Преобразование уравнений с примерами решений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

• Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
• Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) — ни одно из них не имеет корней.
• А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).

Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt=sqrt+3)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

(↑) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида (a^=a^) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Решение уравнений через преобразования

В этой статье мы подробно и всесторонне разберем, как осуществляется решение уравнений через проведение преобразований. Сначала расскажем, в чем суть метода. Дальше перечислим преобразования уравнений, которые используются при решении. Обязательно обговорим, на что стоит обращать особое внимание при проведении преобразований. В заключение рассмотрим решения примеров.

Видео:8 класс, 4 урок, Преобразование алгебраических выраженийСкачать

Суть метода

Суть метода решения уравнений через преобразования состоит в использовании преобразований уравнения для построения цепочки равносильных уравнений и уравнений-следствий с целью получения достаточно простого в плане решения конечного уравнения, по решению которого можно найти решения исходного уравнения.

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Алгоритм

Схематично процесс решения уравнения через преобразования можно представить следующим образом. Исходное уравнение, обозначим его (1), преобразуется в равносильное уравнение или уравнение-следствие (2). Оно преобразуется в равносильное уравнение или уравнение-следствие (3). И так далее до уравнения (n), которое мы в состоянии решить.

Понятно, что если все преобразования равносильные, то уравнение (n) равносильно исходному уравнению (1), и решение уравнения (n) является интересующим нас решением исходного уравнения (1). Если же хотя бы для одного из переходов используется преобразование, которое в общем случае не является равносильным, то уравнение (n) является уравнением-следствием для исходного. Это означает, что среди корней уравнения (n) могут быть корни, посторонние для исходного уравнения (1). Избавиться от них позволяет отсеивание посторонних корней.

Приведенная информация позволяет записать алгоритм решения уравнений через преобразования:

• Выстроить цепочку равносильных уравнений и уравнений-следствий до уравнения, которое мы в состоянии решить.
• Решить полученное уравнение.
  • Если все преобразования были равносильными, то полученное решение является искомым.
  • Если среди проведенных преобразований были такие, которые в общем случае не являются равносильными, то провести отсеивание посторонних корней.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Какие преобразования используются? Список

Все основные преобразования, которые используются при решении уравнений, подробно описаны в этой статье. Здесь мы просто перечислим их в виде списка:

• Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.
  • Перестановка местами слагаемых и множителей.
  • Раскрытие скобок.
  • Группировка слагаемых и/или множителей.
  • Вынесение за скобки общего множителя.
  • Замена числовых выражений их значениями.
  • Выполнение действий с одночленами и многочленами.
  • Приведение подобных слагаемых.
  • Сокращение дробей.
  • Замена нулем произведений с нулевыми множителями и дробей с нулем в числителе.
  • Использование тождеств, отражающих определения и свойства корней, степеней, логарифмов, тригонометрических функций и т.п.
• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.
• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.
• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.
• Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень.
• Освобождение от внешней функции.
• Извлечение корня одной и той же степени из обеих частей уравнения.
• Логарифмирование.
• Потенцирование.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

На что обращать особое внимание при проведении преобразований?

На ОДЗ

При проведении преобразований необходимо держать под контролем ОДЗ. Зачем? Сейчас мы с этим разберемся.

ОДЗ при переходе от одного уравнения к другому может оставаться неизменной, расширяться или сужаться. Приведем примеры. В результате перехода от уравнения 4·x=x+3 к уравнению 4·x−x=3 ОДЗ не изменяется. Переход от уравнения 1/x−1/x+x 2 =0 к уравнению x 2 =0 сопровождается расширением ОДЗ с множества (−∞, 0)∪(0, +∞) до множества всех действительных чисел R . А преобразование уравнения lgx 2 =2 к виду 2·lgx=2 сопровождается сужением ОДЗ: для исходного уравнения ОДЗ есть множество (−∞, 0)∪(0, +∞) , а для полученного — (0, +∞) . Ну и что с того? А вот что: за счет расширения ОДЗ могут появиться корни, посторонние для исходного уравнения, а сужение ОДЗ может быть причиной потери корней. Для иллюстрации сказанного вновь обратимся к приведенным примерам. При переходе от уравнения 1/x−1/x+x 2 =0 к уравнению x 2 =0 появляется корень x=0 , посторонний для исходного уравнения. А в результате замены уравнения lgx 2 =2 уравнением 2·lgx=2 происходит потеря корня x=−10 .

В расширении ОДЗ при преобразовании уравнений нет ничего особо страшного – просто после решения последнего уравнения цепочки равносильных уравнений и уравнений-следствий необходимо позаботиться об отсеивании корней, посторонних для исходного уравнения.

А вот от преобразований, в результате проведения которых сужается ОДЗ, необходимо отказаться. Точнее, от них стоит отказываться лишь тогда, когда ОДЗ сужается на множество, содержащее бесконечное количество элементов. Преобразования, в результате проведения которых из ОДЗ выпадает некоторое конечное количество чисел, допустимы. Для их проведения достаточно отдельно проверить выпадающие из ОДЗ числа на предмет того, какие из них являются корнями решаемого уравнения. Типичным таким преобразованием является деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Подробнее об этом мы поговорим в статье «Как избежать потери корней при решении уравнений».

Итак, контролировать ОДЗ нужно, чтобы при проведении преобразований не терять корни, и понимать, когда необходимо проводить отсеивание посторонних корней, а когда это действие необязательно.

На тождественность

При проведении преобразований, заключающихся в замене выражений тождественно равными выражениями, нужно очень внимательно следить за тем, чтобы выражения были именно тождественно равными. Зачем? Это гарантирует, что уравнение, полученное в результате проведения преобразования, равносильно исходному уравнению или является его следствием. Замена выражения не тождественно равным ему выражением не гарантирует получение равносильного уравнения или уравнения-следствия, а это означает, что по корням полученного уравнения невозможно будет сделать вывод о корнях исходного уравнения.

Для примера возьмем уравнение . Его можно решить, например, методом возведения обеих частей в квадрат. Указанный метод позволяет найти единственный корень этого уравнения: . А теперь давайте допустим, что нам захотелось решить это уравнение через преобразования, и мы сделали это так:

Что мы сделали не так? Мы ошиблись в самом первом преобразовании – в замене выражения x+3 выражением . А дело здесь в том, что выражения x+3 и не являются тождественно равными. Действительно, их значения различны при x+3 . В результате мы получили неправильное решение.

На необходимость отсеивания посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в четную степень

Решение уравнений, особенно иррациональных, может проводиться через преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Это преобразование детально разобрано в статье «Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень». Там обосновано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень является равносильным преобразованием, а возведение в одну и ту же четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Из этого следует, что при решении уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень нужно обязательно позаботиться об отсеивании посторонних корней.

Обратимся к уравнению для наглядности. Его решение можно получить, если прибегнуть к возведению обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование позволяет перейти к уравнению . Одним из корней полученного уравнения является число −3/2 , в чем легко убедиться, выполнив проверку подстановкой. Но −3/2 – это посторонний корень для исходного уравнения , так как его подстановка дает неверное равенство 5/2=−5/2 . Этот посторонний корень появляется из-за проведенного нами преобразования – из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, в нашем случае в квадрат. Действительно, возведение в квадрат из неверного равенства 5/2=−5/2 делает верное (5/2) 2 =(−5/2) 2 .

Итак, при использовании преобразования, которое заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, нельзя упускать из внимания необходимость отсеивания посторонних корней.

На условия, при которых возможно проведение отдельных преобразований

Некоторые преобразования уравнений можно проводить лишь при выполнении определенных условий. В пример приведем преобразование, заключающееся в освобождении от внешней функции. Для его проведения нужно, чтобы функция принимала каждое свое значение только по одному разу (в частности, была возрастающей или убывающей). Если это условие не выполняется, то указанное преобразование уравнения может привести к потере корней. Продемонстрируем это, обратившись к уравнению (x+3) 12 =(2·x−6) 12 . Освобождение от внешней функции возведения в двенадцатую степень приводит к уравнению x+3=2·x−6 , единственным корнем которого является x=9 . При таком переходе происходит потеря корня x=1 . Причина этого кроется в игнорировании условия, при котором возможно освобождение от внешней функции.

Помимо отбрасывания внешней функции, выполнения определенных условий требуют следующие преобразования:

• извлечение корня из обеих частей уравнения,
• логарифмирование,
• потенцирование.

Так что прежде чем провести задуманное преобразование уравнения, надо обратить пристальное внимание условия, при которых это преобразование можно осуществить. И только если они выполнены или преобразование не требует выполнения никаких особых условий, то можно смело его проводить.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Примеры решения уравнений

Метод решения уравнений через преобразования для некоторых видов уравнений является основным. Например, через преобразования решаются любые линейные уравнения с отличным от нуля коэффициентом при x . Так решение уравнения 2·x−1=0 можно представить в виде следующей цепочки уравнений, получающейся в результате проведения преобразований:
2·x−1=0 ,
2·x=1 (перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком),
(2·x):2=1:2 (деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число 2 ),
2·x:2=1:2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате раскрытия скобок),
2:2·x=1:2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате перестановки местами множителей),
1·x=1/2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате замены числовых выражений их значениями),
x=1/2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением).

Понятно, что так подробно преобразования уравнений никто не расписывает. Многие преобразования проводятся в уме. Но рекомендуем не увлекаться с устными преобразованиями. Целесообразно проводить в уме только самые простые преобразования, остальные лучше делать на бумаге. Так лучше прослеживается логика решения, а вероятность сделать ошибку при проведении преобразований снижается.

Часто метод решения уравнений через преобразования используется совместно с другими методами решения уравнений. Например, решение уравнения может начинаться с преобразований, дальше может вводиться новая переменная, уравнение с новой переменной может решаться через преобразования, а полученные после возврата к старой переменной уравнения могут решаться функционально-графическим методом.

Другие примеры решения уравнений через преобразования Вы без труда найдете, побродив по статьям раздела «Решение уравнений».

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

📺 Видео

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Преобразование рациональных выражений. Тренировка. Алгебра 8 классСкачать

Преобразование логарифмических выраженийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Составление уравнений химических реакций. 1 часть. 8 класс.Скачать