Олимпиадная задача на систему уравнений (4 видео)

Решение школьных олимпиадных задач по математике с помощью уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Решение школьных олимпиадных задач по математике с помощью уравнений

Составил учитель математики 1 категории

Залкипов Набиюллах Магомедгабибович.

Решение школьных олимпиадных задач по математике с помощью уравнений

2.1 Общая теория уравнений…………………………………………….

Олимпиадные задачи для учащихся 5 класса………………………

Олимпиадные задачи для учащихся 6 класса………………………

Олимпиадные задачи для учащихся 7 класса………………………

Олимпиадные задачи для учащихся 8 класса………………………

Олимпиадные задачи для учащихся 9 класса………………………

Олимпиадные задачи для учащихся 10 класса………………………

Олимпиадные задачи для учащихся 11 класса………………………

В век информационного и критически развитого общества возрастает роль естественно-математических наук, и это требует особых организованных усилий по развитию интересов, склонностей и способностей учащихся общеобразовательной школы к познанию такой дисциплине как математика.

Математическое образование — это испытанное и проверенное временем средство формирования интеллектуального и логического мышления в условиях всеобщего обучения такому предмету как математика. Концепция фундаментального ядра образования, а также национальная образовательная инициатива «Наша новая школа» ставят математическое образование на лидирующие позиции, поскольку математические дисциплины формируют широкий комплекс универсальных учебный действий, тот необходимый уровень знаний, который нужен современному ученику.

В национальной образовательной инициативе «Наша новая школа» предусматривается система развития и поддержки детей с особыми приемами мышления, неординарными подходами в решении той или иной задачи. Актуальным становится обеспечение для таких детей возможности для математического творчества, то есть способствовать всячески развитию и совершенствованию уровня математических знаний у одаренных детей.

Одним из средств указанной цели является олимпиада. Предметные олимпиады школьников – значимое и эффективное средство формирования мотивации к учению, развития их творческих способностей и умений, повышения познавательной активности учащихся, углубления и расширения знаний школьника по предмету.

Математические олимпиады — это своего рода соревнования среди математических спортсменов за оригинальность, творчество, лаконичность, нестандартность и правильность решения задачи. Задача математической олимпиады – это задача повышенной трудности, которая оригинальна как по формулировке, так и способу решения.

Анализ текстов школьных олимпиад по математике показал, что в олимпиадах разного уровня и в разных классах встречаются задачи, в которых необходимо решить уравнение. Решение уравнений является самостоятельным заданием либо уравнение выступает в качестве математической модели в рассматриваемой ситуации, таким образом, становится средством решения задачи.

Целью является обзор и накопление олимпиадных задач с 5 по 11 классы, которые решаются с помощью уравнений.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи :

проанализировать тексты школьных математических олимпиад;

перечислить основные разделы математики, которые встречаются в задачах олимпиадного характера;

рассмотреть задачи математических олимпиад, которые решаются с помощью уравнений для 5-11 классов;

организовать решение олимпиадных задач, структурировать их по классам.

Следовательно, объектом данной работы являются школьные олимпиады по математике, а в роли предмета исследования выступают олимпиадные задачи, решаемые с помощью уравнений.

1. Школьные олимпиады по математике

1.1. Математическая олимпиада и олимпиадное движение

Математические олимпиады в нашей стране проводятся уже на протяжении нескольких десятков лет. Такой существенно долгий путь олимпиады и ее неиссякаемая актуальность говорит о том, что олимпийское движение качественный показатель педагогической и общественной работы, значимость которой трудно оспорить сегодня.

Математические олимпиады проводятся как в общеобразовательных учреждениях, так и в организациях высшего образования. Весомую часть математических олимпиад можно найти в сети Интернет, существует достаточно разнообразные и интересные сайты, где можно взять и решить любую задачу математической олимпиады. Это, например, Всероссийские математические олимпиады, порядок проведения которых устанавливается Министерством образования науки на школьном, окружном, региональном и заключительном этапах. Это математические олимпиады для школьников «Кенгуру». Это могут быть всевозможные турниры городов, районов, областей; олимпиады, носящие название какого-либо ученого-математика, например, математическая олимпиада Леонарда Эйлера, математический турнир Ломоносова и т.д.

Задачи математических олимпиад интересны своими методами и приемами решения. Анализируя математические олимпиады различных конкурсов как на сайтах в сети Интернет, так и в учебных пособиях, можно выделить множество приемов и методов, каждый из которых известны обучающимся из школьного курса.

Популярность олимпиад говорит об интересе участников соревнования и дает понять, что сегодня олимпиадные соревнования являются эффективным средством развития математически одаренных детей. Определенная доля успеха таких детей является не только показателем их собственной работы, в определенной доле здесь имеют место общественная и педагогическая работа кадров.

Существенный вклад в становление и развитие олимпиадного движения, в разработку методик организации и проведения олимпиад внесли такие ученые и педагоги: Л.Д. Глейзер, В.Ф. Каган, М. Клайн, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, И.С. Петраков, В.И. Смирнов, C.JI. Соболев, В.А. Тартаковский, Г.М. Фихтенгольц, П.С. Александров, Б.Н. Делоне и др.,

Опыт, который формировался и накапливался на протяжении всей истории математического движения, требует дополнительного анализа и осмысления, поскольку ничто не стоит на месте, в том числе математическое образование и образование в целом: изменение и усовершенствование теорий естественно — научного цикла требуют ускоренного усовершенствования образования.

На сегодняшний момент имеется достаточно большой объем математических задач олимпиадного характера, задач нестандартных. Ученые-математики как Александр Львович Брудно , Дмитриев Иван Георгиевич, Анатолий Павлович Савинов и др. внесли весомый вклад в развитие олимпиадного движения.

Первым, кто предложил организовать математическую олимпиаду, был народный учитель СССР М.А. Алексеев. После чего олимпиады стали пользоваться огромной популярностью и были нацелены на подготовку научно-технической интеллигенции.

Первая математическая олимпиада для школьников г. Куйбышев состоялась 28 марта 1948 года под руководством профессора педагогического института С.П. Пулькина при активном участии педагогов института М.Л. Монастырского и С. Н. Воскресенского. Эта олимпиада проходила в один тур для учащихся 7-8 и 9-10 классов.

1.2. Тематика школьных олимпиадных задач по математике

В тематику олимпиадных задач входят различные разделы из области математики и геометрии. Обычно задания олимпиад предназначены для участников с 5 по 11 класса. Поэтому каждому классу отводится знакомый для ученика раздел, который уже был им усвоен в школьном курсе математики.

Основными целями проведения математической олимпиады являются:

расширение кругозора учащихся;

развитие интереса учащихся к изучению математики;

развитие навыков и умений критического мышления;

развитие духа соперничества и конкурентоспособности;

выявление учащихся для участия в олимпиаде другого уровня (районных, областных и др.).

При подготовке к олимпиадам и непосредственном их проведении решаются следующие задачи:

расширение общего кругозора учащихся по математике;

углубление школьного курса математики;

развитие нестандартного мышления;

подготовка учащихся к участию в олимпиадах и соревнованиях по математике более высокого уровня;

ознакомление с возможностями современных информационных технологий при обучении и изучении математики;

воспитание самостоятельности, целеустремленности, трудолюбия, силы воли.

Олимпиадные задачи отличаются от других задач за счёт:

идейности и творческого подхода;

красочности и оформления дизайна;

естественности (задачи из повседневной жизни).

Существуют различные классификации олимпиадных задач, например,

Бабинской И.Л. выделяет следующие:

Геометрические задачи на максимум и минимум;

Построение и исследование геометрических фигур ;

Математическая индукция и комбинаторика ;

Преобразования, функции, уравнения и неравенства ;

Делимость и неопределенные уравнения .

2. Олимпиадные задачи по математике, решаемые с помощью

2.1. Общая теория уравнений

Уравнения с одной переменной

Равенство с переменной называется уравнением с одной переменной , если поставлена задача найти все значения , при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет .

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными . Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Теорема 1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида , где и — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — сводным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) . В этом случае корень уравнения равен ;

; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом , т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате элементарных преобразований сводятся к линейным.

где – действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным. Корни уравнения находятся по формуле

Если в квадратном уравнении вида второй коэффициент или свободный член равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Теорема 3. Если приведенное квадратное уравнение

имеет действительные корни, то их сумма равна , а произведение равно , т.е.

Теорема 4. Если числа и таковы, что , , то и — корни квадратного уравнения .

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Встречаются следующие уравнения:

уравнения, содержащие переменную под знаком модуля;

уравнения с несколькими переменными.

Решение задач с помощью уравнений

С помощью уравнений решаются многие задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т.д. Прежде всего, напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, например , обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение)

3) Решают поставленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Анализируя задачи школьных математических олимпиад, мы выяснили, что среди них достаточно много задач, которые можно решить с помощью уравнений.

Это могут быть как текстовые задачи, сводящиеся к составлению и решению уравнения, так и непосредственно сами уравнения. Рассмотрим следующие олимпиадные задачи с 5 по 11 классы.

2.2. Олимпиадные задачи для учащихся 5 класса

1. Отец в 7 раз старше сына, а через 10 лет он будет втрое старше сына. Сколько лет и тому и другому? .

Решение: введем обозначения. Представим, что лет — возраст сына, тогда возраст отца — лет. Известно, что сыну будет через десять лет лет, тогда отцу исполнится лет, но по условию

, то есть сыну 5 лет, а отцу 35 лет.

Ответ: 5 лет сыну, 35 лет отцу.

2. Для нумерации страниц книги было использовано всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге? .

Решение: на первые десять страниц потребуется 9 цифр, на каждые следующие 90 страниц нужно использовать по 2 цифры на каждую страницу, а значит цифр. Пусть в книге всего станиц, тогда страниц с тремя цифрами будет , а цифр на них . Составим и решим уравнение:

Ответ: 500 страниц.

3. Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10?.

Решение: обозначим число гусей в одном хлеве за а число козлят за , тогда учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получаем уравнение:

Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1.

Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах по два козленка и 1 гусю.

Ответ: в 2 хлевах по 1 козленку и 3 гусям; в трех хлевах по два козленка и 1 гусю.

4. Тимофею сейчас вчетверо больше лет, чем было Марине в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Тимофею, если через 15 лет ему и Марине будет вместе 100 лет?

Решение: для решения задачи воспользуемся таблицей

Составим и решим уравнение:

Значит, Тимофею сейчас лет

5. Алеша и Боря весят вместе 82 кг, Алеша и Вова весят 83 кг, а Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Боря и Вов [17].

Сложим равенства вместе, получим:

2.3 . Олимпиадные задачи для учащихся 6 класса

1. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60км/ч, а возвратился со скоростью 80км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля [17].

Решение: весь путь км, где — расстояние между двумя городами. Время движения

2. Вес скворца относится к весу жаворонка как 5,5:2, а вес ласточки составляет 75% веса жаворонка и на 7 г легче его. Определите вес указанных птиц [17].

Решение: пусть коэффициент пропорциональности, тогда 5,5 — вес скворца, 2 — вес жаворонка, 1,5 — вес ласточки. Составим и решим уравнение:

Тогда вес скворца – 77 грамм, 28 грамм — вес жаворонка, 21 грамм – вес ласточки.

Ответ: 77 г, 28 г, 21 г.

3. Решите уравнение

= Выберете наиболее рациональный способ решения [11].

Перепишем уравнение, при этом сгруппируем его члены таким образом, чтобы удобно было складывать их в суммы:

4. Света является ученицей 5 класса. В этом классе мальчиков в два раза меньше, чем девочек. У Светы одноклассниц на 10 больше, чем одноклассников. Сколько учеников в классе? [11].

Решение: обозначим за – количество мальчиков в классе, тогда – количество девочек в классе; – количество девочек без Светы.

Составим и решим уравнение:

Тогда имеем — количество мальчиков; — число девочек. Тогда всего учеников в классе: ученика.

Ответ: 33 ученика.

5. Решите уравнение [11]

2.4 Олимпиадные задачи для учащихся 7 класса

1. Ученик утверждает, что знает решение уравнения

в натуральных числах. Докажите, что ученик ошибся [17].

Уравнение четно при любых поэтому не может быть равно 2015. Следовательно, ученик ошибся.

Что и требовалось доказать.

2. При каких значениях прямые пересекаются в одной точке? [16].

Решение: выпишем уравнения

Заметим, что левые части равны, значит, будут равны и правые части

Получили уравнение с одной неизвестной:

Решим уравнение и найдем неизвестное

Подставим в одно из уравнений, например, в уравнение

Точка В (7; 9) – точка пересечения прямых
, .

Прямая проходит через точку В(7; 9), то есть

При прямые и пересекаются в одной точке.

Ответ: при прямые пересекаются в одной точке.

3 . Турист вышел из пункта А в пункт В. За пройденный час он прошел 3 км. Если бы он и далее шел с этой скоростью, то опоздал бы к приходу поезда на 40 минут, но оставшуюся часть пути он прошел со скоростью 4 км/ч и пришел за 45 минут до отхода поезда. Найти расстояние от А до В [17].

Решение: введем обозначения. Пусть — расстояние АВ, тогда

— время до отправления поезда;

— время до отправления поезда, то есть

4. На двух карточках написано одно и то же семизначное число N, оканчивающееся на 9876. Одну карточку разрезали на две, проведя разрез между третьей и четвёртой цифрами, а другую – проведя разрез между четвёртой и пятой цифрами. Приведите пример какого-нибудь числа N такого, чтобы сумма чисел на половинках первой карточки была равна сумме чисел на половинках второй карточки [12].

Решение: ответом является решение ребуса

(разным буквам могут соответствовать одинаковые цифры). Вычитая из обеих частей по 876, получаем . Отсюда

В этом случае получаем 9999+876 = 999+9876 =10875.

5. Иван Иванович поставил новые покрышки на свой автомобиль. Известно, что передние покрышки нужно менять через 25000 км в силу непригодности, а задние — через 15000 км (Покрышки одинаковы как спереди, так и сзади). Через сколько километров Иван Иванович должен поменять эти покрышки местами, чтобы его автомобиль прошел максимально возможное расстояние? Чему равно это расстояние? [15].

Решение: пусть Иван Иванович поменяет покрышки местами через некоторое расстояние, которое обозначим за км. Тогда задние покрышки авто отработали своих ресурсов, а передние соответственно . После их замены они смогут прослужить владельцу авто еще км и км соответственно. Таким образом, всего можно проехать не более

Максимальное расстояние можно проехать в том случае, если данные составленные выражения будут равны. Иначе, из строя могут выйти либо покрышки с передних колес, либо с задних, что приведет к тому, что водитель не сможет проехать большее расстояние. Приравняем данные выражения либо левые, либо правые части составленных уравнений и найдем искомое расстояние:

Ответ: c менить покрышки необходимо через 9375 км, тогда можно проехать 18750 км.

2.5 Олимпиадные задачи для учащихся 8 класса

1. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 секунд, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определить скорость трамвая [3].

Решение: предположим, что трамваи идут через равные промежутки и с одинаковой скоростью. Скорость пешехода м/мин. Пусть м/мин. – скорость трамвая, тогда скорость ( относительно пешехода) обгоняющих его трамваев равна , а встречных + . Будем считать каждый трамвай концом «отрезка» длиной у метров, другой конец которого – в следующем трамвае; трамваи движутся равномерно распределенными ( с интервалом метров) на двух лентах, проходящих мимо «неподвижного» пешехода ежедневно в течение 12 минут в двух противоположных направлениях с найденными ранее скоростями. Длина обгоняющей ленты 225 метров, длина встречной ленты 600 метров, время их движения мимо пешехода (за год) минут, откуда

Проведем некоторые преобразования, после чего получим

Ответ: Скорость трамвая 11 км/ч.

2. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов – за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро 1 слон [17].

Решение: пусть л воды выпивает один слон в день; а из ключей в озеро попадает -литров воды, V — объем озера, тогда

Если предположить, что один слон выпьет озеро за t дней, то

Ответ: за 365 дней.

3. Андрей родился в XIX веке, а его брат Кирилл – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Андрей сказал: «Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения».

«Мой тоже», — ответил Кирилл. На сколько лет Кирилл младше Андрея? [12].

Решение: пусть Андрей и Кирилл родились в и году соответственно ( и ) — цифры в записи числа). Во время их встречи Кириллу и Андрею было лет и лет соответственно. Определим год, в котором произошла встреча. Поскольку возраст Андрея на тот момент был равен сумме цифр его года рождения, встреча произошла в году.

С другой стороны, и возраст Кирилла был равен сумме цифр его года рождения, а значит, встреча произошла в году.

После упрощений уравнение преобразуется к виду:

, где и () –– целые числа, не превосходящие по модулю 9. Перепишем уравнение в виде

Заметим, что делится на и делится на , а потому и должно делиться на . Так как

Следовательно, . Андрей старше Кирилла на

Ответ: Кирилл младше Андрея на 9 лет.

4. Имеется 30 бревен длинами 3 и 4 м, суммарная длина которых равна 100 м. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длиной 1 м? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно) [4].

Решение: если было трехметровых и четырехметровых бревен, то , , откуда . Поэтому нужно сделать распилов.

Ответ: 70 распилов.

5. Число таково, что прямые , и различны и пересекаются в одной точке. Каким может быть ? [4].

Решение: заметим, что при выполняется , так что точка M () является общей для прямых и Так как прямые различны, M – их единственная общая точка. Поэтому прямая тоже должна проходить через неё, откуда . Легко видеть, что при все три прямые действительно различны.

2.6. Олимпиадные задачи для учащихся 9 класса

1. Решите уравнение [16].

Решение: умножим обе части уравнения на 2, получим

Представим как сумму чисел , поучим

Получим следующее уравнение:

Воспользуемся обратной теореме Виета:

2. Решите уравнение: [17].

Решение: введем замену

Тогда уравнение примет вид:

Тогда из того, что следует, что

3. Решите систему: [16].

Решение: сделаем замену

Тогда уравнение примет вид:

4. Составить уравнение второй степени, один из корней которого был бы равен сумме, а второй произведению корней уравнения

Решение: пусть корни квадратного уравнения

— корни искомого уравнения,

По теореме Виета:

По теореме, обратной теореме Виета, — корни уравнения:

5. Найти все тройки натуральных чисел x , y , z удовлетворяющих уравнению: [17].

Решение: первое решение предложенного уравнения способен дать любой внимательный ученик. Очевидно, что в задаче «Зашифрован» календарь, тогда

Полное решение данной задачи основывается на выделении целой части. Разделим почленно уравнение на 28, выразив из исходного уравнения :

Если требуется отыскать натуральные решения уравнения, то из натуральности следует, что дробь должна представлять собой натуральное число и не превосходить 12 (в противном случае не будет натуральным). Пусть , тогда , полученная дробь после преобразования

Поскольку нацело делиться на 10, ясно что

откуда Мы совершенно строго получили ранее угаданный ответ (1, 4, 7).

Пусть , тогда , полученная дробь дает после преобразования

Поскольку нацело делиться на 10, ясно, что

Откуда Мы получили еще один ответ в натуральных числах (2, 9, 1). Заметим, что для натуральных чисел эти решения единственны, для целых чисел есть другие тройки решений.

Ответ: (1; 4; 7) и (2; 9; 1).

2.7. Олимпиадные задачи для учащихся 10 класса

1. Решить в целых числах уравнение: [3].

Решение: п реобразуем исходное уравнение :

Следовательно, и делители числа , поэтому

Откуда следует, что

Из первого равенства имеем

Рассмотрим I случай:

Пусть , тогда или откуда следует, что

Далее из уравнения найдем Итак,

Рассмотрим II случай:

Пусть Из уравнения следует

Так как и целые (из того, что целое), то

целое, поэтому из

2. Решите уравнение [16].

Решение: заметим, что при данное уравнение корней не имеет, так как

Рассмотрим случай, когда

Тогда уравнение примет вид:

Совершив подстановку, убеждаемся, что не являются корнями уравнения, входящего в систему

Ответ: если , то корней нет; если то

3. Доказать, что не существует целых чисел , удовлетворяющих следующим равенствам [8].

Решение: перепишем данные равенства следующим образом

Перемножая их и обозначая , получим

Если бы исходная система имела бы решение в целых числах, то уравнение имело бы целый корень (положительный или отрицательный). Покажем, что это невозможно. В самом деле, если бы целый корень существовал, то был бы делителем . Это возможно лишь при

Но, очевидно, что перечисленные значения , не удовлетворяют уравнению . Действительно, не нашлось таких чисел, которые удовлетворяли бы равенствам:

4. Малыш может съесть торт за 10 минут, банку варенья – за 13 минут и выпить кастрюлю молока за 14 минут, а Карлсон может сделать это за 6, 6 и 7 минут соответственно. За какое наименьшее время они могут покончить с завтраком, состоящим из торта, банки варенья и кастрюли молока? [8].

Решение: ясно, что если Малыш и Карлсон хотят съесть завтрак за наименьшее время, то начать и кончить есть они должны одновременно – в противном случае один из них может помочь другому и сократить затраченное время. Обозначим через доли торта, варенья и молока, которые съел Малыш. Тогда доли этих продуктов, которые съел Карлсон, а время, которое они потратили, равно

Тем самым мы приходим к следующей задаче: найти наименьшее значение величины , если числа удовлетворяют условиям и .

Из следующего соотношения можно выразить через

Подставляя это выражение в формулу для t, получаем

Из формулы видно, что будет тем меньше, чем больше и чем меньше Возьмем самое большое значение и самое меньшее значение y:

при этом минут находится в допустимых пределах. Следовательно, наименьшее значение достигается в том случае, когда Малыш съедает торт и выпивает кастрюли молока, а Карлсон съедает варенье и выпивает кастрюли молока.

Ответ: наименьшее время достигается в том случае, если: Малыш съедает торт и выпивает кастрюли молока, а Карлсон съедает варенье и выпивает кастрюли молока.

5. Дима написал на доске 5 целых чисел — коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Анатолий стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, -5 в каком-то порядке. Восстановите стёртое число и докажите, что было написано именно оно [13].

Решение: пусть трёхчлен имеет вид , а его корни равны Тогда по теореме Виета . Поэтому одно из пяти чисел на доске делилось по крайней мере на три других числа. Заметим, что на доске осталась лишь одна пара чисел, одно из которых делится на другое: 2 и 4. Значит, было стёрто число c . Применив ещё раз теорему Виета, получим а значит, делится на . Поэтому , числа и являются корнями, а .

2.7 . Олимпиадные задачи для учащихся 11 класса

1. Верно ли, что любые 100 карточек, на которых написано по одной цифре 1, 2 или 3, встречающейся не более чем по 50 раз каждая, можно разложить в один ряд так, чтобы в нём не было фрагментов 11, 22, 33, 123 и 321? [4].

Решение: пусть имеется x карточек с цифрой 1, карточек с цифрой 2 и карточек с цифрой 3. Тогда , и так как

, то искомый ряд можно сложить из фрагментов 21, затем из фрагментов 32, а затем из фрагментов 31. При этом карточка с цифрой 1 встретится ровно раз, карточка с цифрой 2 – ровно раз, а карточка с цифрой 3 — ровно раз, причём запрещённые фрагменты в предложенном ряде не встретятся, даже если какое — либоиз значений равно

Ответ: верно. 100 карточек, на которых написано по одной цифре 1, 2 или 3, встречающейся не более чем по 50 раз.

2. Решите уравнение: [7].

Решение: в зависимости от знака, который принимает переменная , возможны два случая:

Решим квадратное уравнение:

3. Найдите количество решений уравнения в целых числах:

Решение: поскольку никакой из модулей не может превосходить единицы, можно рассмотреть три случая:

Таким образом мы получили три пары решений.

4. В январе фабрика по производству шоколадных конфет «Сластена» выполнила 105% месячного плана выпуска торговой продукции, а в феврале дала продукции на 4 % больше, чем в январе. На сколько процентов фабрика перевыполнила двухмесячный план выпуска продукции? [18].

Решение: пусть – месячный план завода. Тогда — двухмесячный план завода. В январе завод выполнил сверх плана.

В феврале . За два месяца завод перевыполнил план на

Значит, завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции на 7,1%

Ответ: завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции на 7,1%.

5. Вследствие обновления оборудования производительность труда рабочего повышалась дважды в течении года на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 2500 рублей, а теперь на 2809 рублей? [18].

Решение: пусть за 8 часов работы рабочий изготовил x деталей, тогда расценка составляет рублей за деталь, а производительность труда равна деталей в час. После первого увеличения производительности еще на рабочий стал изготовлять деталей в час; после второго увеличения производительности еще на имеем деталей в час. За 8 часов он стал изготовлять деталей и заработал

рублей. Согласно условию

Мы проанализировали небольшую часть задач из олимпиад и выяснили, что метод, который был нами выбран, а именно: решение с помощью уравнений, достаточно часто применяется к решению олимпиадных задач. Поскольку задачу можно решать по-разному, используя при этом всевозможные методы и средства, то почему бы не решить уравнение, которое можно составить из условия задачи.

Исследуя и анализируя задачи математических олимпиад, мы выяснили, что существует достаточно большой набор заданий, который можно решить с помощью уравнений, что говорит о приближенной универсальности метода. В своей работе мы привели цикл задач с 5 по 11 класс, нестандартные по оформлению и условию, интересные своими рассуждениями и методом решения. Так как математические олимпиады достаточно широко распространены, то преподавателю в рамках педагогической деятельности помимо занимательных задач повышенной трудности необходимо инициировать обучающихся на собственное развитие математических умений и способностей, на решение нестандартных задач. В процессе подготовки к олимпиадам различного уровня учителю необходимо научить школьников, прежде всего, внимательно читать условие задачи и видеть в них достаточные и необходимые данные, алгоритм и оптимальные способы решения.

Для кого-то подготовка к олимпиаде ограничивается решением задач различных уровней школьного курса, кто-то скажет, что нужен особый подход к овладению навыками решения. Поэтому точно нельзя утверждать то, что задачу может решить каждый ученик, хорошо знающий школьный курс математики. Важную роль в развитии умений и навыков решения олимпиадной задачи отводится учителю, роль которого обеспечить обучающегося рациональными приемами решения, а также ресурсами: пособиями, сайтами, учебной литературой, если это нужно для плодотворной и успешной работы. Другое дело, если обучающийся имеет особый талант к математике, может решить задачи, которые не по силам многим из одноклассников или даже преподавателей хорошего уровня подготовки. Здесь важно питать интерес ученика, завлечь нестандартностью решения, особыми приемами и методами.

В процессе работы над курсовой работой мы узнали, что математическая олимпиада – заключительный этап внеурочной и урочной работы по математике. Это одна из форм реализации всех явных и скрытых возможностей интеллекта, поскольку решение олимпиадных задач оказывает существенное воздействие на развитие умений применять свои знания в нестандартных ситуациях, грамотно использовать сложный математический аппарат с целью достижения того результата, который предусмотрен условиями заданий.

Узнали, что подготовить ученика к олимпиаде значит научить его нестандартно мыслить, широко смотреть на вещи, выбирать из общего частное, строить логику рассуждений и грамотно определять последовательности – алгоритмы решения.

Мы рассмотрели некоторые задачи математических олимпиад с 5 по 11 классы, которые решили с помощью уравнений. Данный метод бывает очень удобным, поскольку не всегда легко решить задачу, если не использовать рассматриваемый способ. Подобрали задачи школьных математических олимпиад, где показали реализацию данного метода.

Содержание

Олимпиадная задача на систему уравнений
Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему
Скачать:
Предварительный просмотр:
🎦 Видео

Видео:Задача из олимпиад будущего года, которую не решит большинство отличниковСкачать

Олимпиадная задача на систему уравнений

Служба поддержки (только для пользователей с подтвержденным адресом электронной почты) работает ежедневно с (10) до (18) часов по Московскому времени (кроме выходных и праздничных дней).

В нерабочее время, выходные и праздничные дни поддержка пользователей также осуществляется, но сроки рассмотрения заявок и ответы на них могут значительно увеличиться.

В данном разделе Вы можете самостоятельно получить информацию по наиболее часто задаваемым вопросам.

Видео:Олимпиадная задача, которую смогли решить единицыСкачать

Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.

Видео:Супер жесть! Уравнение с олимпиадыСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
aksanova_ii._olimpiadnye_zadaniya.reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx	100.62 КБ

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Решение уравнений в целых числах

Аксанова Ильсияр Исмагиловна

Учитель математики высшей категории

С. Высокая Гора – 2015 г.

Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке. В работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры. Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:

способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
применение цепных дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска;
оценка выражений, входящих в уравнение.

В работе представлены два приложения: п риложение 1. Таблица остатков при делении степеней ( a n : m ); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения

1. Способ перебора вариантов.

Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49 х + 51 у = 602.

Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то

х = 602 — 51 у ≥ 49, 51 у ≤553, 1≤ у ≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х =5, у =7.

2. Применение алгоритма Евклида. Теорема.

Дано уравнение ax+by=c , где a, b, c -целые числа, a и b не равны 0.

Теорема: Если c не делится нацело на НОД( a,b ), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД( a,b )=1или c делится на НОД( a,b ), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x 0 , y 0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами:

y=y 0 +at , где t — принадлежит множеству целых чисел.

Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5 х + 7 у = 19

Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Тогда 5 x 0 + 7 y 0 = 19, откуда

5( х – x 0 ) + 7( у – y 0 ) = 0,

5( х – x 0 ) = –7( у – y 0 ).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x 0 = 7 k , у – y 0 = –5 k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7 k , у = 2 – 5 k ,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7 k ; 2–5 k ), где k – целое число.

Пример 2.2. Решить уравнение 201 х – 1999 у = 12.

Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201 х – 1999 у = 1. Тогда пара чисел

x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201 х – 1999 у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999 k , у = 1536 + 201 k , где k – целое число,

или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем

х = 1283 + 1999 n , у = 129 + 201 n , где n – целое число.

Ответ: (1283+1999 n , 129+201 n ), где n – целое число.

3. Метод остатков.

Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.

Замечание . Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений.

Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.

Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 3333333;

Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 4( x 2 y + xy 2 + 1).

Перепишем исходное уравнение в виде ( x + y ) 3 = 7( x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x 2 + 1 = 3 y .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y .

Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3 k , то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3 k+ 1, то x 2 + 1= (3 k+ 1) 2 +1=3 m +2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3 k+ 2, то x 2 + 1= (3 k+ 2) 2 +1=3 m +2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.4. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (1)

Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду

x ³ = 3 y ³ + 9 z ³ (2)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (2), получим:

27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³, откуда

9 k 3 = y ³ + 3 z ³ (3)

следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³, откуда

3 k 3 = 9 m ³ + z ³ (4)

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (4), получим, что k 3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным.

Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение

х 2 – 7 х – 144 = у 2 – 25 у .

Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у . Получим: у = х + 9 или у = 16 – х .

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х , имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Пример 4.2 . Решить в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x :

x 2 – ( y + 1) x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3 y 2 + 6 y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у : 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х , которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

Пример 4.3 . Решить уравнение в целых числах: 5 х 2 +5 у 2 +8 ху +2 у -2 х +2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5 х 2 + (8 у — 2) х + 5 у 2 + 2 у + 2 = 0

D = (8 у — 2) 2 — 4·5(5 у 2 + 2 у + 2) = 64 у 2 — 32 у + 4 = -100 у 2 — 40 у – 40 = = -36( у 2 + 2 у + 1) = -36( у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36( у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

5. Разложение на множители .

Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2 y 2 = 7.

Разложим левую часть на множители ( x – 2 y )( x + y ) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2 y = 7, x + y = 1;

2) x – 2 y = 1, x + y = 7;

3) x – 2 y = –7, x + y = –1;

4) x – 2 y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

Пример 5.2 . Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Решение. Перепишем уравнение в виде:

у 2 — х 2 = 23, ( у — х )( у + х ) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

Пример 5.3 . Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91.

Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

( y — x )( y 2 + xy + x 2 ) = 91

Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2| y || x | + x 2 = (| y | — | x |) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Пример 5.4 . Решить в целых числах уравнение x + y = xy .

Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1)

x + y – xy – 1 = – 1

Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: ( x — 1)( y — 1) = 1

Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения.

Пример 5.5 . Доказать, что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x — y )( y — z )( z — x ) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

6. Метод бесконечного спуска.

Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

Пример 6.1 . Решить уравнение в целых числах 5 x + 8 y = 39.

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: . Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3 y без остатка делится на 5.

Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3 y = 5 z . В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y , рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим:

Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную

Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z : = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2 v , откуда u = 1 – 2 v . Дробей больше нет, спуск закончен.

Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x :

z = = = 3 v – 1; = 3 – 5 v .

Формулы x = 3+8 v и y = 3 – 5 v , где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Ответ: x = 3+8 v и y = 3 – 5 v.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение ( х 2 + 4)( у 2 + 1) = 8ху

Решение. Заметим, что если ( х ;у ) – решение уравнения, то (- х ;- у ) – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

тогда их произведение ( х + )( у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2.

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Пример 7.2 . Решить уравнение в целых числах

x 2 + 13 y 2 – 6 xy = 100

Решение . x 2 + 13 y 2 –6 xy= 100 ↔ ( x- 3 y ) 2 + 4 y 2 = 100 . Так как ( x- 3 y ) 2 ≥ 0 , то 4 y 2 ≤ 100 , или │ 2 y│≤ 10 . Аналогично, в силу 4 y 2 ≥ 0 должно выполняться │x- 3 y│≤ 10 .