О разрешении алгебраического уравнения лобачевский (8 видео)

Метод Лобачевского при решении алгебраических уравнений

Особое место среди нелинейных уравнений занимают алгебраические уравнения или полиномы -ой степени, которые можно представить в виде:

. (7.5.16)

Для нахождения корней алгебраического уравнения можно использовать методы простой итерации и Ньютона, но, во-первых, эти методы предназначены для отыскания действительных простых корней и, во-вторых, даже если нужно найти только действительные корни необходимо для каждого корня указать интервалы, содержащие изолированные корни и определить начальные приближения.

Для нахождения корней полиномов существует метод Лобачевского. Он не требует определения начальных приближений для корней и позволяет одновременно найти все корни полинома (7.5.16). Недостатком этого метода является тот факт, что при вычислениях приходится иметь дело с числами, которые сильно различаются по порядкам величин.

Пусть коэффициенты полинома (7.5.16) являются действительными числами, а корни пронумерованы в следующем порядке:

. (7.5.17)

Кроме того, будем предполагать, что все корни являются действительными и различными. В основание метода Лобачевского положены следующие соотношения между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (равенства Виетта):

(7.5.18)

Будем говорить, что корни сильно разделены в смысле отношения их модулей, если модуль предыдущего корня во много раз больше модуля последующего корня:

. (7.5.19)

Если выполняются соотношения (7.5.19), то равенства Виетта (7.5.18) значительно упрощаются. Так, первое уравнение в (7.5.18) можно записать в виде:

и, так как для корней выполняется соотношение (7.5.19), то все отношения, стоящие в скобках, будут величинами, пренебрежимо малыми в сравнении с единицей, и ими можно пренебречь. Тогда получим

Аналогичное будет иметь место и для всех остальных равенств Виетта и (7.5.18) можно заменить следующей системой приближенных равенств, верных лишь в принятой точности вычислений:

(7.5.20)

Тогда из (7.5.20) следует, что

. (7.5.21)

Таким образом найти сильно разделенные корни алгебраического уравнения достаточно просто. Поэтому решение уравнения (7.6.16) необходимо начинать с разделения корней. Для этого можно воспользоваться процессом квадрирования, то есть построением последовательности таких полиномов, у которых корни последующего равны квадратам соответствующих корней предыдущего. Это равносильно вычислению коэффициентов для последовательности полиномов по следующим рекуррентным формулам:

(7.5.22)

Процесс квадрирования можно прекратить, если в пределах принятой точности выполняются соотношения:

(7.5.23)

Тогда для полинома

, (7.5.24)

в силу разделенности его корней, выполняются соотношения аналогичные (7.5.21), а модули приближенных значений корней исходного уравнения (7.5.16) можно определить из следующих равенств:

(7.5.25)

где , при этом знаки корней определяются подстановкой в исходное уравнение.

Если корни уравнения (7.5.16) все действительные и среди них есть равные по абсолютной величине, например, и , то для уравнения (7.5.24), полученного после квадрирования, будут справедливы следующие приближенные равенства:

(7.5.26)

Тогда из второго равенства в (7.5.26) следует, что

и любое из этих равенств можно использовать для определения модулей корней и , знаки которых, как и ранее, определяются подстановкой в исходное уравнение.

Если уравнение имеет комплексные корни, то они будут попарно сопряжены, так как все коэффициенты уравнения действительные. Пусть, например, и – пара комплексно соряженные корней. Эти корни можно представить в виде:

. (7.5.27)

Так как и , то для уравнения (7.5.24), полученного после квадрирования, будут справедливы следующие приближенные равенства:

(7.5.28)

Тогда модуль комплексных чисел можно определить из соотношения:

, (7.5.29)

а для определения аргумента можно воспользоваться первым соотношением Виетта в (7.5.18), которое в данном случае будет иметь вид:

. (7.5.30)

Отсюда определяется значение , а .

Таким образом, решение алгебраического уравнения методом Лобачевского осуществляется в несколько этапов.

