Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = — 2.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.

Содержание
  1. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.
  2. Описание презентации по отдельным слайдам:
  3. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  4. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  5. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  6. Дистанционные курсы для педагогов
  7. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  8. Другие материалы
  9. Вам будут интересны эти курсы:
  10. Оставьте свой комментарий
  11. Автор материала
  12. Дистанционные курсы для педагогов
  13. Подарочные сертификаты
  14. Корни квадратного уравнения
  15. Основные формулы
  16. Графическая интерпретация
  17. Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением
  18. Вывод формулы для корней квадратного уравнения
  19. Примеры определения корней квадратного уравнения
  20. Пример 1
  21. Пример 2
  22. Пример 3
  23. 🎦 Видео

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Описание презентации по отдельным слайдам:

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Геометрическое решение квадратного уравнения Автор: Иванова Любовь Алексеевна

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Цель: Научить учащихся владению основными способами решения квадратного уравнения Задачи: Изучить историю развития квадратных уравнений. Раскрыть геометрический способ решения квадратных уравнений.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Актуальность работы Квадратные уравнения используются как в учебном процессе, так и для олимпиад самого высокого уровня, а также при решении прикладных задач человеческой жизнедеятельности. Способность ученика подходить к решению уравнений с различных ракурсов, и при этом выбирать наиболее рациональный способ решения, повышает его конкурентоспособность и успешную самореализацию. Квадратные уравнения – «золото» Алгебры.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

– это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать квадратные уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов квадратных уравнений. Квадратное уравнение

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

История возникновения и развития квадратных уравнений

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет. Г.В. Лейбниц

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

решали квадратные уравнения. В древние времена математики ориентировались на человека, его нужды, заботы, возможности. Необходимо было вычислять площади земельных участков, производить расчеты при постройке военных сооружений. В Вавилоне 2 тысячи лет до нашей эры

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

В VIII столетии до нашей эры в Индии математик Баудхаяма впервые использовал запись квадратных уравнений в виде: и привел методы решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Индийский астроном Ариабхатта

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Индийский ученый Брахмагупта (VII век)

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Диофант Александрийский (III в.)

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

«Книга абака» итальянского математика Леонардо Фибоначчи 1201 году

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

В XVII веке Жирар Декарт систематизировал все теории о квадратных уравнениях.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Геометрический способ решения квадратного уравнения

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Пример 1. х2+ 10х -39 = 0 → х2 + 10х = 39 Решение: На сторонах квадрата с ребром х строим прямоугольники 1*х, полученную фигуру дополняем до квадрата ABCD. Площадь квадрата ABCD состоит из площади первоначального квадрата х; площадей десяти прямоугольников 10х и площади квадрата 52 = 25; АВ = х + 5; (х + 5)2 = х2 + 10х + 25 = 39; (х 5)2 = 39 + 25 = 64; х + 5 = ± ± 8; Ответ: х1 = 3; х2 = -13

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Пример 2.Решите квадратное уравнение х2 + 6х + 5 = 0 Решение: х2 + 6х = -5; АВ = х + 3; SABCD = (х + 3)2; (х + 3)2 = х2 + 6х = 32; (х + 3)2 = 4; х + 3 = ±2; Ответ: х1 = -1; х2 = -5

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Пример 3. Решите квадратное уравнение геометрически 4х2 + 8х – 5 = 0 Решение: 4х2 + 8х = 5; Разделим уравнение на четыре, получим приведенное квадратное уравнение х2 + 2х = ; которое решаем аналогично решениям примеров 1 и 2; х +1 = ± = Ответ: х1 = х2 = — 1

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

«Опыт научного прошлого не должен быть потерян для будущих поколений, всё развивается по спирали. Человек родился быть господином, повелителем, царем природы. Но мудрость, с которой он должен править с наследственного своего престола, не дана ему от рождения: она приобретается учением».Николай Иванович Лобачевский.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

«Торопись, ведь они проходят, Ты у времени в гостях. Не рассчитывай на помощь, Помни: всё в твоих руках!» Юстас Палецкис

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

«Так, дерзай! Пусть славы эхо о твоих гремит успехах. Станешь ты, хоть скромен вид, знаменитей чем Евклид!» Льюис Керрол

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Квадратные уравнения и геометрическая алгебра древнихСкачать

Квадратные уравнения и геометрическая алгебра древних

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 181 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 30.03.2017
  • 1047
  • 10
  • 30.03.2017
  • 649
  • 0
  • 30.03.2017
  • 386
  • 0
  • 30.03.2017
  • 1728
  • 3
  • 30.03.2017
  • 1144
  • 36
  • 30.03.2017
  • 256
  • 0
  • 30.03.2017
  • 598
  • 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 30.03.2017 4164
  • PPTX 1.8 мбайт
  • 20 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Еремова Лена Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

  • На сайте: 3 года и 1 месяц
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 7590
  • Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

Корни квадратного уравнения

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Видео:Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Квадратное уравнение. 8 класс.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках (см. рисунок ⇓).
При , график касается оси абсцисс в одной точке (см. рисунок ⇓).
При , график не пересекает ось абсцисс (см. рисунок ⇓).

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

Видео:Квадратное уравнение. 1 урок.Скачать

Квадратное уравнение. 1 урок.

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):

,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

График функции y = x 2 – 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Квадратное уравнение и его геометрическая интерпретация

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-04-2016

🎦 Видео

Тема: Квадратные уравнения. Урок: Уравнения вида y=ax^2 + bx +cСкачать

Тема: Квадратные уравнения. Урок: Уравнения вида y=ax^2 + bx +c

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.

МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула КорнейСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула Корней

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

Квадратное уравнение 1. Вводный урокСкачать

Квадратное уравнение 1. Вводный урок

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Квадратные уравнения #shorts  Как решать квадратные уравнения

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебра 10 класс (Урок№3 - Квадратные уравнения, неравенства и их системы.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№3 - Квадратные уравнения, неравенства и их системы.)

Ал-Хорезми и квадратные уравненияСкачать

Ал-Хорезми и квадратные уравнения

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения
Поделиться или сохранить к себе: