Перепишите в координатах векторное уравнение движения точки под действием силы тяжести

Движение тела под действием силы тяжести является одной из центральных тем в динамической физике. О том, что раздел динамики базируется на трех законах Ньютона, знает даже обычный школьник. Давайте постараемся разобрать эту тему досконально, а статья, подробно описывающая каждый пример, поможет нам сделать изучение движения тела под действием силы тяжести максимально полезным.

Видео:Дифференциальное уравнение движения материальной точки.Скачать

Немного истории

Испокон веков люди с любопытством наблюдали за различными явлениями, происходящими в нашей жизни. Человечество долгое время не могло понять принципы и устройство многих систем, однако длительный путь изучения окружающего мира привел наших предков к научному перевороту. В наши дни, когда технологии развиваются с неимоверной скоростью, люди почти не задумываются о том, каким образом работают те или иные механизмы.

А между тем наши предки всегда интересовались загадками природных процессов и устройством мира, искали ответы на самые сложные вопросы и не переставали изучать, пока не находили на них ответы. Так, например, известный ученый Галилео Галилей еще в 16 веке задался вопросами: «Почему тела всегда падают вниз, какая же сила притягивает их к земле?» В 1589 году он поставил ряд опытов, результаты которых оказались весьма ценными. Он подробно изучал закономерности свободного падения различных тел, сбрасывая предметы со знаменитой башни в городе Пизе. Законы, которые он вывел, были улучшены и более детально описаны формулами еще одним известным английским ученым — сэром Исааком Ньютоном. Именно ему принадлежат три закона, на которых основана практически вся современная физика.

Тот факт, что закономерности движения тел, описанные более 500 лет назад, актуальны и по сей день, означает, что наша планета подчиняется неизменным законам. Современному человеку необходимо хотя бы поверхностно изучить основные принципы обустройства мира.

Видео:Теоретическая механика. Задание Д1 (часть 2) из сборника ЯблонскогоСкачать

Основные и вспомогательные понятия динамики

Для того чтобы полностью понять принципы подобного движения, следует сначала ознакомиться с некоторыми понятиями. Итак, самые необходимые теоретические термины:

• Взаимодействие — это воздействие тел друг на друга, при котором происходит изменение или начало их движения относительно друг друга. Различают четыре вида взаимодействия: электромагнитное, слабое, сильное и гравитационное.
• Скорость — это физическая величина, обозначающая быстроту, с которой двигается тело. Скорость является вектором, то есть имеет не только значение, но также и направление.
• Ускорение — та величина, которая показывает нам быстроту изменения скорости тела в промежуток времени. Она также является векторной величиной.
• Траектория пути — это кривая, а иногда — прямая линия, которую очерчивает тело при движении. При равномерном прямолинейном движении траектория может совпадать со значением перемещения.
• Путь — это длина траектории, то есть ровно столько, сколько прошло тело за определенное количество времени.
• Инерциальная система отсчета — это среда, в которой выполняется первый закон Ньютона, то есть тело сохраняет свою инерцию, при условии, что полностью отсутствуют все внешние силы.

Вышеуказанных понятий вполне достаточно для того, чтобы грамотно начертить или представить в голове моделирование движения тела под действием силы тяжести.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Что значит сила?

Давайте перейдем к основному понятию нашей темы. Итак, сила — это величина, смысл которой заключается в воздействии или влиянии одного тела на другое количественно. А сила тяжести — это та сила, которая действует абсолютно на каждое тело, находящееся на поверхности или вблизи нашей планеты. Возникает вопрос: откуда же берется эта самая сила? Ответ заключается в законе всемирного тяготения.

Видео:Д1 Дифференциальные уравнения движения материальной точкиСкачать

А что такое сила тяжести?

На любое тело со стороны Земли оказывает влияние гравитационная сила, которая сообщает ему некоторое ускорение. Сила тяжести всегда имеет вертикальное направление вниз, к центру планеты. Иначе говоря, сила тяжести притягивает предметы к Земле, вот почему предметы всегда падают вниз. Получается, что сила тяжести — это частный случай силы всемирного тяготения. Ньютон вывел одну из главных формул для нахождения силы притяжение между двумя телами. Выглядит она таким образом: F = G * (m₁ х m₂) / R 2 .

Видео:Дифференциальные уравнения движения материальной точкиСкачать

Чему равно ускорение свободного падения?

Тело, которое отпустили с некоторой высоты, всегда летит вниз под действием силы притяжения. Движение тела под действием силы тяжести вертикально вверх и вниз можно описать уравнениями, где основной константой будет являться значение ускорения «g». Эта величина обусловлена исключительно действием силы притяжения, и ее значение приблизительно равно 9,8 м/с 2 . Получается, что тело, брошенное с высоты без начальной скорости, будет двигаться вниз с ускорением равным значению «g».

Видео:Дифференциальные уравнения движения точкиСкачать

Движение тела под действием силы тяжести: формулы для решения задач

Основная формула нахождения силы тяжести выглядит следующим образом: F_{тяжести} = m х g, где m — это масса тела, на которое действует сила, а «g» — ускорение свободного падения (для упрощения задач его принято считать равным 10 м/с 2 ).

Есть еще несколько формул, используемых для нахождения того или иного неизвестного при свободном движении тела. Так, например, для того чтобы вычислить пройденный телом путь, необходимо подставить известные значения в эту формулу: S = V₀ х t + a х t 2 / 2 (путь равен сумме произведений начальной скорости умноженной на время и ускорения на квадрат времени, деленной на 2).

Видео:Урок 87. Движение по наклонной плоскости (ч.1)Скачать

Уравнения для описания вертикального движения тела

Движение тела под действием силы тяжести по вертикали можно описать уравнением, которое выглядит так: x = x₀ + v₀ х t + a х t 2 / 2. Используя данное выражение, можно найти координаты тела в известный момент времени. Необходимо просто подставить известные в задаче величины: начальное местоположение, начальную скорость (если тело не просто отпустили, а толкнули с некоторой силой) и ускорение, в нашем случае оно будет равно ускорению g.

Таким же образом можно найти и скорость тела, которое движется под действием силы притяжения. Выражение для нахождения неизвестной величины в любой момент времени: v = v₀ + g х t (значение начальной скорости может быть равным нулю, тогда скорость будет равна произведению ускорения свободного падения на значение времени, за которое тело совершает движение).

Видео:Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | ИнфоурокСкачать

Движение тел под действием силы тяжести: задачи и способы их решений

При решении многих задач, связанных с силой тяжести, рекомендуем воспользоваться следующим планом:

1. Определить для себя удобную инерциальную систему отсчета, обычно принято выбирать Землю, потому как она отвечает многим требованиям к ИСО.
2. Нарисовать небольшой чертеж или рисунок, на котором изображены основные силы, действующие на тело. Движение тела под действием силы тяжести подразумевает набросок или схему, на которой указано, в каком направлении движется тело, если на него действует ускорение, равное g.
3. Затем следует выбрать направление для проецирования сил и полученных ускорений.
4. Записать неизвестные величины и определить их направление.
5. И наконец, используя указанные выше формулы для решения задач, вычислить все неизвестные величины, подставив данные в уравнения для нахождения ускорения или пройденного пути.

Видео:Уравнение движенияСкачать

Готовое решение легкой задачи

Когда речь идет о таком явлении, как движение тела под действием силы тяжести, определение того, каким способом практичнее решать поставленную задачу, может быть затруднительным. Однако есть несколько хитростей, используя которые, можно с легкостью решить даже самое сложное задание. Итак, разберем на живых примерах, как следует решать ту или иную задачу. Начнем с легкой для понимания задачи.

Некоторое тело отпустили с высоты 20 м без начальной скорости. Определить, за какое количество времени оно достигнет поверхности земли.

Решение: нам известен путь, пройденный телом, известно, что начальная скорость была равна 0. Также можем определить, что на тело действует только сила тяжести, получается, что это движение тела под действием силы тяжести, и поэтому следует воспользоваться этой формулой: S = V₀ х t + a х t 2 /2. Так как в нашем случае a = g, то после некоторых преобразований получаем следующее уравнение: S = g х t 2 / 2. Теперь осталось только выразить время через эту формулу, получаем, что t 2 = 2S / g. Подставим известные величины (при этом считаем, что g = 10 м/с 2 ) t 2 = 2 х 20 / 10 = 4. Следовательно, t = 2 с.

Итак, наш ответ: тело упадет на землю за 2 секунды.

Трюк, позволяющий быстро решить задачу, состоит в следующем: можно заметить, что описанное движение тела в приведенной задаче происходит в одном направлении (вертикально вниз). Оно весьма схоже с равноускоренным движением, так как на тело не действует никакая сила, кроме силы тяжести (силой сопротивления воздуха пренебрегаем). Благодаря этому можно воспользоваться легкой формулой для нахождения пути при равноускоренном движении, минуя изображения чертежей с расстановкой действующих на тело сил.

Видео:Движение тела, брошенного под углом к горизонтуСкачать

Пример решения более сложной задачи

А теперь давайте посмотрим, как лучше решать задачи на движение тела под действием силы тяжести, если тело движется не вертикально, а имеет более сложный характер перемещения.

Например, следующая задача. Некоторый предмет массой m движется с неизвестным ускорением вниз по наклонной плоскости, коэффициент трения которой равен k. Определить значение ускорения, которое имеется при движении данного тела, если угол наклона α известен.

Решение: Следует воспользоваться планом, который описан выше. В первую очередь начертить рисунок наклонной плоскости с изображением тела и всех действующих на него сил. Получится, что на него действуют три составляющие: сила тяжести, трения и сила реакции опоры. Выглядит общее уравнение равнодействующих сил так: F_трения + N + mg = ma.

Главной изюминкой задачи является условие наклонности под углом α. При проецировании сил на ось ox и ось oy необходимо учесть данное условие, тогда у нас получится следующее выражение: mg х sin α — F_трения = ma (для оси ох) и N — mg х cos α = F_трения (для оси oy).

F_трения легко вычислить по формуле нахождения силы трения, она равна k х mg (коэффициент трения, умноженный на произведение массы тела и ускорения свободного падения). После всех вычислений остается только подставить найденные значения в формулу, получится упрощенное уравнение для вычисления ускорения, с которым движется тело вдоль наклонной плоскости.

Видео:Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Движение под действием силы тяжести

Подбросим мяч вертикально вверх. Он поднимется на какую-то высоту, после чего упадет вниз.

Земля притягивает мяч, значит на мяч действует нескомпенсированная сила притяжения. Как гласит второй закон Ньютона, скорость мяча из-за этого меняется.

Движение тела под действием силы тяжести, называется свободным падением. Когда тело падает свободно, оно испытывает невесомость.

Для удобства будем рассматривать отдельно свободное движение мяча вверх и, его свободное падение вниз.

Видео:Динамика материальной точки в НИСО. Нелинейное дифференциальное уравнение движенияСкачать

Движение вверх

Рассмотрим рисунок 1. В левой части рисунка — 1а) изображено движение мяча вверх, а в правой – 1б) – движение вниз. Сплошным кружком обозначено начальное положение мяча, а пунктирным – конечное. Красными стрелками обозначена скорость мяча на различных высотах.

При движении вверх скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения и вектор скорости направлены в противоположные стороны (рис. 1а). Движение вверх равнозамедленное.

Выражение для скорости при движении мяча вверх:

Вертикальное перемещение мяча при его движении вверх выражается такой формулой:

В верхней точке траектории скорость мяча будет равна нулю. Эта точка для движения вверх будет конечной, а для движения вниз – начальной.

Поэтому, для движения вверх нулю равна конечная скорость мяча (v_=0), а для движения вниз – его начальная скорость (v_=0).

Видео:Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Часть 1Скачать

Движение вниз

При движении вниз – наоборот, скорость будет увеличиваться, так как векторы скорости и ускорения сонаправлены (рис. 1б). Движение вниз равноускоренное.

Выражение для скорости при движении мяча вниз:

Вертикальное перемещение при движении вниз выражается формулой:

Таким образом, под действием силы тяжести мяч движется по вертикали, меняя свою скорость.

Пока мяч находится в полете, он не давит на опору и не растягивает подвес. Проще говоря, он находится в невесомости (ссылка) – то есть, не имеет веса.

Масса есть всегда, а вес тела (ссылка) может отсутствовать! Кроме того, одна и та же масса в различных ситуациях может обладать разным весом.

Из рисунка 1 так же, следует, что

если тело при падении вернется на уровень, с которого оно стартовало, то:

— скорость, с которой мы подбросим тело, по модулю будет равна скорости, с которой тело упадет ( large left|vec<v_> right|= left|vec<v_> right|) ;

— время подъема равняется времени спуска ( large t_<text> = t_<text> );

Видео:Момент импульса. 10 класс.Скачать

Когда перемещение вверх не равно перемещению вниз

Рассмотрим теперь следующий рисунок. На рисунке 2а представлен случай, когда путь, пройденный вверх больше пути, пройденного при движении вниз. Предположим, мы подбросили мяч вертикально вверх и, он упал на крышу какого-то строения, например, гаража.

В таком случае на подъем потребуется больше времени, чем на спуск

И скорость, с которой мяч подбрасывали вверх будет больше скорости, с которой мяч ударится о крышу

На рисунке 2б путь при движении вверх меньше пути вниз. Такое может быть, если мы заберемся на крышу гаража и, находясь на крыше, подбросим мяч вертикально вверх.

Теперь на спуск мяча до земли потребуется больше времени, чем на подъем

Видео:Лекция. Динамика точкиСкачать

Написать отчет по практике

Движение тела под действием силы тяжести.

Одним из видов равнопеременного движения является движение под действием силы тяжести, которое, независимо от направления движения, происходит с одним и тем же ускорением , направленным вертикально вниз. Для описания этого движения выбирают прямоугольную систему координат и применяют уравнения равнопеременного движения.

Замечание: при решении задач этого раздела принимать g=10м/с2 и силу сопротивления воздуха не учитывать.

Движение по вертикали.

С высоты h=4 м над поверхностью Земли бросили камень вертикально вверх с начальной скоростью V0=10 м/с.. Определить: максимальную высоту, на которую поднимется камень, время полета камня и скорость с которой он упадет на Землю. Определить путь, пройденный телом.

Дано:,.,,,

Выберем начало оси ОХ на поверхности Земли, а саму ось направим вертикально вверх (рис. 22). Время отсчитываем с момента броска тела. Тогда начальная координата тела ,проекция начальной скорости на ось ОХ . Проекция ускорения . Тогда проекции на ось Ох кинематического уравнения движения тела и его скорости имеют вид:, . Определим максимальную высоту подъема Н. В этой точке 1 (самой верхней точке траектории) скорость тела становится равной нулю. Тогда для этого момента времени имеем: , . Исключив из этих уравнений , получим:.

Для определения времени полета и конечной скорости рассмотрим точку 2. Координата этой точки равна нулю, а проекция скорости отрицательна: , . Тогда , .

Из квадратного уравнения для имеем два корня:. Поскольку время не может быть отрицательным (отрицательное время соответствовало бы событиям, произошедшим до броска тела, а они нам неизвестны) выбираем такое решение при котором . Используя это значение, получим для скорости падения тела на Землю:.

Графики движения тела показаны на рисунке 23.

9.2. С высокого обрыва без начальной скорости падает ка­мень. Какую скорость он будет иметь через 3с от начала падения?

9.3. В некоторый момент времени скорость падающего тела равна 6 м/с. Какой будет скорость тела через 2 с?

9.4. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты 125 м. а) в какой момент времени шарик упадет на Землю? б) в какой момент времени высота шарика уменьшится в 2 раза? С какой скоростью движется шарик на этой высоте? в) в какой момент времени скорость шарика достигнет половины максимальной скорости? На какой высоте он находится в этот момент?

9.5. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты Н. Через какое время высота, на которой находится шарик, будет составлять половину первоначальной высоты? С какой скоростью движется шарик на этой высоте? <; >

9.6. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты Н. Через какое время после начала движения скорость шарика будет составлять половину его максимальной скорости? На какой высоте он будет находиться в этот момент? <; >

9.7. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты Н. На какой высоте будет находиться шарик в момент времени, равный половине времени падения? Какова его скорость в этот момент? <;>

9.8. Тело, брошенное вертикально вверх из точки, находящейся над землей на высоте 8 м, падает на землю через 2 с после броска. С какой скоростью брошено тело?

9.9. Тело брошено вертикально вверх с высоты 40 м с начальной скоростью 5 м/с. На какой высоте окажется тело через 2 с?

9.10. С высоты 25 м тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Через сколько секунд оно упадет на землю?

9.11. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на Землю через 5 с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту оно поднялось?

9.12. С какой скоростью надо бросить тело вертикально вверх с поверхности земли, чтобы время от момента броска до момента падения тела на землю рав­нялось 3 с?

9.13. С неподвижного аэростата, находящегося на высоте 1125 м, произведен вертикально вниз выстрел, причем пуля вылетела со скоростью 200 м/с. За какое время и с какой скоростью пуля достигнет Земли?

9.14. Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли. Во сколько раз скорость тела меньше первоначальной скорости на высоте, составляющей 8/9 максимальной высоты подъема?

(3.40)

(3.41)

где n – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; V – объем соленоида.

Энергия магнитного поля:

. (3.42)

Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия в единице объема):

или , или , (3.43)

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.

📽️ Видео

Динамика точки. Законы Галилея-НьютонаСкачать

ЗАДАЧИ НА НАКЛОННУЮ ПЛОСКОСТЬ - не ГРОБ! КАК ТАКИЕ РЕШАТЬ?Скачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Урок 85. Движение связанных тел (ч.1)Скачать

Физика - движение по окружностиСкачать