Разделение корней путем квадрирования, при этом по поведению коэффициентов, получаемых в процессе квадрирования, делается вывод о том, какими являются корни уравнения:

· если все коэффициенты стремятся к квадратам соответствующих коэффициентов, полученных на предыдущем шаге процесса квадрирования, то все корни действительные и различные;

· если какой-то коэффициент стремится к квадрату соответствующего коэффициента, деленному на целое число, то номер этого коэффициента указывает на номер первого из равных по модулю корней уравнения в соответствии с нумерацией (7.5.17), а целое число указывает на количество таких корней;

· если какой-то коэффициент меняет знак в процессе квадрирования, то это указывает на наличие комплексно сопряженных корней, причем номер этого коэффициента указывает на первый из таких корней.

2. Вычисление значений корней по формулам, которые соответствуют сделанным выводам о виде корней.

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 400; Нарушение авторского права страницы

Содержание

» Метод Лобачевского для приближённого решения уравнений». ( Исследовательская работа. Областная научно-практическая конференция учащихся, посвящённая 220-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. Диплом 3 степени.)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Лобачевский: краткая биография и открытия
Лобачевский: биография и открытия кратко
Н.И. Лобачевский (годы жизни 1792-1856)
Вклад Лобачевского в науку
Наследие Лобачевского
📺 Видео

Видео:1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.Скачать

» Метод Лобачевского для приближённого решения уравнений». ( Исследовательская работа. Областная научно-практическая конференция учащихся, посвящённая 220-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. Диплом 3 степени.)

Актуальность исследования заключается в том, что решения уравнений представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники. Но многие уравнения настолько сложны, что возрастает значение методов приближённого решения уравнений.

Объект исследования: уравнение , методы Ньютона,Мюллера и Лобачевского для его приближенного решения.

Предмет исследования: понять, насколько велика значимость метода Лобачевского .

Гипотеза исследования : метод Лобачевского превосходит другие методы по многим параметрам.

Цель работы: сравнить различные методы приближённого решения уравнений; выяснить их « плюсы» и « минусы», определить место метода Лобачевского среди других методов.

Видео:Лекция "Алгебраические уравнения, разрешимые в радикалах" / А.Н. Абызов / 09.06.2017Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
метод Лобачевского	352.5 КБ

Видео:Геометрия Лобачевского и новейшие достижения в теории гравитации и космологии. Сушков С.В.Скачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Ставровская средняя общеобразовательная школа

Секция « Математический анализ»

Тема: «Метод Лобачевского для приближенного решения уравнений»

Выполнил: Процун Григорий Валерьевич, 11 класс

Руководитель: Мартынова Светлана Вячеславовна

Основная ( содержательная часть)______________________________________6-10

Вычислительная техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке.

Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа.

Численные методы направлены на решение задач, которые возникают на практике. Решение задачи численными методами сводятся к арифметическим и логическим действиям над числами, что требует применение вычислительной техники. Условия и решения задач чаще всего являются приблизительными, т.е. имеют погрешности, причиной которых являются несоответствие построенной математической модели реальному объекту, погрешность исходных данных, погрешность метода решения, погрешность округления и т.д.

Решение уравнений – алгебраических или трансцендентных – представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова.

Объект исследования: уравнение , методы Ньютона,Мюллера и Лобачевского для его приближенного решения.

Предмет исследования : понять, насколько велика значимость метода Лобачевского .

Гипотеза исследования : метод Лобачевского превосходит другие методы по многим параметрам.

Цель работы : сравнить различные методы приближённого решения уравнений; выяснить их « плюсы» и « минусы», определить место метода Лобачевского среди других методов.

1.Изучить теоретический материал по теме.

2.Обосновать выбор уравнения .

3. Решить данное уравнение методами Ньютона, Мюллера и Лобачевского.

4. Сравнить данные методы.

5. Сделать выводы.

Информационной базой для написания исследовательской работы послужили труды различных учёных.

