Одно из уравнений верно при любых x и y значит достаточно решить

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие диофантовых уравнений;
2. теоремы для решения уравнений в целых числах;
3. основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 2 + 23 = у 2

Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Выразим из данного уравнения у через х:

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

; ;

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х 2 — 6ху + 13у 2 = 29.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х 2 — 6ху + 13у 2 = (х 2 — 6ху + 9у 2 ) + 4у 2 = (х — 3у) 2 + (2у) 2 = 29, значит (2у) 2 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0) 2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3) 2 + 4 =29, (х + 3) 2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

3. у = 1, (х — 3) 2 +4 =29,

(х — 3) 2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

4. у = -2, (х + 6) 2 + 16 = 29, (х + 6) 2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6) 2 +16=29, (х-6) 2 =13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х 2 +5у 2 +8ху+2у-2х+2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х 2 + (8у — 2)х + 5у 2 + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2) 2 — 4·5(5у 2 + 2у + 2) = 64у 2 — 32у + 4 = -100у 2 — 40у – 40= = -36(у 2 + 2у + 1) = -36(у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х 2 + 4)(у 2 + 1) = 8ху

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

,

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х 2 + у 2 = z 2 .

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х 2 + у 2 = z 2 , в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3 2 + 4 2 = 5 2 (u = 1, v = 3), 5 2 + 12 2 = 13 2 (u = 1, v = 5), 15 2 + 8 2 = 17 2 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 — решение данного уравнения

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

1. 3 = 1 ∙ 2 + 1
2. 1 = 3 — 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 — решение данного уравнения

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

2.1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса

Решение различного рода систем уравнений – классическая и часто возникающая (в том числе и в экономике) математическая проблема. В данном параграфе мы остановимся на простейших из систем – На системах линейных уравнений. Именно они чаще других находят применение в экономике (да и не только в ней).

Системой линейных уравнений называется система вида:

a11X1 + a12X2 +… + a1NXn = b1

В этой системе M уравнений с N неизвестными (X1; X2; …Xn). А линейными уравнения, входящие в систему (1.1), называются потому, что неизвестные (X1; X2; …Xn) этих уравнений входят в них в первой степени (линейно). То есть аналогично тому, как входят в линейную функцию величины X и Y.

Систему (1.1) можно записать и в сжатой (сокращенной) форме, используя знак суммирования å:

(I = 1, 2,… M) (1.2)

Числа Aij (I = 1, 2,… M; J = 1, 2,… N) – заданные коэффициенты при неизвестных Xj (J = 1, 2,… N); числа Bi (I = 1, 2,… M) – так называемые свободные члены системы, которые тоже заданы.

Определение. Любой набор значений неизвестных (X1; X2; …Xn), удовлетворяющих всем уравнениям системы, называется ее решением (частным решением). Система считается решенной, если найдены Все ее решения (или доказано, что никаких решений у нее нет).

В частности, если все свободные члены системы <B1; B2; …Bm> равны нулю, то система (1.1) принимает вид

a11X1 + a12X2 +… + a1NXn = 0

И называется Линейной однородной системой (а все прочие системы (1.1) являются Линейными неоднородными). Любая линейная однородная система (1.3) по крайне мере одно решение заведомо имеет. И это решение очевидно: <X1= 0; X2= 0; …Xn= 0>. Это так называемое нулевое (Тривиальное) решение. Тривиальное решение у однородной системы (1.3) может оказаться единственным. Но не исключено, что у неё есть и другие (нетривиальные) решения. Сколько всего решений у различных систем линейных уравнений может быть и как их найти – об этом ниже.

Детальное рассмотрение систем линейных уравнений начнем с наиболее простой из них – с системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. То есть с системы вида:

(1.4)

Сколько решений (X; Y) у этой системы может в принципе быть, и как их найти? Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев процесс решения системы.

Решать систему (1.4) наиболее удобно самым очевидным путем – последовательным исключением неизвестных (методом Гаусса). Этот метод состоит в следующем. Выразив из первого уравнения системы (1.4) одну неизвестную через другую (например, Y через X) и подставив ее во второе уравнение, после приведения подобных получим в итоге линейное уравнение вида Ax = B с одним неизвестным X. При этом возможны три варианта:

1) . Тогда из уравнения Ax = B однозначно находится X: , а затем по этому X однозначно находится и Y. В итоге получим единственное решение (X; Y) системы (1.4).

2) A = 0, . Тогда уравнение Ax = B оказывается противоречивым (не имеет решений). А вместе с ним не имеет решений и система (1.4).

3) A = 0, B = 0. Тогда уравнение Ax = B принимает вид и удовлетворяется при любых X. При этом для каждого конкретного значений X найдется и соответствующее ему конкретное значение Y. В итоге будем иметь бесчисленное множество (X; Y) системы (1.4).

Итак, система (1.4) в принципе может:

А) иметь одно решение;

Б) не иметь решений;

В) иметь бесчисленное множество решений.

Первый из этих случаев (единственное решение) будет осуществляться как правило. А второй и третий – как исключения. Действительно, лишь когда в уравнении Ax = B величина A окажется равной нулю, будет иметь место либо второй, либо третий случай. Во всех остальных вариантах, когда , будет иметь место первый случай.

Полученные выше выводы имеют и ясную геометрическую интерпретацию. Действительно, каждое из двух уравнений системы (1.4) представляет собой уравнение вида , а следовательно, представляет собой уравнение прямой на плоскости. Значит, решая эту систему, мы определяем на плоскости координаты (X; Y) точек пересечения некоторых двух прямых. Но таких точек у двух прямых, очевидно, может быть:

А) одна (когда прямые пересекаются);

Б) ни одной (когда прямые параллельны);

В) бесчисленное множество (когда прямые совпадают).

Соответственно этим случаям система (1.4) будет иметь или одно решение, или ни одного, или бесчисленное множество. При этом для произвольно взятых прямых случай (а) будет, очевидно, осуществляться как правило, а случаи (б) и, особенно, (в) – как исключение.

Пример 1. Найти точки пересечения прямых и .

Решение. Для нахождения этих точек составим и решим систему из уравнений указанных прямых.

Как выяснилось, данная система имеет единственное решение (; ). Значит, указанные выше прямые пересекаются в единственной точке – точке .

Пример 2. Решить систему уравнений

И дать полученному результату геометрическую интерпретацию.

– нет решений, ибо последнее уравнение остается неверным независимо от значений неизвестных Х И У. Геометрически полученный результат означает, что прямые с уравнениями и параллельны. Это подтверждается и равенством их угловых коэффициентов K1 и K2:

; K1 = 1,5

; K2 =1,5

Пример 3. Решить систему уравнений

И дать полученному результату геометрическую интерпретацию.

–

– бесчисленное множество решений. Действительно, второе уравнение системы, из которого должно было быть определено значение X, привело к правильному числовому равенству 2=2, верному независимо от X (X сократилось и исчезло из уравнения). Следовательно, величина X может быть любой. А другая неизвестная Y, если выбрано значение X, найдется по первому уравнению . В итоге получаем бесчисленное множество решений системы. Например, таких:

1) ; 2) ; 3) ; …

Все эти решения являются координатами точек пересечения тех двух прямых, уравнения которых входят в исходную систему. В силу бесчисленного количества таких точек указанные прямые совпадают.

Да, но тогда должны совпадать и их уравнения! И это действительно так: умножая на 2 обе части уравнения первой прямой, получим равносильное уравнение , полностью совпадающее с уравнением второй прямой.

Вопрос о решении системы (1.4), являющейся простейшей из систем линейных уравнений, мы исчерпали. Перейдем теперь к общему случаю (1.1), но только пока при условии, что , то есть при условии, что количество уравнений системы равно количеству ее неизвестных. Иначе говоря, перейдем к квадратным системам произвольного размера N´ N (N = 3, 4,…), то есть К системам N-го порядка вида

a11X1 + a12X2 +… + a1NXn = b1

Заметим, что при небольших N (при небольших значениях порядка системы (1.5)) неизвестные системы можно обозначать не (X1; X2; …Xn), а, например, (X; Y; Z;…). Но это, естественно, не принципиально.

Систему (1.5) произвольного порядка N, как и простейшую систему (1.4) второго порядка, наиболее естественно и просто решать методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). А именно, из первого уравнения системы выражаем какую-либо неизвестную, например X1, через остальные неизвестные (X2; X2; …Xn)

И подставляем ее во все остальные уравнения системы (второе, третье, … N-е). В итоге во всех уравнениях системы, начиная со второго, будет уже на одну неизвестную (неизвестную X1) меньше. Далее, из второго уравнения выражаем следующую неизвестную X2 через оставшиеся неизвестные (X3; X4; …Xn)

И подставляем ее во все ниже лежащие уравнения (третье, четвертое, … N-е). Ну и так далее до конца. В итоге, если не возникнет сбоев в этой схеме (каких – скажем ниже) мы преобразуем систему (1.5) к следующему равносильному треугольному виду:

(1.6)

Преобразование квадратной системы (1.5) к равносильной ей треугольной системе (1.6) называется Прямым ходом метода Гаусса.

Примечание. Мы указали лишь идею прямого хода метода Гаусса, цель которого – последовательно исключение неизвестных из уравнений системы. На практике же этой цели можно добиться и несколько иначе, причем значительно проще.

Например, чтобы исключить неизвестную X1, содержащуюся в первом уравнении системы (1.5), из второго уравнения, можно обе части первого уравнения разделить на A11, затем обе его части умножить на –A21, и после этого первое уравнение сложить со вторым. В итоге неизвестная X1 во втором уравнении исчезнет (исключится). Аналогично можно исключить неизвестную X1 и из остальных уравнений системы (третьего, четвертого, …, последнего). Далее, по аналогичной схеме, с помощью второго уравнения можно исключить из всех нижележащих уравнений неизвестную X2. И так далее до конца. В итоге мы опять придем к треугольной системе типа (1.6), но только существенно быстрее.

Кстати, неизвестную, исключаемую из других уравнений системы, часто называют Опорной неизвестной, а уравнение, содержащее эту опорную неизвестную и с помощью которого исключается эта опорная неизвестная из других уравнений системы, называется Опорным уравнением. И опорное уравнение, и опорную неизвестную удобно, для наглядности, подчеркивать.

И еще одно существенное замечание: в качестве опорной неизвестной, выбираемой на каждом этапе прямого хода метода Гаусса, удобно выбирать ту, перед которой нет числового коэффициента – только знак (+) или (–). В этом случае треугольная система типа (1.6) будет иметь другой порядок расположения неизвестных, что, конечно, не принципиально.

Пойдем далее. Будем считать, что мы (в той или иной форме) реализовали прямой ход метода Гаусса, сбоев в этой работе не было (осуществился так называемый Стандартный вариант), и нам удалось привести исходную систему (1.5) к равносильной системе типа (1.6) (или такой же, как (1.6), системе, только с другим порядком расположения неизвестных). После этого система (1.6) решается уже просто с помощью Обратного хода метода Гаусса.

Суть его в следующем. Последнее уравнение сразу дает значение неизвестной . Далее, из предпоследнего уравнения, используя найденное значение, вычисляем значение . Потом из третьего снизу уравнения, используя найденные и , находим . Двигаясь таким образом снизу вверх и дойдя до первого уравнения, последовательно определим все неизвестные системы (1.6), а значит, и неизвестные равносильной ей системы (1.5). Набор найденных значений всех неизвестных оказывается единственным, а значит, единственным окажется и полученное в итоге решение <X1; X2; …Xn> системы (1.5).

Все это будет в стандартном варианте. Но возможны и два варианта нестандартных, когда появляются сбои в изложенной выше схеме.

Нестандартный вариант 1. На каком-то этапе осуществления прямого хода метода Гаусса в каком-то из уравнений системы (или даже в нескольких уравнениях) могут исчезнуть (сократиться) все неизвестные, кроме свободных чисел, которые образуют неверное равенство типа , и т. д. Так как в этом уравнении нет неизвестных, то и невозможно сделать его верным за счет какого-то подбора неизвестных. Система, содержащая хотя бы одно такое уравнение, не имеет решений. А значит, не будет иметь решений и исходная система (1.5).

Нестандартный вариант 2. Этот вариант, в отличие от первого нестандартного варианта, будет иметь место, если на каком-то этапе прямого хода метода Гаусса в каком-то из уравнений системы все его члены сократятся, и останется верное числовое равенство . Это, кстати, может случиться и с несколькими уравнениями системы. Отбросив их, мы получим систему, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных (получим так называемую Недоопределенную систему). Кстати, если в системе окажется два или более одинаковых уравнения, то отбросив из дублирующих друг друга уравнений все, кроме одного, мы также получим недоопределенную систему.

Завершив прямой ход метода Гаусса в недоопределенной системе, в последнем уравнении системы мы будем иметь не одну неизвестную (как это получается в стандартном варианте (1.6)), а две или более. Это последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений, ибо в нем все неизвестные, кроме одной, можно задать произвольно (это – так называемые Свободные неизвестные), а оставшаяся неизвестная (Связанная) уже однозначно выражается через свободные неизвестные. После этого в процессе обратного хода метода Гаусса можно однозначно выразить через свободные неизвестные и остальные неизвестные системы (остальные связанные неизвестные). В итоге мы получим бесчисленное множество решений исходной системы.

Итак, подведем итог. Квадратные системы линейных уравнений вида (1.5) при любом их порядке N (N = 2,3,…) могут в принципе:

1) Иметь единственное решение (стандартный вариант).

2) Не иметь решений (нестандартный вариант 1).

3) Иметь бесчисленное множество решений (нестандартный вариант 2).

Стандартный вариант на практике встречается как правило, нестандартные – как исключения.

Пример 1. Решить квадратную систему 3-го порядка

Решение. Применим метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) по схеме, указанной в примечании выше. Опорное уравнение и опорную неизвестную на каждом шаге прямого хода этого метода будем подчеркивать.

Итак, у данной системы оказалось единственное решение (; ; ). Если подставить эти значения неизвестных в уравнения исходной системы, то можно убедиться в том, что все уравнения превращаются в верные числовые равенства. То есть решение системы найдено верно.

А) Прямой ход метода Гаусса:

По второму уравнению получившейся системы ясно, что система не имеет решений. Это и отмечено значком («нет решений»).

Пример 3. Решить систему

Решение. Данная система 3-го порядка однородная, так как столбец ее свободных членов состоит из одних нулей. Значит, по крайней мере, одно решение она заведомо имеет – это тривиальное решение (; ; ). Поищем возможные другие ее решения. Применим метод Гаусса.

Таким образом, у системы оказалось бесчисленное множество решений. В их число (при ) входит и тривиальное решение (; ; ).

Вопрос о квадратных системах линейных уравнений мы исчерпали. Перейдем, наконец, к общему случаю (1.1), когда в системе любое число M уравнений и любое число N неизвестных, причем, вообще говоря, . То есть перейдем к так называемым Прямоугольным системам. Естественно, следует рассмотреть и случай , и случай .

Случай M > N (количество уравнений больше количества неизвестных). Такие системы называются Переопределенными. Они, как правило, не имеют решений. Но, как исключение, они могут иметь единственное решение и даже бесчисленное множество решений. Проиллюстрируем это на примере трех уравнений с двумя неизвестными.

(1.7)

Если в этой системе отбросить какое-то (любое) уравнение, то получим квадратную систему вида (1.4) из двух уравнений с двумя неизвестными. Такая система, как мы знаем, как правило, имеет единственное решение (X; Y). Но третье (отброшенное) уравнение при этих (X; Y) вряд ли удовлетворится, если только оно не является следствием двух других уравнений. А значит, как правило, переопределенная система (1.7) из трех уравнений не будет иметь решений. Но если все же отброшенное уравнение системы (1.7) является следствием двух оставшихся, то тогда каждое решение системы из этих двух оставшихся уравнений будет и решением переопределенной системы (1.7). То есть у нее может быть и одно решение, и даже бесчисленное множество решений.

Все сказанное выше о системе (1.7) становится предельно ясным, если мы учтем, что каждое из уравнений этой системы – это уравнение прямой на плоскости. А значит, решая систему (1.7), мы ищем координаты (X; Y) общих точек трех прямых на плоскости. То есть ищем координаты точек, в которых пересекаются сразу три прямые. Но таких точек у трех произвольных прямых, скорее всего, не будет. А значит, скорее всего, система (1.7) не будет иметь решений.

Однако три прямые на плоскости все-таки могут пресекаться в одной точке, а значит, система (1.7) может иметь решение (X; Y), определяющее координаты этой точки. Более того, все три прямые могут и совпадать. Тогда у них бесчисленное количество общих точек, а значит, в этом случае система (1.7) будет иметь бесчисленное множество решений. Этими решениями будут координаты (X; Y) точек всех трех совпадающих прямых.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений

Решение. Данная система является переопределенной (в ней три уравнения и лишь две неизвестные). Поэтому следует ожидать, что она, скорее всего, не будет иметь решений. Так ли это, выясним с помощью метода Гаусса:

Система действительно не имеет решений, так как два последних ее уравнения противоречат друг другу.

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Урок 17 Бесплатно Уравнение

Часто приходится описывать реальную ситуацию, процесс, явление с помощью математического языка.

Математический язык- универсальный язык, с помощью него можно однозначно и кратко описать многие закономерности, процессы, задачи и т.д.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Описывая реальность с помощью математического языка, люди создают математические модели, превращающие слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель дает возможность решать огромное количество практических (природных, технических, научных, экономических, социальных и других) задач.

Математические модели делят на:

• Словесные.
• Графические (схемы, графики, чертежи, рисунки и т.д.).
• Аналитические (алгебраические: числовые равенства, неравенства, уравнения, формулы и т.д.).

На данном уроке подробно рассмотрим одну из аналитических математических моделей- уравнение.

Выясним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения.

Рассмотрим простейшие виды уравнений.

Разберем способы и приемы решения уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и примеры решения задач с помощью уравнений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Уравнения

Часто при решении задач приходится составлять равенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединенные знаком равно «=», образуют равенство.

В математике различают два вида равенств: тождества и уравнения.

Тождества- это числовые равенства, а также равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Уравнение- это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значение которых можно определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом уравнения (или просто «неизвестным»).

Чаще всего в математике неизвестные величины обозначают маленькими буквами латинского алфавита x, y, z.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Долгое время в математических выкладках не использовали буквенные обозначения и записывали выражения и уравнения словами.

В 1591 году французский ученый философ Франсуа Виет ввел буквенные обозначения. Он предложил использовать гласные буквы латинского алфавита для названия величин, а согласные для неизвестных.

Позже другой французский ученый, философ Рене Декарт предложил иную систему обозначений, связанную с латинскими буквами (которую используют по сегодняшний день).

Для неизвестных было предложено использовать последние буквы латинского алфавита (х, у, z), а для известных величин первые буквы латинского алфавита (а, b, c)

Пример 1:

4 + х = 18 является уравнением с неизвестной х.

12у — 5 = 19 является уравнением с неизвестной у.

(2 + z) — (3 — 1) = 2 является уравнением с неизвестной z.

Все три записи являются равенствами, в каждом из них есть неизвестное число, обозначенное буквой.

Пример 2:

4х — 18 не является уравнением, так как не является равенством.

24 — 5 = 19 не является уравнением, так как не содержит неизвестную.

у + 2 > 12 не является уравнением, так как не является равенством.

Решить уравнение- это значит найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство.

Уравнение считается решенным, если все его решения найдены или доказано, что уравнение решения не имеет.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.

Следовательно, если в уравнение вместо неизвестной подставить ее численное значение и получится верное числовое равенство, то это значение неизвестной будет решением этого уравнения.

Дано уравнение 12 — х + 3 = 10.

1) Пусть х равно 6, получаем

12 — 6 + 3 = 10

9 ≠ 10 (девять не равно десяти)

При подстановке вместо неизвестного число 6, получаем неверное числовое равенство 9 ≠ 10, т.е. число 6 не является корнем уравнения.

2) Пусть х равно 5, получаем

12 — 5 + 3 = 10

10 = 10

При подстановке вместо неизвестного число 5, получаем верное числовое равенство 10 = 10, т.е. число 5 является корнем уравнения.

Уравнение может иметь разное количество корней: существуют уравнения, имеющие один единственный корень, уравнения, имеющие два, три корня.

Встречаются уравнения, вообще не имеющие верного решения, и даже такие уравнения, решением которых являются бесконечное множество решений.

7 — х = 4 уравнение имеет один корень, х = 3, любое другое значение х будет давать неверное равенство.

х = х — 15 уравнение не имеет решения, так как любое значение неизвестного х будет данное равенство обращать в неверное, не существует таких чисел, которые были бы меньше самого себя.

0 ⋅ y = 0 уравнение имеет бесконечное множество верных решений, так как при умножении любого числа на 0, получается 0.

Уравнение, содержащее одну неизвестную, называют уравнением с одной неизвестной.

Уравнения с большим количеством неизвестным называют соответственно уравнением с двумя, тремя и т.д. неизвестными.

Такие уравнения и их решение будете рассматривать в старших классах.

Например, 26 — 2х = 23 — х— это уравнение с одной неизвестной х.

53 — х = 19у— это уравнение с двумя неизвестными х и у.

Любое уравнение имеет левую и правую часть.

Выражение, стоящее слева от знака равно, называют левой частью уравнения, а выражение, которое стоит справа, правой частью уравнения.

Каждый компонент, из которых состоит уравнение, называют членами этого уравнения.

Обычно все члены уравнения, содержащие неизвестное, следует группировать в левой части уравнения, а известные — в правой.

Чаще всего уравнение записывают в левой части страницы, справа делают письменные вычисления (вычислительные операции).

При решении уравнения каждое новое равенство записывается с новой строки (т.е. решение оформляется в виде столбика равенств).

Таким образом, знак равенства при решении уравнения используют только один раз в каждой строке.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

🎥 Видео

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

✓ Пять способов решить задачу с параметром | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика | Борис ТрушинСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Все уравнения с параметром на РешуЕГЭ. Тотальный разбор 17 номера ЕГЭ по математикеСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Параметры с нуля до уровня ЕГЭ. Линейные уравнения. Математик МГУСкачать

✓ Параметры | ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Задание 17 | #ТрушинLive​​ #049 | Борис ТрушинСкачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Системы уравнений 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать