Показательные уравнения их применение в жизни (3 видео)

Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВасилий Амплеев

Содержание

Похожие презентации
Презентация на тему: » Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной.» — Транскрипт:
Показательные уравнения их применение в жизни
Показательная функция в жизни человека.
Просмотр содержимого документа «Показательная функция в жизни человека.»
📽️ Видео

Презентация на тему: » Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной.» — Транскрипт:

2 Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной функции: y=a x, где а0, а 1, хR. Показательная функция y=a x встречается в самых различных областях науки – в физике, химии, биологии, экономике.

4 О себе показательная функция говорит так:

5 Показательная функция в жизниПоказательная функция в жизни 1. Рост древесины происходит по закону:, где А — изменение количества древесины во времени; A 0 — начальное количество древесины; t – время; k, a – некоторые постоянные.

6 Давление воздуха убывает с высотой по закону:, где Р – давление на высоте h; P 0 — давление на уровне моря; a – некоторые постоянные.

7 Рост количества бактерий происходит по закону:, где N – число колоний бактерий в момент времени t; t – время размножения. N=5 t

8 Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой:, где N 0 — первоначальное количество вещества; Т½ — период полураспада.

9 Опишем более полно одно из важнейших физических явлений, которое связано с показательной функцией в жизни, — радиоактивный распад. После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов. Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина тех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана – 238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия – 1620 лет, а для полония – 84 период полураспада равен всего 1,5· сек. Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени пТ остается (½) n — я доля этого вещества. Иными словами, если в начале количество вещества равнялось М, то через промежуток времени t=пТ его останется m=M (½) t/T. Из этой формулы вытекает, что за лет, т.е. за тысячу периодов полураспада радия, его количество уменьшается в раз, т.е. более чем в раз. Если бы даже вся наша Галактика Состояла из атомов радия, то их число все равно было бы неизмеримо меньше, чем , и потому за лет весь радий распался бы. Не следует делать из сказанного вывод, что Галактика существует меньше полутора миллионов лет – время ее существования исчисляется миллиардами лет. Дело в том, что радий все время появляется в ходе распада урана – 238, а за все время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

10 5. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону. Сейчас многие бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся приборы. Их спускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие – трос разрывается, и все ценные приборы оказываются погребенными на дне моря. Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение – верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, потому что при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка. Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна меняться толщина троса для того, чтобы в любом его сечении на 1 см 2 приходилась одна и та же нагрузка?

11 Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться по следующему закону:, где S 0 — площадь его нижнего сечения; S – площадь сечения на высоте х от нижнего сечения» У – удельный вес материала, из которого сделан трос; Р – вес в воде опускаемого груза. Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыва. Он имеет меньшую массу, чем трос постоянного сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

12 6. Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: Т=Т 0 + (100-Т 0 )е -kt. Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей и при падении тела с парашютом

13 7. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света l определяется по формуле: l=l 0 e -ks, где S – толщина слоя; K – коэффициент, Характеризующий мутную среду

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения их применение в жизни

Целью моей работы является исследование сфер применения показательной функции.

Объект исследования: показательная функция.

Показательная функция часто применяется в физике, химии, биологии, географии, экономике и иных науках.

Рост количества бактерий, концентрация адреналина в крови, способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, восстановление концентрации гемоглобина в крови, рост количества древесины, количество радиоактивного вещества, изменение количества населения – все это измеряется по законам показательной функции.

В жизни нередко приходиться встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине. В этом случает рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид y=y0ax

Практическая значимость работы заключается в том, что она позволяет объективно оценить значимость показательной функции, основываясь на рассмотренных фактах, раскрывая особенности применения показательной функции в современной жизни человека.

Материал исследовательской работы может быть использован в форме презентации для выступления различных публичных мероприятиях, в школе; для публикации в печатных изданиях (в научно-популярной литературе), размещения данных о проекте на сайте нашей школы и других сайтах определенной тематики.

Данная работа состоит из следующих этапов:

Подбор, изучение, анализ информации о функциях, в частности, показательной функции.

Анкетирование с целью узнать, насколько люди осведомлены о сфере применения показательной функции.

Исследование свойств показательной функции.

Примеры применения показательной функции.

Задачи на показательную функцию.

Доказать, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни;

Расширить знания о показательной функции и методах решения уравнений;

Узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает показательная функция;

Научиться применять полученные знания в нестандартных ситуациях на основе рассмотрения примеров из реальной жизни, при решении практико-ориентированных задач.

2.1 История развития понятия функции.

Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650);

Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

В 1671 году Ньютон (1643- 1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»). Исаак Ньютон (1643- 1727)

3.1 Аналитическое определение функции.

Само слово «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (1629-1695) (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону).

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)

Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер. «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

Жан Батист Жозеф Фурье4.1 Примеры применения показательной функции

«Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям»

Так утверждал великий ученый, математик Леонард Эйлер. И он был в корне прав, говоря о том, что показательная функция применятся во многих сферах жизни человека.

Кроме того, перед началом исследования, мною был проведен опрос с целью узнать, осведомлены ли люди о том, что такое показательная функция и где она применяется:

В итоге, 72% опрошенных не знают, где применяется данная функция. Но в своем исследовании я решила рассказать, где же используется данная функция.

Приведем примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также как она применяется на практике.

Напомним вид показательной функции: у=а х , где а>0, а≠1, x Є R. Показательная функция встречается в самых различных областях науки — в физике, химии, биологии, экономике.

A-изменение количества древесины во времени; A₀-начальное количество древесины; t-время; k, а — некоторые постоянные.

2. Давление воздуха убывает с высотой по закону P=P₀*a -kh , где P- давление на высоте h, P₀ — давление на уровне моря, а- некоторая постоянная.

Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются и в биологии.

3. Рост количества бактерийпроисходит по закону N=5 t , где N-число колоний бактерий в момент времени t;

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Также вспомним что, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

4. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t,

описывается формулой , где No – первоначальное количество вещества,

T_1/2– период полураспада.

5. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону.

Сейчас многие моря и океаны бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся приборы. Их опускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие — трос разрывается и все ценные приборы оказываются погребенными на дне моря.

Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение — верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, а потому при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка.

Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна меняться толщина троса для того, чтобы в любом его сечении на 1 см2 приходилась одна и та же нагрузка?

Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться по следующему закону: , где

So — площадь его нижнего сечения,

S — площадь сечения на высоте х от нижнего сечения,

γ — удельный вес материала, из которого сделан трос,

Р — вес в воде опускаемого груза (нам пришлось написать в формуле γ — 1 вместо γ, так как и материал троса теряет в воде вес по закону Архимеда).

Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыву.

6. Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой:

Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1,где k — число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

7. При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.

8. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле: I = I₀e -ks , где

s – толщина слоя;

k – коэффициент, характеризующий мутную среду

В ходе проведения исследований данного материала, анализа информации, моя гипотеза о том, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни, подтверждена.

Также мы расширили знания о показательной функции, изучили свойства показательной функции, узнали многое об истории развития понятия функции.

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

Показательная функция в жизни человека.

Показать применение показательной функции в повседневной жизнина конкретных примерах.

Просмотр содержимого документа
«Показательная функция в жизни человека.»

«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ В ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА»

1 История развития понятия функции.