Методы исследования : изучение и использование научных и учебных изданий, метод сравнения, сопоставления полученных фактов; аналитический метод.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов, возможность их использования : данная работа предназначена для ознакомления заинтересованным учащимся; материалы можно использовать на уроках и занятиях математического кружка, где математикой занимаются на достаточно высоком уровне.

При выполнении данной исследовательской работы мной были предприняты следующие действия :

— изучены информационные источники;

— изучены и использованы различные методы для решения уравнения;

— сравнил данные методы;

Основная ( содержательная часть).

Настоящая исследовательская работа посвящена нескольким методам решения алгебраических уравнений: методу Лобачевского, Ньютона и Мюллера.

Целью данной работы является: сравнить различные методы приближенного решения уравнений, выявить их плюсы и минусы, определить место метода Лобачевского среди других методов.

Для исследования я решил использовать уравнение

При выборе уравнения я руководствовался следующими соображениями:

1) степень многочлена не должна быть очень высокой

2) уравнение должно иметь иррациональные корни

3) уравнение должно иметь комплексные корни

4) коэффициенты должны быть достаточно большими

Исходное уравнение я получил, перемножая многочлены

и . Соответственно исходное уравнение имеет четыре корня:

Далее я буду действовать так, будто ничего не знаю об этом уравнении.

Следует вычислить производную функции:

Также понадобится схема Штурма:

сначала нужно взять исходный многочлен, затем его производную; поделить многочлен на производную и записать остаток; поделить производную на остаток и записать следующий остаток; поделить первый остаток на второй и так далее, пока не получим число. Большой точности не требуется, коэффициенты можно округлить до десятых. Для данного многочлена схема Штурма выглядит следующим образом:

Далее нужно определить знаки данных многочленов при стремлении х к и (табл.1) . Разность между количеством перемен знаков показывает количество действительных корней, в данном случае их два.

Для методов Ньютона и Мюллера необходимо знать промежутки, на которых находятся корни. Для этого нужно производную приравнять к нулю и решить получившееся уравнение:

Так как мы знаем, что исходное уравнение имеет два корня, то можно сказать, что корни лежат на промежутках от минус бесконечности до -9 и от нуля до плюс бесконечности. Следует заметить, что данные действия можно проделать не всегда.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции . Метод был впервые предложен английским физиком , математиком и астрономом Исааком Ньютоном ( 1643 — 1727 ). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации . Метод обладает квадратичной сходимостью . Улучшением метода является метод хорд и касательных . Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации , в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов» ( лат. «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas»), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» ( лат. «De metodis fluxionum et serierum infinitarum») или «Аналитическая геометрия» ( лат. «Geometria analytica») в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году . В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд , бесконечно малые и флюксии ( производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону , вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам . Он вычислял не последовательные приближения x n , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение.

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году , по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе «Общий анализ уравнений» ( лат. «Analysis aequationum universalis»). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента .

В 1879 году Артур Кэли в работе «Проблема комплексных чисел Ньютона — Фурье» ( англ. «The Newton-Fourier imaginary problem») был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов .

Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации , его необходимо привести к следующей форме: , где — сжимающее отображение .

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:

С учётом этого функция определяется выражением:

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к

При применении метода Ньютона для решения исходного уравнения я сразу же столкнулся с проблемой выбора исходного приближения, но решил эту проблему, вычислив промежутки, на которых находятся корни. Это я сделал в введении . И в качестве начальных приближений я взял крайние точки данных промежутков, то есть -9 и 1 (0 не подходит, так как производная равна нулю, и выражение, используемое при решении не имеет смысла).

Итак, вычисления производятся по формуле

с помощью калькулятора (как и все остальные вычисления).

Все результаты я поместил в таблицы (табл. 2 и табл. 3). Как видно для вычисления первого корня с точностью до семи знаков после запятой (все вычисления будут проводиться с точностью до семи знаков после запятой) понадобилось четыре приближения, что не очень много, однако для вычисления второго корня понадобилось уже четырнадцать приближений, что достаточно много. Также стоит заметить, что вычисления корней проводятся отдельно друг от друга.

Метод Мюллера — итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году.

Метод Мюллера основан на методе секущих , который строит на каждом шаге итерации прямые , проходящие через две точки на графике f. Вместо этого, метод Мюллера использует три точки, строит параболу , проходящую через эти три точки, и в качестве следующего приближения берёт точку пересечения параболы и оси x .

Этот метод более сложен, чем метод Ньютона, так как здесь необходимо вычисление четырех дополнительных переменных и использование трех начальных приближений, а не одного.

При использовании этого метода так же, как и в методе Ньютона, возникает проблема выбора начальных приближений, но и решается она аналогично. В качестве начальных приближений я выбрал 1; 2; 3 и -9; -10; -11.

Вычисления производятся по формулам:

Результаты я оформил в виде таблиц (табл. 4 и табл. 5). Как видно для вычисления первого корня необходимо десять приближений, а для второго – шесть. Это достаточно много, учитывая сложность вычисления. Корни здесь также вычисляются отдельно.

Метод Лобачевского (Лобачевского-Греффе) – результат труда одного из величайших математиков.

При вычислении этим методом используются следующие формулы:

где a i коэффициент многочлена , k – это не степень, а номер шага

На первый взгляд формулы сложны. Но при упрощении получаем:

Вычисления я поместил в таблицы (табл. 6 и табл. 7). Как видно приближений всего лишь пять, и корни вычисляются вместе.

Также возможно вычисление комплексных корней. Для этого нужно вычислить коэффициенты p и q, а затем решить уравнение :

Результаты в таблицах (табл.8 и табл.9).

Таким образом плюсы и минусы рассмотренных методов в следующем:

Сложность подбора начальных приближений для методов Ньютона и Мюллера.
Для методов Ньютона и Мюллера не всегда удается найти промежутки монотонности функции
В методе Мюллера схема вычисления достаточно сложна
В методах Ньютона и Мюллера требуется больше интераций, чем в методе Лобачевского
В методах Ньютона и Мюллера построение последовательности приближений может зациклиться или быть очень запутанным
Метод Лобачевского не подходит для поиска кратных корней и корней близких по модулю
В методе Лобачевского приходится находить корни высоких степеней
Метод Ньютона достаточно прост
Логический аппарат метода Лобачевского весьма мал

Поэтому можно сказать, что метод Лобачевского один из самых эффективных методов вычислений, который при небольшом количестве итераций дает результат с довольно хорошей точностью, поэтому сфера использования этого метода на практике может быть очень широкой . Метод особенно подходит для использования в компьютерных программах. И мне это может понадобиться для моей будущей профессии (я хочу стать фармацевтом), так как метод Лобачевского применяется в задачах по оптимизации в различных физических и химических моделях. Поэтому эта тема очень перспективна. Одна из перспектив – улучшение данного метода, уже есть несколько удачных попыток.

Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. Вузов. —М.: Высш. шк., 1986.
Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Вавилов С. И. Исаак Ньютон . — М.: Изд. АН СССР, 1945.
Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ — М.: Мир, 1985.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — Энергоатомиздат, 1972.
Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — МИФИ, 2002.

Биография Н.И. Лобачевского.

Лобачевский, Николай Иванович (рис.1) — великий математик, один из творцов неевклидовой геометрии. Родился 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии. Учился в Казанском университете; рано обратил на себя внимание успехами в математике, но аттестован инспекцией как «юноша упрямый, нераскаянный, весьма много о себе мечтательный», проявляющий даже «признаки безбожия». Только заступничество профессоров предотвратило исключение Лобачевского из университета и доставило ему в 1811 г.; после данного им обещания исправиться, степень магистра. К тому же году относятся первые (ненапечатанные) работы Лобачевского: комментарий на один из вопросов «Небесной механики» Лапласа и мемуар, написанный под влиянием изучения «Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса и его наблюдения над большой кометой.

В 1814 г. Лобачевский получил звание адъюнкта и приступил к чтению лекций по теории чисел. В последующие годы Лобачевский читал лекции по самым разнообразным отделам математики, а также по физике и астрономии; вместе с тем, он привел в порядок библиотеку университета, упорядочил издательскую его деятельность, позаботился о возведении ряда построек для университета. После ухода Магницкого Лобачевский, тому времени ординарный профессор, был избран в ректоры (1827) и занимал эту должность в течение 19 лет.

В 1828 г. он произнес замечательную речь «О важнейших предметах воспитания», в которой отразилось его увлечение просветительными идеями XVIII столетия. В 1846 — 1855 годах Лобачевский занимал должность помощника попечителя казанского учебного округа.

Скончался 12 февраля 1856 г. Громкая слава Лобачевского основана на его геометрических изысканиях, начатых в 1814 — 1817 годах. Сохранившаяся запись лекций Лобачевского, читанных в эти годы, показывает, что первоначально Лобачевский стоял на традиционной точке зрения, предлагая разные доказательства аксиомы параллельных линий; но уже в 1823 г., в составленном им учебнике геометрии (издан в 1910 г. казанским физико-математическим обществом), он высказался в том смысле, что «строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны. не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».

К 1826 г. он пришел к определенной формулировке своей новой геометрической системы, которую назвал «воображаемой геометрией» в отличие от «употребительной», евклидовой. О сущности геометрии Лобачевского см. Геометрия (Брокгауз-Ефрон, XIII, 97 и сл.). Гениальное открытие Лобачевского, сделанное им независимо от одновременных работ других геометров, было им впервые сжато изложено в феврале 1826 г. в заседании отделения физико-математических наук (см. «О началах геометрии», «Казанский Вестник», 1829 — 1830) и затем наиболее полно развито в «Новых началах геометрии с полной теорией параллельных» («Ученые Записки Казанского университета», 1835 — 1838). Совершенно не понятый соотечественниками, Лобачевский постарался ознакомить со своей системой западноевропейских ученых и напечатал в 1837 г. «Geometrie imaginaire» («Journal Crelle»), в 1840 г. — «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien» (Берн) и в 1855 г., с напряжением последних сил, почти уже ослепший — «Pangeometrie ou precis de geometrie, fondee sur une theorie generale et rigoureuse des paralleles» (в юбилейном сборнике Казанского университета, Казань, 1856). Однако, и за границей идеи Лобачевского остались непонятыми: единственный человек, по достоинству их оценивший, Гаусс, при жизни воздерживался от открытого признания неевклидовой геометрии.

В 1860-х годах была опубликована переписка Гаусса, где он свидетельствует, что развитие неевклидовой геометрии сделано у Лобачевского «мастерски в истинно геометрическом духе». С тех пор заслуги Лобачевского постепенно приобретают общее признание. Сочинения Лобачевского переводятся на иностранные языки; Казанский университет, по почину француза Гуэля, предпринимает издание «Полного собрания сочинений по геометрии Лобачевского» (Казань, 1883 — 1886); в 1893 г., к столетию со дня рождения Лобачевского, ему воздвигается на собранные международной подпиской средства памятник в Казани, и учреждается премия его имени за сочинения по неевклидовой геометрии. При жизни Лобачевского известность доставили ему труды по другим вопросам математики и здесь в некоторых отношениях он предвосхитил позднейшее развитие науки (различение непрерывности и дифференцируемости, слитное изложение планиметрии и стереометрии).

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Лобачевский: краткая биография и открытия

Видео:#223. МИФЫ И ЛЕГЕНДЫ школьной математикиСкачать

Лобачевский: биография и открытия кратко

Николай Иванович Лобачевский, великий российский математик, получил всемирную известность как автор неевклидовой геометрии.

Служил преподавателем, деканом и ректором в знаменитом на всю Россию Казанском университете.

Н.И. Лобачевский (годы жизни 1792-1856)

Н.И. Лобачевский появился на свет в Нижнем Новгороде в конце 1792 г. в небогатой семье провинциального чиновника. В 1800 году отец умирает, и вдова с сыном переезжает в Казань.

С 1802 по 1806 год Коля учился в гимназии. Затем поступил в Казанский университет. В то время курс математики читал близкий друг Гаусса — М.Ф. Бартельс, сразу заметивший выдающиеся способности бедного студента и взявший его под свою опеку.
В 1811 г., получив красный диплом и защитив степень магистра, юный Лобачевский получает остается работать в университете. Спустя несколько месяцев им был представлен научному сообществу первый труд — “Теория эллиптического движения небесных тел”, а через два года второй – “О разрешении алгебраического уравнения”.
Спустя три года ученый занял должность адъюнкта, затем — профессора. Он читает лекции по математике, астрономии, физике. В 1819 г. избран деканом факультета физики и математики, затем, в период 1827-1846 гг., служил ректором, не прекращая научную работу.
Весной 1819 г. в университет прибывает ревизор — М.Л. Магницкий, признавший весьма плачевным состояние дел в вузе и вынудивший Лобачевского подать в отставку. Здоровье Лобачевского резко ухудшилось, как и его финансовое состояние, он был вынужден продать все свое имущество.
В 1832 году Николай Иванович женился, его супруга Варвара Моисеева родила 18 детей, большинство из которых умерло во младенчестве, выжили лишь семеро. В 1852 г. умирает старший сын ученого, эта потеря усугубила и без того плохое состояние здоровье ученого, у него резко ухудшилось зрение. Но и ослепнув, он посещал экзамены и торжества в университете, принимал участие в ученых диспутах, работал над своими трудами. Его главную работу «Пангеометрия» записывали студенты под диктовку.

Умер великий математик в феврале 1856 г., спустя 30 лет после первого опубликования его теории неевклидовой геометрии. Могила находится в Казани, на Арском кладбище.

После смерти имя великого математика было увековечено в названиях улиц и библиотек, одного из лунных кратеров.

В 1895 году было принято решение об учреждении премии Лобачевского, которая вручалась вместе с одноименной медалью.

Вклад Лобачевского в науку

Как считал ученый, аксиома параллельности, выдвинутая Евклидом, была жестким произвольным ограничением, и он выдвинул свою аксиому о прохождении множества параллельных прямых через не находящуюся на прямой точку.

Свое открытие Николай Иванович обнародовал в 1826 году, затем написал еще несколько работ по этой тематике.

Научное сообщество России не приняло идеи Лобачевского, и ученый в 1837 г. публикует в Германии труд “Воображаемая геометрия”.

Великий математик Гаусс продвигает заинтересовавшие его идеи русского математика. Чтобы ознакомиться с оригинальным текстом, он начал учить русский язык.

Гаусс рекомендует избрать русского математика членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества, и в 1842 г. это событие произошло.

На счету у Лобачевского и другие открытия. Им были разработаны:

способ приближенного решения уравнений;
ряд теорем, касающихся тригонометрических рядов;
понятие о признаке сходимости рядов:
понятие о непрерывной функции;
способ численного решения уравнений.

Ученый, опередивший современников на десятки лет, не был по достоинству оценен ими.

Написанные им 2 учебника по алгебре и геометрии для гимназистов остались непризнанными. Кардинально пересмотрев понятия эпохи Евклида, он открыл новую геометрию.

Но составленный им доклад о геометрических началах не получил вообще никакой оценки от именитых профессоров, а сама рукопись затерялась.

В 1930 году журнал “Казанский вестник” публикует работу ученого “О началах геометрии”.

В ней были изложены важные геометрические открытия, а также дано описание уточненного определения функции.

Наследие Лобачевского

Занимая должность ректора Казанского университета, Лобачевский повысил уровень научно-учебной деятельности учебного заведения, под его руководством было построено множество служебных зданий, был основан научный журнал. Именно благодаря Лобачевскому университет в Казани считался одним из лучших.