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.