Рассмотрим уравнение с частными производными вида
где u=u(x, y, z). Это уравнение называется уравнением Лапласа.
Левая часть обозначается Δu и называется оператором Лапласа. Таким образом, это уравнение преобразуется к виду:
Данному уравнению удовлетворяет потенциал скорости безвихревого течения несжимаемой (с постоянной плотностью) жидкости; потенциал сил тяготения или сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс или вне зарядов, создающих поле; температура в однородном теле, если теплообмен является стационарным, т.е. температура u зависит только от места, но не от времени и др.
называется уравнением Пуассона.
Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона является уравнениями эллиптического типа.
Определение. Функцию, непрерывную в некоторой области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармонической.
Обычно в задачах, связанных с уравнением Лапласа или Пуассона, искомое решение должно удовлетворять уравнению в области D, а также некоторому дополнительному условию на границе S области D.
Если надо определить функцию, гармоническую в области D, когда на границе S области D заданы ее значения, т.е.
(первая краевая задача), то такая задача называется задачей Дирихле.
Если же надо определить функцию, гармоническую в области D, когда на границе S задается значение нормальной производной
(вторая краевая задача), то такая задача называется задачей Неймана.
Определение. Если решение задачи ищут в области D, внутренней (внешней) по отношению к поверхности S, то соответствующую задачу называют внутренней (внешней) краевой задачей.
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Фундаментальные решения уравнения Лапласа
Рассмотрим уравнение Лапласа
где оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат определяется соответственно
Важную роль при решении задач для уравненийй Лапласа и Пуассона представляют решения, обладающие сферической или цилиндрической симметрией.
Найдем решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию сферической симметрии, когда функция u зависит только от расстояния 
точки M(x, y, z) до начала координат. В этом случае уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет вид
Интегрируя это уравнение, получим
которая удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки r=0, где она обращается в бесконечность. Такую функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве.
В задаче с осевой симметрией, когда функция u в цилиндрической системы координат не зависит от φ и z, уравнение Лапласа имеет вид
Интегрируя это уравнение, получим
Эта функция называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.
Видео:Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать
ТЕМА: Уравнения эллиптического типа
ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ
1 Теоретические обоснования уравнений эллиптического типа………………. 4
1.1. Задачи приводящие к уравнению Лапласа………………. 5
1.2. Уравнение Шредингера и его стационарный аналог. 9
1.3. Уравнение Гельмгольца……………………………………………. ……10
2 Примеры решения задач на уравнения эллиптического типа……………………12
Список использованных источников……………………………………………. …16
В курсовой работе будут рассмотрены уравнения эллиптического типа.
Актуальность исследования заключается в том, что благодаря данному типу уравнений можно описать стационарные процессы, проходящие в различных физических полях. Например, с помощью уравнения Пуассона можно описать электростатическое поле, поле давления [1].
Исследование затронет следующие проблемы: применение уравнений эллиптического типа на практике и способы их решения.
Целью исследования является: изучение вопроса, касающегося применения уравнений эллиптического типа на практике.
Основными задачами, поставленными для достижения цели можно считать:
— ознакомиться с положениями, характеризующими уравнения эллиптического типа;
— выявить основные уравнения, относящиеся к данному типу;
— освоить навык решения задач, используя данные уравнения;
— показать специфику проблем, которые могут возникнуть на этапах решения.
Объектом исследования заданной темы являются дифференциальные уравнения в частных производных.
Предметом исследования выступают уравнения эллиптического типа.
Теоретической и методологической основой исследования послужили труды отечественных и зарубежных деятелей, методические пособия по дисциплине «методы математической физики».
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Помимо физических явлений, развивающихся в пространстве и во времени, существует множество процессов, которые не изменяются с течением времени. Эти процессы называются стационарными. При исследовании данных процессов, различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Примерами могут выступать:
1. Уравнения Лапласа и Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.
2. Стационарный аналог уравнения Шредингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
3. Уравнение Гельмгольца.
4. Уравнения, получаемые из уравнения Максвелла, если предполагается, что электромагнитное поле не изменяется с течением времени [1].
Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа
.
Этим уравнением характеризуется гравитационный и электростатический потенциалы в точках свободного пространства, оно описывает потенциал скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости, и оно же справедливо для температуры однородной изотропной среды при установившемся движении тепла.
Функция 
называется гармонической в области 
, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяют уравнению Лапласа.
При изучении свойств гармонических функций были разработанные различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениями гиперболического и параболического типов [1].
1.1. ЗАДАЧИ ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач.
Рассматривается стационарное тепловое поле. Температура нестационарного теплового может быть представлена дифференциальным уравнением теплопроводности
Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры 
, не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа
 | (1) |
При наличии источников тепла получается уравнение
 | (2) |
где 
– плотность тепловых источников, а 
– коэффициент теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа (2) часто называют уравнением Пуассона.
Рассматривается некоторый объем 
, ограниченный поверхностью 
. Задача о стационарном распределении температуры внутри тела 
формулируется следующим образом:
Найти функцию 
, удовлетворяющую внутри Т уравнению
 , | (3) |
и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:
I. 
на 
(первая краевая задача);
II. 
на 
(вторая краевая задача);
III. 
на 
(третья краевая задача).
где 
, 
, 
, 
— заданные функции, 
– производная по внешней нормали к поверхности
Первую краевую задачу называют для уравнений Лапласа часто называют задачей Дирехле, а вторую задачу – задачей Неймана.
Если ищется решение в области 
, внутренней (или внешней) по отношению к поверхности 
, то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей [3].
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля.
В качестве второго примера будет рассмотрено потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри некоторого объема 
с границей 
имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность 
), характеризуемое скоростью 
. Если течение жидкости не вихревое, то скорость 
является потенциальным вектором, т.е
 | (4) |
где 
– скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то
 . | (5) |
При подстановке сюда выражения (3) для υ, выходит:
,
 , | (6) |
то есть потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть в однородной проводящей среде имеется стационарный ток с объемной плотностью 
. Если в среде нет объемных источников тока, то
 . | (7) |
Электрическое поле 
определяется через плотность тока из дифференциального закона Ома
 | (8) |
где 
– проводимость среды.
Поскольку процесс стационарный, то электрическое поле является безвихревым или потенциальным, т.е. существует такая скалярная функция 
для которой
  ). | (9) |
Отсюда на основании формул (6) и (7) заключается, что
| , | (10) |
т.е. потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа.
Рассматривается электрическое поле стационарных зарядов. Из стационарности процесса следует, что
 , | (11) |
т.е. поле является потенциальным и
 . |
Пусть 
– объемная плотность заряда, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной 
.
Исходя из основного закона электродинамики
 | (12) |
где – некоторый объем, 
– поверхность, его ограничивающая, где 
– сумма всех зарядов внутри , и пользуясь теоремой Отроградского
 | (13) |
.
При подстановке сюда выражение (8) для 
, выходит:
 , | (14) |
т.е. электростатический потенциал 
удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет 
, то потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа
Нами был рассмотрен ряд процессов. Основные краевые задачи для которых относятся к трем типам, приведенным выше [1].
1.2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ЕГО СТАЦИОНАРНЫЙ АНАЛОГ
В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией 
, квадрат модуля которой имеет смысл плотности вероятности найти частицу в окрестности данной точки 
в момент времени 
[2]. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера
где 
— постоянная Планка. Оператор Гамильтона 
для движения частицы в поле 
имеет вид
Уравнение Шредингера является уравнением в частных производных второго порядка по координатам, но первого порядка по времени. В отличие от волнового уравнения, чтобы выделить частное решение из общего, надо задавать при 
одно начальное условие, а не два.
Если искать решение в виде стационарных состояний 
, имеющих определенную энергию 
, то время можно исключить и получить стационарное уравнение Шредингера
 | (15) |
Требуется найти не только решение 
, но и такие значения энергии , при которых эти решения удовлетворяют граничным условиям. Такая постановка называется спектральной задачей [3].
1.3 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, получаемое из уравнение Максвелла, если предполагается, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Может быть представлено как
где 
– это оператор Лапласа, а неизвестная функция 
определена в 
(на практике уравнение Гельмгольца применяется для 
).
В уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Для примера рассматривается волновое уравнение:
 | (16) |
Пусть функции 
и 
допускают разделение переменных: 
, и пусть 
. Нужно заметить, что в пространстве Фурье – преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель 
. Таким образом, уравнение приводится к виду:
 | (17) |
где 
= 
— это квадрат модуля волнового вектора.
Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса 
в полярных координатах 
уравнение принимает вид:
 | (18) |
Метод разделения переменных позволяет перейти к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от 
:
 | (19) |
 | (20) |
а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:
 | (21) |
Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции 
, где 
– i-корень функции Бесселя λ-го порядка [4].
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В отличие от смешанных задач, для эллиптических уравнений ставится только краевая задача
где 
– внешняя нормаль к границе области 
.
При этом, если 
, задача называется задачей Дирихле, если 
, задачей Неймана, если 
то задача называется смешанной.
Задачи буду решаться в полярных или сферических координатах. Заданные краевые условия произвольные, неоднородные. Однородные краевые условия для нахождения собственных функций возникают из-за того, что области имеют специальный вид, а потому решение должно иметь период 
, а в случае 
прибавляются условия 
(уравнение Лапласа в новых координатах при этом имеет особенность). [5].
Предлагаю рассмотреть метод нахождения решения уравнения Лапласа в круге, то есть метод нахождения функции 
, удовлетворяющий уравнению Лапласа внутри круга радиусом 
c центром в полюсе полярной системы координат и граничному условию на окружности
где 
– заданная функция, непрерывная на окружности.
Задача № 1. Решить краевую задачу для уравнения 
в круге 
, если на границе круга 
φ.
Решение: Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид
 | (22) |
1. Частное решение уравнения в соответствии с методом Фурье ищется в виде
причем 
и 
периодическая с периодом 
При подстановке 
в уравнение (22) и разделяя переменные, выходит
Поэтому функции 
и являются решениями связанных задач:
a) 
b) 
2. Решается задача 
Общее решение уравнения 
имеет вид
 | (23) |
где 
и 
– константы.
Это решение периодично при 
и имеет период 
при
Если 
Если 
3. Решается задача 
Если 
Общее решение этого уравнения
Так как 
Если 
, 
Общее решение этого уравнения
Так как 
4. Вспомогательные решения имеют вид:
5. Тогда решение исходной задачи ищется в виде
6. При использовании граничного условия 
sin3φ,
получается 
sin3φ. Отсюда
В результате
Ответ:
Задача № 2. Решить краевую задачу 
Решение: Проводятся преобразования, аналогичные предыдущей задачи до момента нахождения коэффициентов 
.
Нужно представить граничное условие в виде
Следовательно, 
Далее предлагаю рассмотреть примеры решения краевых задач уравнения Гельмгольца.
Задача № 3. Решить краевую задачу для уравнения Гельмгольца в круге
(здесь 
, где 
– собственное значение однородной задачи Дирехле для уравнения 
).
Решение: Используя метод разделения переменных (метод Фурье). Полагая, 
и подставляя предполагаемую форму решения в Уравнении Гельмгольца, получается
где – постоянная разделения.
Собственные значения и собственные функции определяются как решения данной задачи:
Выходит 
то для определения 
получается уравнение
 | (24) |
Обозначив 
, переписывается уравнение (24) в виде
Это уравнение Бесселя порядка . Его общее решение есть
где 
– функция Бесселя первого рода порядка 
– функция Бесселя второго рода порядка 
– произвольные постоянные.
Значит, решение уравнения (1) имеет вид
Поскольку 
и имеется дело с ограниченными решениями, то полагаем 
Таким образом, 
. Решение нашей задачи представляется рядом
 | (25) |
Постоянные 
находятся из граничного условия. Полагая в (25) 
, получаем
В частности, при 
выходит
и в этом случае решение имеет вид
В проделанной нами работе, мы акцентировали внимание на такой теме как «Уравнения эллиптического типа». В ходе нашего исследования мы сумели выполнить поставленные перед нами задачи, что повлекло за собой достижение цели работы. Изучив теоретические материалы, мы разобрались с основными уравнениями, научились выводить их и применять в решениях задач. Были обозначены проблемы и пути их решения. В качестве примера выступили три задачи, требующие решение эллиптического уравнения.
Материалом данного исследования выступали труды советских и российских деятелей, содержащие в себе подробную информацию, касающуюся нашей проблемы.
В ходе выполнения данной работы появилась возможность оценить важность заданной темы в современной науке, определить основные задачи, которые можно решать с помощью уравнений эллиптического типа.
Подводя итог, хочется отметить, что изучение данного вопроса способствовала возникновению большого интереса, что позволило с энтузиазмом продолжать с ознакомлением трудов знаменитых авторов для дальнейшего анализа и использования в работе.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики М., издательство «наука», 1977. – 735 с.
2. Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика,
М., Изд. 4е, «Наука», 1989. – 767 с.
3. Д.А. Шапиро, Конспект лекций по методам математической физики ч.1, кафедра теоретической физики НГУ, 2004. – 123 с.
4. В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, Уравнения математической физики. — М.: «Физматлит», 2004. – 400 с.
5. С.И. Колесникова, Методы решения основных задач уравнений математической физики, М., МФТИ, 2015. – 80 с.
Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать
Уравнение Лапласа
Определение и формула уравнения Лапласа
Уравнение с частными производными вида:
называемое уравнением Лапласа в декартовых координатах.
Это частный случай уравнения Гельмгольца. Его можно рассматривать в трехмерных (1), двумерных (2), одномерных и n-мерных пространствах:
Оператор называется оператором Лапласа (оператор Лапласа эквивалентен последовательному градиенту и расходимости).
Решение уравнения Лапласа
Решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями.
Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.
Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.
Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах
Уравнение Лапласа может быть записано не только в декартовых координатах.
В сферических координатах уравнение Лапласа имеет следующий вид:
В полярных координатах система координат уравнения:
В цилиндрических координатах уравнение имеет вид:
Многие проблемы физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки, приводят к уравнению Лапласа. Таким образом, уравнение Лапласа описывает потенциал сил в области, которая не содержит массы, потенциал электростатического поля — в области, которая не содержит зарядов, температуры во время стационарных процессов и т. Д. стационарная фильтрация подземных вод, возникновение поля вокруг электромагнита, а также стационарное электрическое поле вблизи фарфорового изолятора или электрического кабеля, встроенного в землю. Я имею переменное поперечное сечение, сводящееся к решению трехмерного Лапласа или уравнения Пуассона. Оператор Лапласа играет большую роль в квантовой механике.
Примеры решения проблем
Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r1 и r2, разность потенциалов между которыми равна
Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии:
Он имеет решение . Выберем нулевой потенциал на внешнем цилиндре, найдем, получим:
В результате мы имеем:
Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией.
Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).
Поместите начало координат в положение равновесия частицы. В этом случае мы можем предположить, что потенциал представлен как:
где все производные берутся в точке равновесия.
Для устойчивости положительного заряда необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала в любом из направлений, т. Е. Вторые производные от по координатам были больше .Но это противоречит уравнению Лапласа . Если ( следует учитывать следующие члены разложения .
Можно показать, что в этом случае устойчивое равновесие невозможно.
🎬 Видео
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами МЕТОДОМ ЛАПЛАСАСкачать
4.3 Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать
Решение уравнения Лапласа в шареСкачать
7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать
УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условийСкачать
6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать
Тихонов И.В. | Лекция 11 по уравнениям математической физики | ВМК МГУСкачать
7.2 Уравнение Лапласа в секторе и кольцевом сектореСкачать
Метод Лапласа решения ДУСкачать
