При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

Задание №202

Видео:№16 Задачи с параметром. ЕГЭ. Задание 18. При каких значениях параметра А система уравнений...Скачать

№16 Задачи с параметром. ЕГЭ. Задание 18. При каких значениях параметра А система уравнений...

Условие

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений имеет ровно два решения.

Видео:При каких положительных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решениеСкачать

При каких положительных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение

Решение

Заметим, что если пара (x_0;y_0) — решение системы, то пары (-x_0;-y_0), (y_0;x_0), (-y_0;-x_0) также являются решениями этой системы. Пары (x_0;y_0) и (-x_0;-y_0) различны, так как в противном случае пара (0;0) была бы решением системы, а это не так (иначе из первого уравнения 2a=0, a=0, и второе уравнение не обращается в верное равенство при x=y=0 ). Рассуждая аналогично, получим, что пары (y_0;x_0) и (-y_0;-x_0) тоже различны.

Система имеет два решения, если совпадают пары (x_0;y_0) и (y_0;x_0) или совпадают пары (x_0;y_0) и (-y_0;-x_0) , то есть либо выполняется равенство x_0=y_0 , либо выполняется равенство x_0=-y_0 .

Если x_0=y_0 , то исходная система уравнений примет вид:

Эта система несовместна, так как равенство a=a-frac неверно.

Если x_0=-y_0 , то исходная система уравнений примет вид:

При a=frac исходная система уравнений принимает вид:

Умножая второе уравнение на 2 и складывая результат с первым уравнением системы, получим равносильную систему

beginx^2+y^2=frac,\ (x+y)^2=0 ,endenspace откуда enspacebegin2x^2=frac,\ x=-y .end

Эта система имеет два решения left(frac;-fracright) и left(-frac;fracright) , значит, действительно, a=frac — единственное значение параметра, при котором система имеет ровно два решения.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

  • систематизация знаний учащихся;
  • выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
  • формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
  • осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
  • развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

  1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

  1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияб) При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияв) При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Ответы: При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: При каких параметрах а система уравнений имеет два решения.

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  1. если При каких параметрах а система уравнений имеет два решения(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как При каких параметрах а система уравнений имеет два решения), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  1. если При каких параметрах а система уравнений имеет два решениято прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  1. если При каких параметрах а система уравнений имеет два решениято прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  1. Система имеет единственное решение, если

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

В этом случае имеем

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  1. Если а = 0, то система принимает вид

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

  1. Если то система запишется в виде

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; При каких параметрах а система уравнений имеет два решениягде t-любое действительное число.

  • при При каких параметрах а система уравнений имеет два решениясистема имеет единственное решение При каких параметрах а система уравнений имеет два решения
  • при а = 0 — нет решений;
  • при а = 3 — бесконечно много решений вида При каких параметрах а система уравнений имеет два решениягде t При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияR

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  • имеет единственное решение;
  • имеет множество решений;
  • не имеет решений?

  • система имеет единственное решение, если При каких параметрах а система уравнений имеет два решения
  • подставим в пропорцию При каких параметрах а система уравнений имеет два решениязначение а = 1, получим При каких параметрах а система уравнений имеет два решения, т.е. система имеет бесконечно много решений;
  • при а = -1 пропорция примет вид: При каких параметрах а система уравнений имеет два решения. В этом случае система не имеет решений.

  • при При каких параметрах а система уравнений имеет два решениясистема имеет единственное решение;
  • при При каких параметрах а система уравнений имеет два решениясистема имеет бесконечно много решений;
  • при При каких параметрах а система уравнений имеет два решениясистема не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

  1. Закрепление изученного в ходе решения задач
  1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  1. При каких значениях параметра a система уравнений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

  1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

при всех значениях параметра а.

Ответ: при При каких параметрах а система уравнений имеет два решениясистема имеет единственное решение При каких параметрах а система уравнений имеет два решения; при При каких параметрах а система уравнений имеет два решениянет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияR

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

  1. При каком значении k система При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияне имеет решений?

  1. При каком значении k система При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияне имеет решений?
  1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

  1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
  2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
  3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

При каких значениях параметра b система уравнений При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

  • имеет бесконечно много решений;
  • не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

  • Найдите b и k,
  • найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений При каких параметрах а система уравнений имеет два решенияпри всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

  • При каких параметрах а система уравнений имеет два решения
  • При каких параметрах а система уравнений имеет два решения
  • При каких параметрах а система уравнений имеет два решения
  1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
  2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
  3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
  4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
  5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin mathrm & 1 \ 1 & mathrm end= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
( mathrm ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ mathrm<a^2=2Rightarrow a=pmsqrt> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm<R=|a+1|=OA=sqrt>. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm<|a+1|=sqrtRightarrow a+1=pmsqrtRightarrow a_=-1pmsqrt>. )

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение. $$ left< begin mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. & \ mathrm & endright. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При каких параметрах а система уравнений имеет два решения

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:( mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & endright. )

🎬 Видео

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 класс

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложения

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?Скачать

При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решенияСкачать

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat  Золотой Медалист по бегу)

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.

Система уравнений Тема2 Исследование решений системных уравнений.Скачать

Система уравнений Тема2 Исследование решений системных уравнений.

Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Исследование систем линейных уравнений на совместность

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

Математика | Параметр. Система уравнений с параметром
Поделиться или сохранить к себе: