ВВЕДЕНИЕ
Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.
Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии.
В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).
Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.
Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность
скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.
Уравнение параболического типа. Основные уравнения
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.
Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией u = u (x, y, z, t) дающей температуру u в каждой точке M (x, y, z) тела и в любой момент времени t .
Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела.
Вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая
Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x = 0, а другой — с точкой x = l (рис. 1).
Чтобы найти функцию u=u(x, t), надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.
1. Количество тепла DQ, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Du , равно
где c — удельная теплоемкость, m — масса тела.
Для стержня имеем
где ρ — плотность материала стержня; S — площадь его поперечного сечения.
2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье количество тепла ΔQ, протекающее за время Δt через площадку ΔS в направлении нормали 
к этой площадке, равно
где k — коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).
Для стержня имеем
, (2)
где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k = k(x).
3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема.
Обозначим через F (x, t), плотность источников в точке x рассматриваемого стержня в момент t. Тогда в результате действия этих источников на участке (x, x +Δx) за промежуток Δt будет выделено количество тепла
(3)
И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.
Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x = x1 и x = x2 (x2 — x1 = Δx), и составим уравнение теплового баланса на отрезке [x1, x2]. Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (2) количество тепла, прошедшее через сечение x = x1, равно
через сечение x = x2:
Найдем приток тепла 
в элемент стержня: 
(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).
Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени Δt выделится количество тепла согласно (3)
Все тепло за время 
Δt пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину Δu .И поэтому сообщенное количество тепла ΔQ , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1):
В силу закона сохранения энергии имеем равенство
Сокращая на общий множитель SΔxΔt , получим уравнение
Введя обозначения 
, 
придем к уравнению
(4)
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (4) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную a² температуропроводности. Коэффициент a² называют коэффициентом имеет размерность м² /с.
Уравнение (4) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.
Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.
Процесс распределения температуры u = u (x, y, z, t) в изотропном теле описывается уравнением
которое кратко записывается так:
(6)
где 
— оператор Лаплас
Видео:Одномерное уравнение теплопроводности. Виды краевых задачСкачать
Теплопроводность при нестационарном режиме
Процессы передачи теплоты, в которых температурное поле и поле теплового потока изменяются во времени, называются нестационарными.
Нестационарные тепловые процессы в технике и природе встречаются практически чаще, чем стационарные. Нагрев или охлаждение приборов и машин при пуске, останове или изменении режима; конструктивных элементов зданий и других сооружений при изменении наружной температуры; термическая обработка продуктов и изделий; работа регенеративных теплообменных аппаратов – все это примеры нестационарных тепловых процессов.
Длительность процессов нестационарного конвективного теплообмена и излучения сравнительно мала и не имеет существенного влияния на формирование температурных полей тел в нестационарном режиме, поэтому эти процессы пока мало изучены – их нестационарностью обычно пренебрегают. Процессы же теплопроводности, наоборот, оказывают решающее влияние на формирование температурных полей при нестационарном тепловом состоянии отдельных тел и систем.
Процессы нестационарной теплопроводности можно разделить на две группы: а) нестационарные процессы, связанные с нарушением теплового равновесия, когда с течением времени система стремится к некоторому новому равновесному состоянию; б) нестационарные процессы, связанные с периодическим изменением теплового состояния тела (периодические изменения температуры окружающей среды или мощности тепловых источников и т. п.).
В большинстве задач нестационарной теплопроводности требуется найти температуры в определенных точках тела в заданный момент времени t от начала процесса. Возможна и обратная задача: найти длительность процесса, в результате которого температура в данной точке тела примет определенное, наперед заданное значение. В некоторых задачах бывает необходимо найти тепловой поток в определенной точке в заданный момент времени или полное количество теплоты, отданной (или полученной) телом в течение заданного промежутка времени.
Все перечисленные задачи сводятся к нахождению температуры рассматриваемого тела как функции времени и координат t = f(t, x, у, z).
Эту зависимость можно найти, если проинтегрировать дифференциальное уравнение теплопроводности при заданных краевых условиях.
Для некоторых конкретных задач теплопроводности дифференциальное уравнение может быть упрощено: в случае передачи теплоты в одном направлении задача становится одномерной; при распространении теплоты в двух направлениях задача является двухмерной. Для тел цилиндрической формы удобно перейти к цилиндрическим координатам, а для тел шаровой формы – к сферическим.
Дифференциальное уравнение и краевые условия полностью формулируют задачу. Дальнейшее аналитическое ее решение сводится к использованию методов математической физики. Основные из них: метод разделения переменных, методы интегральных преобразований (например, Лапласа), метод мгновенных точечных источников. Кроме аналитических применяют и приближенные методы.
В качестве примера рассмотрим охлаждение неограниченной пластины.
Охлаждение неограниченной пластины
Будем рассматривать задачу теплопроводности при постоянных значениях теплофизических характеристик тела (l, с,r) с граничными условиями третьего рода, так как они наиболее часто встречаются на практике. Задача формулируется следующим образом. Плоская неограниченная пластина толщиной d, имеющая во всех точках одинаковую начальную температуру tнч, в момент времени t = 0 помещается в среду, температура которой tж 0. Математически задачу можно сформулировать следующим образом. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерной задачи без внутренних источников теплоты
,
где х может изменяться в пределах 0 £ х £ d/2: так как охлаждение пластины происходит симметрично, целесообразно поместить начало координат в середину пластины и рассматривать процесс только в одной ее половине (см. рисунок). Краевые условия:
1) начальное условие при t = 0 и 0 £ х £ d/2 t = tнч;
2) граничные условия: а) при х = 0и t > 0 (дt/дx)0 = 0, т. к. при симметричном охлаждении в середине пластины в любой момент времени температура будет максимальной; б) при х = l и t > 0 —l(дt/дx)c = a(tc – tж).
Последнее выражение записано на основании равенства тепловых потоков на поверхности пластины: подходящего к поверхности из внутренних областей тела путем теплопроводности и отводимого от поверхности в процессе теплоотдачи.
Решение задачи в общем виде можно представить как функцию независимых переменных х и t и параметров процесса а,l, a, l, tж, tнч:
Следуя методу подобия, приведем условия задачи к безразмерной форме; это значительно сокращает число переменных, придает полученному решению обобщенность, и упрощает анализ решения.
Для этого произведем сначала замену искомой величины t так называемой избыточной температурой J = t – tж.
Так как dJ = dt,то запись дифференциального уравнения и граничных условий от такой замены не изменится:
;
Приведем уравнение и граничные условия к безразмерному виду. Для этого еще раз произведем замену переменных: вместо избыточной температуры введем безразмерную избыточную температуру Q = J/Jнч.Вместо координаты х введем безразмерную координату Х = х/l.Такая замена равносильна тому, что в качестве масштаба для измерения температуры используется величина Jнч, а в качестве масштаба длины – величина l. Для сохранения равенств исходные уравнения в соответствующих местах необходимо умножить на масштабы температуры и длины. Тогда дифференциальное уравнение будет иметь вид:
, или после сокращения и преобразования 
.
В такой форме дифференциальное уравнение безразмерно: величина l 2 /а имеет размерность времени и потому комплекс аt/l 2 безразмерен. Этот комплекс обозначается символом Fo и называется критерием Фурье:
Критерий Фурье можно трактовать как безразмерное время.
Окончательно дифференциальное уравнение теплопроводности в безразмерной записи получается в следующем виде:
.
Начальное условие: при Fo = 0, Qнч = 1;
где Qс = Jс/Jнч – безразмерная температура поверхности стенки; Bi = al/l – критерий Био.
Физический смысл критерия Био в том, что его величина характеризует соотношение интенсивностей отвода теплоты в процессе теплоотдачи и подвода теплоты из внутренних слоев тела к поверхности в результате теплопроводности.
Теперь искомая функция будет иметь вид Q = f(Fo,Bi, X).
Применяя метод разделения переменных решение дифференциального уравнения будет иметь вид
, (1)
где 
– коэффициенты уравнения;
mп – корни характеристического уравнения m/Bi = ctgm.
Значения mп и Ап приводятся в справочниках.
Результирующее выражение температурной функции, в форме произведения функции времени exp(-m 2 Fo) на некоторую функцию от координаты справедливо не только для пластины, но и для других тел, в которых распространение теплоты происходит в одном направлении, как, например, в бесконечно длинном цилиндре или шаре. Различаются результирующие выражения видом функции координаты: вместо cos – для пластины, для цилиндра появляется функция Бесселя, а для шара – гиперболическая. Для классических тел получены аналитические решения задач нестационарной теплопроводности.
В соответствии с формой результирующих уравнений (1) порядок решения задачи нестационарной теплопроводности для тела классической формы следующий:
1. На основании исходных данных вычисляют безразмерную координату Х и критерии Bi и Fo. Здесь характерный размер тела: для пластины при симметричном охлаждении l = d/2,при одностороннем охлаждении l = d;для бесконечно длинного цилиндра и шара l = R,где R – радиус.
2. По величине критерия Bi в специальных таблицах находят значения mn и Ап для нескольких значений п.В обычных инженерных расчетах достаточно учитывать два-четыре члена суммы в формуле (1).
3. По формуле (1) или аналогичной ей для тел другой формы вычисляют значение безразмерной температуры Q в данной точке в заданный момент времени. Из Q определяют искомую температуру t = f(t, x).
Анализ решения (1) позволяет выявить влияние величины числа Bi на нестационарную теплопроводность. Рассмотрим два предельных случая: Bi ® ¥ и Bi ® 0.
Первый предельный случай:Bi ® ¥ (практически Bi >100). Для тела конечных размеров (l – конкретная конечная величина) этот случай соответствует условию a/l ® ¥, т. е. большим значениям коэффициента теплоотдачи a и сравнительно малым значениям коэффициента теплопроводности l.В этом случае сразу после начала процесса температура поверхности тела принимает и в дальнейшем сохраняет постоянное значение tc = tж = const. Следовательно, интенсивность процесса охлаждения (нагрева) определяется внутренним процессом теплопроводности в теле и зависит только от физических свойств и размеров тела.
При этом общее решение (1) упрощается: из числа определяющих критериев выпадает критерий Bi. Так, для точек, расположенных в средней плоскости пластины (при Х = 0), уравнение для безразмерной температуры при Fo > 0,3 приобретает вид
.
Второй предельный случай:Bi ® 0 (практически при Bi 2 ; Biпл = al/l; Foпл = аt/l 2 .
Величины Qц иQпл могут быть найдены по графикам с учетом расположения рассматриваемой точки в безграничном теле. Так, для точки 1 (рис.)величина Qц находится по графику для центральных точек неограниченного цилиндра, а величина Qпл – по графику для средней плоскости пластины. Для точки 2величина Qц определяется по тому же графику, что и для точки 1, а Qпл – по графику для поверхностных точек пластины. Для точки 3обе величины находятся по графикам для поверхностных точек цилиндра и пластины. Для точки 4величина Qц определяется по графику для поверхностных точек цилиндра, а величина Qпл – по графику для средней плоскости пластины. Перечисленные четыре точки являются характерными для ограниченного цилиндра. Температуры остальных точек ограниченного цилиндра по графикам не могут быть найдены, но для их определения можно воспользоваться соответствующими формулами.
Аналогичные рассуждения справедливы и для параллелепипеда,но его следует рассматривать как тело, образованное пересечением трех неограниченных пластин.
Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел
При значении Fo > 0,3 в выражениях типа (1) достаточно ограничиться одним первым членом ряда. В этом случае для пластины
. (2)
Режим охлаждения (или нагрева), определяемый формулой (2), называется регулярным. Этот результат обобщается и на более сложные задачи охлаждения (нагрева) тел любой геометрической формы при условии tж и a = const:
,
где m – темп охлаждения, [1/с].
В этом случае начальные условия начинают играть второстепенную роль, и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела, его геометрической формой и размерами.
Логарифмируя последнее уравнение, получаем:
Из последнего уравнения следует, что натуральный логарифм избыточной температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Если продифференцировать это выражение по времени получим:
.
В левой части уравнения стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянному значению т,не зависящему ни от координат, ни от времени. Следовательно, темп охлаждения характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.
Если экспериментально определить изменение избыточной температуры Jво времени t и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как
.
Выражение для зависимости темпа охлаждения т от физических свойств тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа теплового баланса. В результате получим:
,
где С – полная теплоемкость тела;
y = JF/JV – коэффициент неравномерности распределения температуры в теле;
JF, JV – средние по поверхности и по объему температуры тела.
Из уравнения следует, что темп охлаждения т, однородного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи a пропорционален коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорционален его теплоемкости (первая теорема Кондратьева ).
Коэффициент y зависит от числа Bi, учитывающего условия протекания процесса на поверхности тела. Рассмотрим два предельных случая:
а) Bi ® 0 (практически Bi 100). При этом условии задача становится внутренней, и процесс охлаждения определяется только размерами тела и его физическими свойствами. В силу большой интенсивности теплообмена температура на поверхности тела принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды. Коэффициент неравномерности распределения температуры y = 0.
При Bi ® ¥, или, что то же, a ® ¥, темп охлаждения т становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности тела а (вторая теорема Кондратьева):
.
Коэффициент пропорциональности К зависит от геометрической формы и размеров тела и определяется в зависимости от формы тела по выражениям:
для шара радиусом r 
;
для параллелепипеда с длиной граней l1, l2, l3 
;
для цилиндра длиной l и радиусом r 
.
На основе теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методики определения теплофизических характеристик материалов.
Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать
Теплопроводность при нестационарном температурном поле
Решить задачу теплопроводности при нестационарном температурном поле – значить установить зависимость между температурой t, временем 
и координатами тела x,y,z. Такая зависимость получается решением дифференциального уравнения теплопроводности при определенных условиях однозначности.
При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
. (54)
Уравнение (54) является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решения такого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения: если t1 и t2 — частные решения уравнения, то выражение 
является также его решением при произвольных значениях постоянных С1 и С2. Поскольку у постоянных С1, и С2 возможны различные значения, уравнение типа (54) может иметь бесконечно большое количество частных решений.
Для решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего заданным условиям однозначности, берут сумму частных решений, в которых постоянные Сi имеют определенные значения. Соответствующим подбором постоянных Ci, удовлетворяют решение исходному дифференциальному уравнению и условиям однозначности.
К классическим методам решения уравнения теплопроводности относятся метод разделения переменных и метод источников.
Метод разделения переменных. По этому методу решается уравнение теплопроводности, а затем, исходя из начальных и граничных условий, определяются постоянные в общем решении. Частное решение t выражается произведением двух функций, одна из которых U(τ) зависит только от времени τ, а другая P(x,y,z) зависит только от координат
, (55)
где С – произвольная постоянная.
Подставляя решение (55) в уравнение (54) получим
. (56)
Уравнение (56) можно переписать так
. (57)
Левая часть уравнения(57) может зависеть только от или быть постоянным числом; она не зависит от координат. Правая часть может зависеть от координат или быть постоянным числом; она не зависит от времени. Поскольку уравнение (57) справедливо при любых значениях времени и координат, то правая и левая части его равны постоянной величине, которую обозначим через D.
Таким образом, мы получим два дифференциальных уравнения для определения вида функций U(τ) и P(x,y,z):
; 
. (58)
Решением уравнения (58) является
, (59)
где С – постоянная интегрирования.
Постоянная величина D выбирается из физических соображений. В большинстве случаев при нагревании или охлаждении тел по истечении длительного времени температура распределяется в теле определенным образом. Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина D не может быть положительной, потому что можно задать такой промежуток времени, при котором температура в теле будет стремиться к бесконечности, что физически невозможно. Величина D не может равняться нулю, так как при D=0 функция U(τ) в уравнении (59) имела бы постоянное значение, а температура тела не зависела бы от времени, как это следует из уравнения (55), что не реально.
Таким образом, из физических соображений следует, что величина D может быть отрицательной или мнимой величиной. Последний случай будет при условии, что температура тела есть периодическая функция времени, тогда экспонента (59) будет периодической функцией времени.
Рассматривая случай, когда 
D
(65)
. (65а)
Таким образом, количество теплоты Q не зависит от времени. Оно равно произведению площади, ограниченной кривой G и осью абсцисс x, на объемную теплоемкость cp.
Функцию 
называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности, поскольку она удовлетворяет этому уравнению. В самом деле, для неограниченного тела при одномерном потоке теплоты уравнение (54) имеет вид
. (66)
Если функция G является решением уравнения (66), его можно записать так
. (67)
Пользуясь уравнением (64), найдем выражения для 
и 
:
(68)
. (69)
Сопоставление последних двух выражений показывает, что действительно справедливо уравнение (67).
Преобразование Лапласа.Преобразование Лапласа приводит к операционному методу решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В этом методе краевые условия используются в начальной стадии решения, что во многих случаях исключает необходимость определения произвольных постоянных.
Преобразование Лапласа функции 
, обозначаемое символом 
, называется операцией умножения на 
с последующим интегрированием по в интервале от 0 до 
. (70)
Величина u может быть действительной и мнимой; в обоих случаях ее действительная часть должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить сходимость интеграла.
Выражение называется изображением оригинала, т.е. функции . Таким образом, изображения различных функций могут быть получены непосредственным интегрированием. Например, если = 
, то изображение этой функции будет
. (71)
Обратное изображение дает начальную функцию. Например, называется исходной функцией, или оригиналом изображения 
.
Преобразования Лапласа первой и второй производных функций определяются соотношениями:
(72)
(73)
В этих изображениях 
и ее производная представляют граничные условия, которым должна удовлетворять функция .
Интеграл Лапласа (71) и соотношения (72) и (73) можно использовать для интегрирования дифференциальных уравнений.
Метод конечных разностей.Метод конечных разностей часто используют для решения задач нестационарной теплопроводности, особенно при нагревании или охлаждении тел простой геометрической формы. В основе этого метода лежит допущение о возможности замены, например в уравнении теплопроводности, бесконечно малых изменений температуры во времени и пространстве малыми, но конечными ее изменениями. Тем самым протекающий непрерывно процесс изменения температуры в теле при его нагревании или охлаждении заменяется совокупностью скачкообразных процессов.
В случае одномерного нестационарного температурного поля уравнение теплопроводности 
заменяется уравнением в конечных разностях
. (74)
Решение уравнения (74) может быть выполнено аналитический и графически.
Численный метод. В основу численного метода определения распределения температуры положено уравнение теплопроводности в конечных разностях, с помощью которого вычисляют температуру в фиксированных точках тела. Для применения численного метода рассматриваемое тело разбивают на ряд элементарных объемов, и центральным точкам каждого объема присваивается номер. Предполагается, что тепловые свойства каждого такого объема сосредоточены в его центральной узловой точке и, что передача теплоты между узловыми точками осуществляется через условные теплопроводящие стержни. В нестационарном состоянии в каждом элементарном объеме подвод и отвод теплоты сопровождается изменением внутренней энергии, причем величина этого изменения зависит от изменения температуры в элементарном объеме в течение рассматриваемого промежутка времени, его теплоемкости, плотности и массы.
Рассмотрим применение численного метода к расчету распределения температуры в плоской стенке. Разбивая стенку на элементарные объемы V=δ·δ·1=δ 2 (рис. 4а,б), где δ – сторона элементарного объема.
Количество теплоты, подводимое к узловой точке в соответствии с законом Фурье, равно 
. При малой величине δ тепловой поток q можно выразить через конечные разности
Рис. 4. Разбиение и числовая сетка определения нестационарного температурного поля а – одномерное температурное поле; б – двухмерное температурное поле
(75)
где Δt – разность температур между смежными узловыми точками
Общее количество теплоты за время Δτ равно
(76)
Изменение внутренней энергии в данной узловой точке за время Δτ согласно первому началу термодинамики определяется следующим образом
(77)
где t – температура в рассматриваемой узловой точке в момент времени τ;
– температура в той же точке в момент времени 
; V – объем элементарного участка.
Уравнение теплового баланса в конечных разностях для узловой точки 1 (см. рис. 4а) можно записать в виде
. (78)
С учетом (76) уравнение (78) принимает вид
(79)
Разделим уравнение (79) на 
и с учетом того, что 
и 
— критерий Фурье (безразмерное время) искомая температура в рассматриваемой точке 1 в последующий интервал времени будет равна
. (80)
В случае двухмерного температурного поля тело разбивается на элементарные объемы с размерами ячеек 
; расчетная схема узловых точек показана на рис. 4б.
В соответствии с рис. 4б искомое уравнение температуры для точки 5 запишется в виде
. (81)
Уравнения (80 и 81) являются основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности одномерного и двухмерного тела.
В качестве примера приведем расчет нестационарной теплопроводности одномерного тела методом разделения переменных.
🔥 Видео
Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать
Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.Скачать
Решение нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной постановке в ExcelСкачать
Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в ExcelСкачать
Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать
8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать
Общее уравнение динамики. Задача 1Скачать
Теплопроводность плоской стенкиСкачать
Решение Пуассона одномерного уравнения теплопроводностиСкачать
Двумерное нестационарное уравнение теплопроводности в MatLab l 2D Heat transfer equation in MatLabСкачать
6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать
Нестационарное уравнение теплопроводности в матлабеl Time dependent heat transfer equation in MatLabСкачать
Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемыСкачать
Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать
Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать
Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.Скачать
Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать
12. Как остывает шар (решение уравнения теплопроводности)Скачать
