Оцените уравнение тренда на пригодность прогнозирования по критерию дарбина уотсона если (3 видео)

Критерий Дарбина-Уотсона

Рассматриваем уравнение регрессии вида:

где k — число независимых переменных модели регрессии.

Для каждого момента времени t = 1 : n значение определяется по формуле

Изучая последовательность остатков как временной ряд в дисциплине эконометрика, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки должны быть случайными (а). Однако при моделировании временных рядов иногда встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (б и в) или циклические колебания (г). Это говорит о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае имеется автокорреляция остатков.

Содержание

Причины автокорреляции остатков
Методы определения автокорреляции остатков
Алгоритм выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина — Уотсона
Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков
20. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
💡 Видео

Видео:Лабораторная работа Прогнозирование по уравнению трендаСкачать

Причины автокорреляции остатков

Автокорреляция остатков может возникать по несколькими причинами:

Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях Y.

Во-вторых, иногда причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Зачастую этим фактором является фактор времени t.

Иногда, в качестве существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо в модели не учтено несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или циклических колебаний.

Видео:Как определить автокорреляцию в остатках Дарбин УотсонСкачать

Методы определения автокорреляции остатков

Первый метод — это построение графика зависимостей остатков от времени и визуальное определение наличия автокорреляции остатков.

Второй метод — расчет критерия Дарбина — Уотсона

Т.е. Критерий Дарбина — Уотсона определяется как отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к сумме квадратов остатков. Практически во всех задачах по эконометрике значение критерия Дарбина — Уотсона указывается наряду с коэффициентом корреляции, значениями критериев Фишера и Стьюдента

Коэффициент автокорреляции первого порядка определяется по формуле

Соотношение между критерием Дарбина — Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков (r1) первого порядка определяется зависимостью

Т.е. если в остатках существует полная положительная автокорреляция r1 = 1, а d = 0, Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r1 = — 1, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r1 = 0, d = 2. Следовательно,

Видео:Прогнозирование в Excel с помощью линий трендаСкачать

Алгоритм выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина — Уотсона

Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотеэы о наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Затем по таблицам определяются критические значения критерия Дарбина — Уотсона dL и du для заданного числа наблюдений и числа независимых переменных модели при уровня значимости а (обычно 0,95). По этим значениям промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков.

Если расчетное значение критерия Дарбина — Уотсона попадает в зону неопределенности, то подтверждается существование автокорреляции остатков и гипотезу отклоняют

Источник: Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

Если Вас интересует решение контрольных по эконометрике щелкните здесь

Видео:Excel для полных чайников Урок 16 Линия трендаСкачать

Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков

Тест Дарбина-Уотсона проводится с помощью трех калькуляторов:

Парная регрессия
Множественная регрессия
Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)

Рассмотрим третий вариант. Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов через онлайн сервис Уравнение тренда .
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а ₀ и подставим во второе уравнение
Получаем a₀ = -12.78, a₁ = 26763.32
Уравнение тренда
y = -12.78 t + 26763.32
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения

, т.е. в 97.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами — точность подбора уравнения тренда — высокая.

t	y	t 2	y 2	t ∙ y	y(t)	(y-y cp ) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p ) 2	(y-y(t)) : y
1990	1319	3960100	1739761	2624810	1340.26	18117.16	451.99	148.84	28041.86
1996	1288	3984016	1658944	2570848	1263.61	10732.96	594.99	38.44	31417.53
2001	1213	4004001	1471369	2427213	1199.73	817.96	176.08	1.44	16095.92
2002	1193	4008004	1423249	2388386	1186.96	73.96	36.54	0.04	7211.59
2003	1174	4012009	1378276	2351522	1174.18	108.16	0.03	0.64	210.94
2004	1159	4016016	1343281	2322636	1161.4	645.16	5.78	3.24	2786.55
2005	1145	4020025	1311025	2295725	1148.63	1552.36	13.17	7.84	4155.05
2006	1130	4024036	1276900	2266780	1135.85	2959.36	34.26	14.44	6614.41
2007	1117	4028049	1247689	2241819	1123.08	4542.76	36.94	23.04	6789.19
2008	1106	4032064	1223236	2220848	1110.3	6146.56	18.51	33.64	4758.73
20022	11844	40088320	14073730	23710587	11844	45696.4	1368.3	271.6	108081.77

Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i — e i-1 ) 2
1319	1340.26	-21.26	451.99	0
1288	1263.61	24.39	594.99	2084.14
1213	1199.73	13.27	176.08	123.72
1193	1186.96	6.04	36.54	52.19
1174	1174.18	-0.18	0.03	38.75
1159	1161.4	-2.4	5.78	4.95
1145	1148.63	-3.63	13.17	1.5
1130	1135.85	-5.85	34.26	4.95
1117	1123.08	-6.08	36.94	0.05
1106	1110.3	-4.3	18.51	3.15
1368.3	2313.41

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 1,001 , т.е. (d₂ Пример . По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y = 300 + 5x .
Получены следующие промежуточные результаты:
∑ε 2 = 18500
∑(ε_t— ε_t-1) 2 = 41500
Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона (при n=24 и k=1 (число факторов) нижнее значение d = 1,27, верхнее d = 1,45. Сделайте выводы.

Решение.
DW = 41500/18500 = 2,24
d₂ = 4- 1,45 =2,55
Поскольку DW > 2,55, то следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y = 300 + 5x .

Видео:Автокорреляция остатков. Критерий Дарбина-УотсонаСкачать

20. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего эти остатки могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени T.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

. (4.5)

Т. е. величина D есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях N существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона D и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка :

. (4.6)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то и . Т. е. .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. Приложение 2) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений N, числа независимых переменных модели M и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

– есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается ;

– зона неопределенности;

– нет оснований отклонять , т. е. автокорреляция остатков отсутствует;

– зона неопределенности;

– есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

Пример. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и промежуточные расчеты заносим в таблицу: