Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений

Видео:ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать

Метод решения уравнений по определению логарифма

Видео:Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #4 Определению логарифма доверяй, но корни проверяйСкачать

Для решения каких уравнений применяется

Метод решения уравнений по определению логарифма применяется для решения уравнений, в левых частях которых находятся логарифмы некоторых выражений с переменной, а в правых частях – числа или некоторые выражения с переменной. Этим уравнениям отвечает общая формула log_h(x)f(x)=g(x) .

Для наглядности приведем несколько примеров уравнений, для решения которых подходит метод решения по определению логарифма. Сравнительно простые уравнения имеют числа в основаниях логарифмов и в правых частях. Такими, например, являются логарифмические уравнения log₉(x−1)=−1/2 , log₂(x 2 +4·x+3)=3 и др. В основаниях логарифмов и/или в правых частях сравнительно сложных уравнений находятся выражения с переменными: , log₂(9−2 x )=3−x и log_x(3·x lgx +4)=2·lgx .

Видео:Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать

Суть метода решения уравнений по определению логарифма

Суть метода решения уравнений по определению логарифма состоит в переходе от решения уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к решению уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на области допустимых значений переменной x для исходного уравнения.

Возникает логичный вопрос: «Причем здесь определение логарифма»? А вот причем. Определение логарифма позволяет заменять равенство log_rp=q равенством p=r q при условии, что p>0 , r>0 , r≠1 . Переход от логарифмического уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) – это аналог замены log_rp=q на p=r q , а нахождение в рамках ОДЗ для исходного уравнения (ОДЗ определяется условиями f(x)>0 , h(x)>0 , h(x)≠1 и D(g) ) – это аналог выполнения условий p>0 , r>0 , r≠1 .

Например, решение уравнения log_x(5·x+3−x 2 )=2 (это уравнение имеет вид log_h(x)f(x)=g(x) , где f(x)=5·x+3−x 2 , h(x)=x , g(x)=2 ) по определению логарифма подразумевает переход к решению уравнения 5·x+3−x 2 =x 2 ( f(x)=(h(x)) g(x) ) на ОДЗ для исходного уравнения.

Видео:ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: ОДЗ ИЛИ НЕ ОДЗ?Скачать

Обоснование метода

Решение уравнений по определению логарифма проводится на базе следующей теоремы:

Множество решений уравнения log_h(x)f(x)=g(x) совпадает с множеством решений уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на ОДЗ переменной x для уравнения log_h(x)f(x)=g(x) .

Из определения логарифма напрямую следует, что формула log_rp=q , p>0 , r>0 , r≠1 выражает то же самое, что и формула p=r q . Это будем использовать дальше.

Пусть x₀ – корень уравнения log_h(x)f(x)=g(x) . Тогда log_h(x0)f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Из этого равенства с учетом сказанного в предыдущем абзаце следует, что f(x₀)=(h(x₀)) g(x₀) – верное равенство. А из этого следует, что x₀ – корень уравнения f(x)=(h(x)) g(x) .

Теперь обратно. Пусть x₀ – корень уравнения f(x)=(h(x)) g(x) , причем x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения log_h(x)f(x)=g(x) . Из того, что x₀ – корень уравнения f(x)=(h(x)) g(x) следует, что f(x₀)=(h(x₀)) g(x₀) – верное числовое равенство. Из того, что x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения log_h(x)f(x)=g(x) следует, что логарифм log_h(x0)f(x₀) имеет смысл. А из двух последних выводов и утверждения из первого абзаца вытекает, что log_h(x0)f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Это в свою очередь означает, что x₀ – корень уравнения log_h(x)f(x)=g(x) .

Это доказывает теорему в целом.

Итак, в общем случае уравнения log_h(x)f(x)=g(x) и f(x)=(h(x)) g(x) не являются равносильными уравнениями. Уравнение f(x)=(h(x)) g(x) в общем случае есть следствие уравнения log_h(x)f(x)=g(x) . То есть, при переходе от уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) могут появляться посторонние корни. Причина появления посторонних корней – это расширение ОДЗ. Например, при переходе от уравнения log_x(−x 2 +5·x+3)=2 к уравнению −x 2 +5·x+3=x 2 происходит расширение ОДЗ (пропадают накладываемые логарифмом ограничения на значения переменной), а это влечет появление корня x=−1/2 , который является посторонним для исходного уравнения. Действительно, при x=−1/2 исходное уравнение log_x(−x 2 +5·x+3)=2 не имеет смысла (в основании логарифма оказывается отрицательное число). Таким образом, при решении уравнений по определению логарифма нужно помнить про необходимость отсеивания посторонних корней.

Однако необходимо заметить, что если в основании логарифма в уравнении находится число, а не выражение с переменной, то при переходе по определению логарифма посторонние корни не возникают. Другими словами, уравнения log_af(x)=g(x) и f(x)=a g(x) , где a большее нуля и отличное от единицы число, — равносильные. Действительно, в дополнение к уже доказанной теореме несложно доказать, что любой корень x₀ уравнения f(x)=a g(x) является корнем уравнения log_af(x)=g(x) безо всяких оговорок про ОДЗ. Так, если x₀ – корень уравнения f(x)=a g(x) , то f(x₀)=a g(x₀) – верное числовое равенство. Из последнего равенства и из того, что a g(x₀) >0 как степень положительного числа, следует, что f(x₀)>0 . Из этого в свою очередь следует, что log_af(x₀) имеет смысл. А из этого и из равенства f(x₀)=a g(x₀) в силу определения логарифма вытекает, что log_af(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Значит, x₀ – корень уравнения log_af(x)=g(x) .

• при переходе по определению логарифма от уравнения log_af(x)=g(x) к уравнению f(x)=a g(x) , где a — число, a>0 , a≠1 , посторонние корни не возникают,
• а при переходе от уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) , где h(x) — выражение с переменной, могут возникать посторонние корни.

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Алгоритм решения уравнений по определению логарифма

Вся приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнений по определению логарифма.

Чтобы решить уравнение log_h(x)f(x)=g(x) по определению логарифма, надо

1. перейти к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) ,
2. решить это уравнение,
3. Если в основании логарифма в исходном уравнении находится число, то записать полученные на предыдущем шаге корни в ответ. Если же в основании логарифма в исходном уравнении находится выражение с переменной, то надо провести отсеивание посторонних корней любым удобным способом.

Видео:Круговорот воды в природе ➜ Решение логарифмических уравнений из ЕГЭ #ShortsСкачать

Примеры с решениями

Решите уравнение по определению логарифма: log₂(9−2 x )=3−x

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, в первую очередь нам надо перейти от исходного уравнения log₂(9−2 x )=3−x к уравнению 9−2 x =2 3−x .

Теперь нам надо решить полученное уравнение 9−2 x =2 3−x . Это показательное уравнение. Решаем его:

Итак, уравнение 9−2 x =2 3−x имеет два корня 0 и 3 .

Нужна ли проверка найденных корней для исходного уравнения log₂(9−2 x )=3−x ? Проверка необязательна, так как в основании логарифма находится число, а не выражение с переменной. Так что на этом решение уравнения по определению логарифма завершено, записываем оба корня 0 и 3 в ответ.

Решите уравнение

Вид уравнения таков, что решать его можно по определению логарифма. На первом шаге этот метод предполагает переход от исходного уравнения к уравнению .

Теперь надо решить полученное уравнение . Это иррациональное уравнение. Решаем его:

Так мы решили уравнение , оно имеет единственный корень 8 .

Нужно ли проверять найденный корень на предмет того, не является ли он посторонним для исходного уравнения? Давайте смотреть. В решаемом уравнении в основании логарифма находится выражение с переменной. А мы знаем, что в этом случае переход по определению логарифма может быть неравносильным. Поэтому, следует сделать проверку.

Проверку можно делать любым способом, хоть по ОДЗ, хоть через подстановку. Давайте сделаем проверку подстановкой. Подстановка числа 8 в исходное уравнение дает в основании логарифма отрицательное число: . Отсюда делаем вывод, что 8 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Таким образом, уравнение вообще не имеет корней.

Видео:11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Видео:Методы решения логарифмических уравненийСкачать

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Видео:Решение Логарифмических уравнений видеоурок. Решение Логарифмических уравнений полный разбор.Скачать

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

Урок по математике на тему «Решение логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Семилукская вечерняя (сменная) общеобразовательная школа

Разработала: учитель М.П.Шершнева

Тема: «Решение логарифмических уравнений»

1) закрепить умения, полученные на предыдущем уроке, по решению логарифмических уравнений;

2) повторить свойства логарифмов;

3) повторить способы решения уравнений.

Оборудование: ноутбуки, мультимедиа-проектор, экран.

Межпредметные связи: информатика и ИКТ ( Практическая работа № 1 «Построение модели решения уравнения в MS Excel »).

II. Проверка домашнего задания.

III. Устные удержания.

IV. Арифметический диктант.

V. Закрепление решения логарифмических уравнений.

VI. Историческая справка.

VII. Итог урока. Оценки.

VIII. Домашнее задание.

II. Проверка домашнего задания.

Первый ученик выполняет задания на карточке.

Проверка:

Дополнительное задание: написать определение логарифма.

Ответ:

В это же время ученик выполняет на доске задание:

Почему (–3) является посторонним корнем?

Второй ученик выполняет задание:

Обозначим через у

1)

2)

Дополнительный вопрос: Почему (–1) не является посторонним корнем?

Из равенства логарифмов следует:

Ответ: решений нет.

Дополнительный вопрос: какие уравнения называют логарифмическими?

III . Устные упражнения

1. Сколько способов для решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на предыдущем уроке? (6).

3. Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений? (Да.)

4. Почему? (Возможно появление посторонних корней.)

а)

б)

в)

г)

д)

6. Как решается уравнение, содержащее неизвестное и в основании, и в показателе степени, например:

(Логарифмируем обе его части: )

IV . Диктант (самостоятельная работа на карточках).

1. (х=3 3 =27)

2. ( x =5) .

3. (x=0,01).

4. (x=4)

5. (x=5)

6. (x – любое число).

7. (x=5).

8. (x=1).

9.

1) Ученик у доски комментирует запись на карточке.

Решить уравнение: lg ( x 2 + 75) – lg ( x – 4) = 2

lg(x 2 + 75 – lg(x – 4) = lg100

x 2 – 100x + 475 = 0

1) lg (95 2 + 75)–lg (95 – 4) = lg 9100 – lg 91 = lg 100 = 2;

2) lg (5 2 + 75) – lg(5 – 4)=lg100 – lg 1 = lg100 =2.

Дополнительный вопрос: какие логарифмы называются десятичными?

2) Ученик решает на обратной стороне доски, класс решает самостоятельно с последующей проверкой.

Проверка: 1) log ₅ (0 – 4) + log (0 – 2) = log ₅ (0 + 2).

l og отрицательных чисел не существует.

3)

Дополнительный вопрос: какое уравнение называется логарифмическим?

3) Решите уравнение приведением логарифмов к одному и тому же основанию.

log _1/2 2 = –1

Проверка: log ₂ 4 – log _1/2 4 = 2 – (–2) = 4

4) Ученик комментирует.

Прологарифмируем обе части.

Проверка: 1) 3 log 3 = 3 1 = 3;

2)1/3 log 1/3 = (1/3) –1 = 3

Ученики на ноутбуках выполняют задание:

Решить графически (с использованием компьютерной программы MS Excel ):

Решение в программе MS Excel :

Правильное решение для проверки выводится учителем с помощью проектора на экран.

VI . Историческая справка.

Ученик делает доклад на тему «Из истории логарифмов».

Чем мы занимались сегодня на уроке?

Сколько всего способов решения мы рассмотрели? (6.) Перечислите.

Чем отличается логарифмирование от потенцирования?

Какие логарифма вы знаете?

Какие логарифмы называются десятичными?

Учитель выставляет оценки за работу на уроке.

VIII . Д/з: № 6(е), № 8(б), № 10(б), № 11(д)
(стр.311 из учебника «Алгебра и начала анализа» под редакцией Г.Д. Глейзера).

Краткое описание документа:

Разработка открытого урока по математике на тему «Решение логарифмических уравнений». Урок проводился в 12 классе Семилукской вечерней (сменной) общеобразовательной школы.

1) закрепить умения, полученные на предыдущем уроке, по решению логарифмических уравнений;

2) повторить свойства логарифмов;

3) повторить способы решения уравнений.

Оборудование: ноутбуки, мультимедиа-проектор, экран.

Межпредметные связи: информатика и ИКТ (Практичская работа № 1 «Потсроение модели решения уравнения в MS Excel»).

Построение модели решения уравнения в MS Построение модели решения уравнения в MS Построение модели решения уравнения в MS Практическая работа № 1 «Построение модели решения уравнения в MS Excel Практическая работа № 1 «Построение модели решения уравнения в MS Excel Практическая работа № 1 «Построение модели решения уравнения в MS Excel

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 693 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 859 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 49 человек из 21 региона

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 841 924 материала в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 18.01.2015
• 942
• 0

• 18.01.2015
• 3059
• 31

• 18.01.2015
• 11167
• 54

• 18.01.2015
• 791
• 0

• 18.01.2015
• 25538
• 164

• 18.01.2015
• 7593
• 62

• 18.01.2015
• 943
• 0

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 18.01.2015 725
• DOCX 167.5 кбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шершнева Мария Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 3436
• Всего материалов: 8

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Избавляемся от лишних корнейСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Госдума рассматривает проект о регулировании «продленок» в школах

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения проведет Всероссийский конкурс для органов опеки и попечительства

Время чтения: 1 минута

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Инфофорум о буллинге в школе: итоги и ключевые идеи

Время чтения: 6 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🔥 Видео

Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать

Особенности решения логарифмических уравнений — финалСкачать

§19 Логарифмические уравненияСкачать

Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать

Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать