Про уравнения - легко » Статьи

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Обновлено
Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

  • Образовательные:
    • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
    • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
  • Воспитательные:
    • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
    • формирование умения анализировать поставленную задачу;
    • способствовать улучшению психологического климата в классе.
  • Развивающие:
    • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
    • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

Содержание
  1. 1 урок
  2. 2 урок (урок-лекция)
  3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
  4. п.1. Разложение на множители
  5. п.2. Приведение к квадратному уравнению
  6. п.3. Приведению к однородному уравнению
  7. п.4. Введение вспомогательного угла
  8. п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
  9. п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
  10. п.7. Понижение степени
  11. п.8. Замена переменных
  12. п.9. Использование ограничений области значений функций
  13. п.10. Примеры
  14. П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений
  15. Методы решения тригонометрических уравнений.
  16. 1. Алгебраический метод.
  17. 2. Разложение на множители.
  18. 3. Приведение к однородному уравнению.
  19. 4. Переход к половинному углу.
  20. 5. Введение вспомогательного угла.
  21. 6. Преобразование произведения в сумму.
  22. 🔍 Видео

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений;
6) sinП 10 2 техника решения тригонометрических уравненийx = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений;
7) tgx = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
2) х = ± П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ 2П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
3) х =± П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ 2П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
4) х = П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
5) х = (–1) П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
6) х = (–1) П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ 2П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
7) х = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк;
8) х = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк; к П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийZ.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= 2 sin П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийcosП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк, к П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийZ или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sinП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений| П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений1
x = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк; к П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийZ.
Ответ: x = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийк , к П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийZ.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sinП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений– sin П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= 2 sin П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийсosП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

cos 3x + 2 sin П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийсos П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. Таким образом П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийне удовлетворяет условию | t |П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений.

Значит sin x = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. Поэтому П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений.

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений(преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= – 1, tП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. Откуда П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: –П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

№ 168 (а )

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

№ 174 (а )

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Решить уравнение: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийтогда П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийОтсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений, x = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: arctg 2 + П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений,П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийk,П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Учитывая, что П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийиП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений, получим:

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийтакой, что П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Тогда П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. Тогда получим П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийтакой, что П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений, т.е. П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= arcsin 0,6. Далее получим П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: – arcsin 0,8 + П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений+ П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

8 способ. Уравнения вида Р П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений. Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений= 1, П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений=П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx = П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений видаП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений, запишем систему, равносильную исходному уравнению:П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Условию П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийудовлетворяют только решенияП 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений1, то данное уравнение равносильно системе: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийП 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Решение системы П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Ответ: П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения (f_1(x)cdot f_2(x)cdot . cdot f_n(x)=0) где (f_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: ( left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right. )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2cosx cos2x=cosx) begin 2cosx cos2x-cosx=0\ cosx(2cos2x-1)=0\ left[ begin cosx=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийМы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые (60^=fracpi3)
Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара (fracpi2+pi k, pmfracpi6+pi k), равнозначная c (fracpi6+frac).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ frac=0 $$ где (f_i(x), g_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: ( begin left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right.\ g_1(x)ne 0\ g_2(x)ne 0\ . \ g_m(x)ne 0\ end )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (ctgx-tgx=frac)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=frac-frac=frac=frac $$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ frac-frac=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на (1/2) слева и справа, получаем: $$ frac=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для (ctgx) и (tgx). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: begin begin left[ begin cosx-sinx=0\ cosx+sinx=1 end right.\ sin2xne 0 end end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=0 |: cosx\ 1-tgx=0Rightarrow tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>cosx+frac<sqrt>sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4right)cosx+sinleft(fracpi4right)sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4-xright)=cosleft(x-fracpi4right)=cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt> Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4+2pi kRightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2xne 0Rightarrow 2xne pi kRightarrow xnefrac $$

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийЗаписываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: begin begin left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=2pi k\ x=fracpi2+2pi kLeftrightarrow x=fracpi4+pi k end right.\ xnefrac end end

За счет требования (xnefrac) исключаются семейства (x=fracpi2+2pi k) и (x=2pi k).
Остается только (x=fracpi4+pi k).
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где (f(x)) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=f(x)). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Если (f(x)) — синус или косинус, проверить условие (-1leq t_leq 1). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin f(x)=t_1\ f(x)=t_2 end right. ) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (3sin^2x+10cosx-6=0)
Заменим (sin^2x=1-cos^2x). Получаем: begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\ -3cos^2x+10cosx-3=0\ 3cos^2x-10cosx+3=0\ text t=cosx, -1leq tleq 1\ 3t^2-10t+3=0\ D=(-10)^2-4cdot 3cdot 3=64\ t=frac= left[ begin frac13\ 3gt 1 — text end right. end Решаем (cosx=frac13Rightarrow x=pm arccosfrac13+2pi k)
Ответ: (pm arccosfrac13+2pi k)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=0)
Делим на (cosx). Получаем: (tgx+1=0Rightarrow tgx=-1Rightarrow x=-fracpi4+pi k)
Ответ: (-fracpi4+pi k)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^2x) begin frac=frac\ Atg^2x+Btgx+C=0 end Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2 end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0 |: cos^2x\ 3tg^2x-tgx-4=0\ text t=tgx\ 3t^2-t-4=0\ D=(-1)^2-4cdot 3cdot(-4)=49\ t=frac= left[ begin -1\ frac43 end right. end Решаем совокупность: ( left[ begin tgx=-1\ tgx=frac43 end right. Rightarrow left[ begin x=-fracpi4+pi k\ x=arctgfrac43+pi k end right. )
Ответ: (-fracpi4+pi k, arctgfrac43+pi k)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^n x)
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное алгебраическое уравнение: begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 end Найти корни (t_1, t_2. t_k, kleq n)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2\ . \ tgx=t_k end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2sin^3x=cosx)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0 |: cos^3x\ 2tg^x-tg^2x-1=0\ end Замена (t=tgx) дает кубическое уравнение: (2t^3-t^2-1=0)
Раскладываем на множители: begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\ =(t-1)(2t^2+t+1) end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. (D=1-4cdot 2=-7 lt 0).
Получаем: (2t^3-t^2-1=0Leftrightarrow t-1=0)
Возвращаемся к исходной переменной:
(tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k)
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение (sqrtsin3x-cos3x=1)
Делим уравнение на ( p=sqrt=2: ) begin sqrtsin3x-cos3x=1 |: 2\ frac<sqrt>sin3x-frac12cos3x=frac12\ sinleft(fracpi3right)sin3x-cosleft(fracpi3right)cos3x=frac12\ cosleft(fracpi3right)cos3x-sinleft(fracpi3right)sin3x=-frac12\ cosleft(3x+fracpi3right)=-frac12Rightarrow 3x+fracpi3=pmfrac+2pi kRightarrow 3x= left[ begin -pi+2pi k\ fracpi3+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -fracpi3+frac\ fracpi9+frac end right. end
Ответ: (-fracpi3+frac, fracpi9+frac)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение (cos3x+sin2x-sin4x=0)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sinfraccosfrac=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: begin cos3x-2sinxcos3x=0\ cos3x(1-2sinx)=0\ left[ begin cos3x=0\ 1-2sinx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ sinx=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin x=fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end right. end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k\ x=fracpi6+2pi k=30^+360^kLeftrightarrow x=30^+60^k=fracpi6+frac\ x=frac+2pi k=150^+360^k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийПолучаем, что семейства решений (fracpi6+2pi k) и (frac+2pi k) уже содержатся во множестве (fracpi6+frac).

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида begin sinaxcdot cosbx=sincxcdot cosdx, sinaxcdot sinbx=sincxcdot cosdx text end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение (sin5xcos3x=sin6xcos2x)
Заметим, что: begin sin5xcos3x=frac=frac\ sin6xcos2x=frac=frac end Подставляем: begin frac=frac |times 2\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\ sin4x-sin2x=0\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\ sin2x(2cos2x-1)=0\ left[ begin sin2x=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin 2x=pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийСемейства решений не пересекаются.

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: ( left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pi k end right. )

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A end используются формулы понижения степени: begin sin^2x=frac, cos^2x=frac end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение (sin^2x+sin^22x=1)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: begin frac+frac=1\ cos2x+cos4x=0\ 2cosfraccosfrac=0\ cos3xcosx=0\ left[ begin cos3x=0\ cosx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений(x=fracpi2+pi k) является подмножеством (x=fracpi6+frac)
Поэтому begin left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида (f(sinxpm cosx, sinxcosx)=0) используется замена begin t=cosxpm sinx end

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=1+sinxcosx)
Замена: (t=sinx+cosx)
Тогда (t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosxRightarrow sinxcosx=frac)
Подставляем: begin t=1+fracRightarrow 2(t-1)=t^2-1Rightarrow t^2-2t+1=0Rightarrow (t-1)^2=0Rightarrow t=1\ sinx+cosx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>sinx+frac<sqrt>cosx=frac<sqrt>\ sinfracpi4 sinx+cosfracpi4 cosx=frac<sqrt>\ cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt>Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4 + 2pi kRightarrow Rightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Ответ: (2pi k, fracpi2+2pi k)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: ( begin sinax=1\ sinbx=1\ . \ cosdx=1\ . end )
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение (sinx+cos4x=2)
Для этого нужно решить систему: begin begin sinx=1\ cos4x=1 end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ 4x=2pi k end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийПересечением двух семейств решений будет только (fracpi2+2pi k).
Поэтому begin begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end Leftrightarrow x=fracpi2+2pi k end

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) (4sinleft(fracpi2right)+5sin^2x=4)
Приводим уравнение к квадратному:
(5sin^x+4cosx-4=0)
(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0)
(-5cos^2x+4cosx+1=0)
(5cos^2x-4cosx-1=0)
Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1) begin 5t^2-4t-1=0Rightarrow (5t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-frac15\ t_2=1 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin cosx=-frac15\ cosx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm arccosleft(-frac15right)+2pi k\ x=2pi k end right. end Ответ: (pm arccosleft(-frac15right)+2pi k, 2pi k)

б) (6sinxcosx=5cos2x)
(6sinxcosx=3cdot 2sinxcosx=3sin2x)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
(3sin2x=5cos2x | : cos2x)
(3tg2x=5Rightarrow tg2x=frac53Rightarrow 2x=arctgfrac53+pi kRightarrow x=frac12 arctgfrac53+frac)
Ответ: (frac12 arctgfrac53+frac)

в) (9cos^2x-5sin2x=-sin^2x)
(5sin2x=5cdot 2sinxcosx=10sinxcosx)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0 |: cos^2x)
(tg^2x-10tgx+9=0)
Замена: (t=tgx) begin t^2-10+9=0Rightarrow (t-1)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=9 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin tgx=1\ tgx=9 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=arctg9+pi k end right. end Ответ: (fracpi4+pi k, arctg9+pi k)

г) (cos3x-1=cos6x)
Косинус двойного угла: (cos6x=2cos^2 3x-1)
Подставляем и раскладываем на множители:
(cos3x-1=2cos^2 3x-1)
(cos3x-2cos^2 3x=0)
(cos3x(1-2cos3x)=0) begin left[ begin cos3x=0\ 1-2cos3x=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ cos3x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ 3x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pmfracpi9+frac end right. end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k=<. -90^,-30^,30^,90^,150^. >\ x=pmfracpi9+frac= left[ begin -20^+120^k=<. -140^,-20^,100^. >\ 20^+120^k=<. -100^,20^,140^. > end right. end right. end Семейства не пересекаются.
Ответ: (fracpi6+frac, pmfracpi9+frac)

д) (sqrtsin2x-cos2x=-sqrt)
Разделим на (p=sqrt) и введем дополнительный угол:
(frac<sqrt>sin2x-frac12 cos2x=-frac<sqrt>)
(frac12cos2x-frac<sqrt>sin2x=frac<sqrt>)
(cosleft(2x-fracpi3right)=frac<sqrt>)
(2x-fracpi3=pmfracpi6+2pi k)
(2x=fracpi3pmfracpi6+2pi k= left[ begin -frac+2pi k\ fracpi2+2pi k end right. )
( left[ begin x=-frac+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. ) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: (-frac+pi k, fracpi4+pi k)

е) (cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x)
Формула понижения степени: (cos^2x=frac)
Подставляем: begin frac+frac=frac+frac\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\ 2cosfraccosfrac=2cosfraccosfrac |: 2\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\ cosx(cos3x-cos7x)=0\ cosxleft(-2sinfracsinfracright)=0\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\ 2cosxsin5xsin2x=0\ cosxsin5xsin2x=0\ left[ begin cosx=0\ sin5x=0\ sin2x=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 5x=pi k\ 2x=pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. end Семейство решений (x=fracpi2+pi k) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для (x=frac) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=frac end right. end Ответ: (frac, frac)

Пример 2*. Решите уравнения:
a) begin frac-frac+frac=0 end ОДЗ: (tgxne pm 3)
1) Если (cosxne 0), то последнее слагаемое (frac=frac<frac><frac>=frac)
Получаем: begin frac-frac+frac=0\ frac=0\ frac=0\ end Замена: (t=tgx) begin fracRightarrow begin t^2+7t-30=0\ tnepm3 end Rightarrow begin (t+10)(t-3)=0\ tnepm3 end Rightarrow begin left[ begin t=-10\ t=3 end right.\ tnepm3 end Rightarrow\ t=-10 end Получаем: begin tgx=-10\ x=arctg(-10)+pi k=-arctg10+pi k end
2) Проверим, является ли (cosx=0) решением.
При (cosx=0, x=fracpi2+pi k, tgxrightarrowinfty). Первое слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Второе слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Третье слагаемое (fracrightarrowfrac=1ne 0)
Сумма слагаемых в пределе (tgxrightarrowinfty) равна (0+0+1=1ne 0)
(cosx=0) решением не является.
Ответ: (-arctg10+pi k)

б) (frac+1=7frac)
ОДЗ: (cosxne 0, xnefracpi2+pi k) begin |cosx|= begin cosx, -fracpi2+2pi kleq xlt fracpi2+2pi k\ -cosx, fracpi2+2pi kleq xlt frac+2pi k end end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) begin frac+1=7frac\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\ 3tg^2-7tgx+4=0\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\ left[ begin tgx=frac43\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=arctgfrac43+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийПолученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (fracpi4, arctgfrac43, frac) и (pi+arctgfrac43), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях.
Выбираем только точки в 1-й четверти:
(fracpi4) и (arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения период будет не (pi k), а (2pi k). begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k end right. end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) begin frac+1=-7frac\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\ 3tg^2x+7tgx+4=0\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\ left[ begin tgx=-frac43\ tgx=-1 end right. Rightarrow left[ begin x=-arctgfrac43+pi k\ x=-fracpi4+pi k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийПолученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (-fracpi4, -arctgfrac43, frac) и (pi-arctgfrac43), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях.
Выбираем только точки вo 2-й четверти:
(frac) и (pi-arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом (2pi k). begin left[ begin x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

3) Объединяем полученные решения: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийПо аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ left[ begin x=fracpi4+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k fracpi4+pi k\ end

Окончательно получаем: ( left[ begin x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ x=(-1)^k fracpi4+pi k end right. ).
Ответ: ((-1)^k arctgfrac43+pi k, (-1)^k fracpi4+pi k)

г) (3sinx-4cosx=5)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
(p=sqrt=5)
(frac35sinx-frac45 cosx=1)
(sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
(sinalpha sinx-cosalpha cosx=1)
(cosalpha cosx-sinalpha sinx=-1)
(cos(x+alpha)=-1)
(x+alpha=pi+2pi k)
(x=-alpha+pi+2pi k=-arcsinfrac35+pi+2pi k)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: begin sinalpha=frac<2tgfrac>, cosalpha=frac\ 3cdot frac<2tgfrac><1+tg^2frac>-4cdotfrac<1-tg^2frac><1+tg^2frac>=5\ frac<6tgfrac-4left(1-tg^2fracright)-5left(1+tg^2fracright)><1+tg^2frac>=0 end (1=tg^2fracgeq 1), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: begin -tg^2frac+6tgfrac-9=0Rightarrow tg^2frac-6tgfrac+9=0Rightarrowleft(tgfrac-3right)^2=0Rightarrow tgfrac=3\ frac=arctg3+pi kRightarrow x= 2arctg3+2pi k end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsinfrac35+pi+2pi k text x=2arctg3+2pi k $$ равнозначны, т.е. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3), и равны углы: $$ arcsinfrac35=pi-2arctg3 (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) (2arctg3=varphi). Тогда (arctg3=fracvarphi2) и (tgfracvarphi2=3).
А в левой части равенства (*) (arcsinfrac35=alpha) и (sinalpha=frac35)
Угол (0lt arcsinfrac35lt fracpi2) расположен в 1-й четверти.
Угол (varphi=2arctg3) расположен во 2-й четверти ((cosvarphilt 0, sinvarphigt 0)). $$ cosvarphi=frac=frac=-frac45, sinvarphi=frac=frac=frac35 $$ Получаем, что для угла (alpha: sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
Для угла (varphi: sinvarphi=frac35, cosvarphi=-frac45)
Откуда следует, что (alpha=pi-varphi). Что и требовалось доказать.
Ответ: (-arcsinfrac35+pi+2pi k) или (2arctg3+2pi k) (т.к. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3))

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Методы решения тригонометрических уравнений.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos П 10 2 техника решения тригонометрических уравненийи sin П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений( здесь П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений— так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

П 10 2 техника решения тригонометрических уравнений

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

🔍 Видео

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 класс

Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.

10 класс, 31 урок, Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение)Скачать

10 класс, 31 урок, Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение)

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 2 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 2 часть. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простой

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: