Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Высшая математика
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
Справедливо следующее этого уравнения.
Решения y 1( x ), y 2( x ), . y n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [ a ; b ] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W ( x ; y 1( x ), y 2( x ), . y n( x )) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [ a ; b ] .
Для определителя Вронского W ( x ; y 1( x ), y 2( x ), . y n( x )) решений y 1( x ), y 2( x ), . y n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [ a ; b ] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:
Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:
Видео:Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать
Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
Читайте также:
|
Дано, что Надо доказать, что Пользуясь |
свойствами линейности оператора получаем Отсюда следует, что так как комплекснозначная функция действительного аргумента обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций Пусть имеем систему функций . определенных на некотором интервале Определение.
Будем говорить, что система функций линейно зависима на интервале если существуют постоянные ап такие, что на этом интервале выполняется тождество по х: причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Если это тождество имеет место только при а, то семейство функций ) называется линейно независимым на интервале (а, Ь).
Рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций. 1. Функции линейно зависимы на любом интервале (а, Ь), так как имеет место, например, тождество 2. Функции линейно независимы на любом интервале (а, 6), так как тождество возможно лишь в случае, если 4 Если хоть одно из чисел а, было бы отлично от нуля, то в левой части тождества стоял бы многочлен степени не выше п, который может иметь не более п различных корней и. следовательно, обращается в нуль не более чем в п точках рассматриваемого интервала.
3. Функции , линейно независимы на любом интервале (а, Ь). Для простоты ограничимся случаем п = 3. Допустим, что функции являются линейно зависимыми. Тогда имеет место тождество причем хотя бы одно из Qj не равно нулю. Пусть для определенности aj Ф 0. Разделив тождество на ек,х и продифференцировав, получим тождество деля которое на и дифференцируя результат по х. найдем что невозможно, так как аз Ф 0 по предположению .
Значит, наше допущение неверно, и рассматриваемые функции являются линейно независимыми. Замечание. Линейная зависимость пары функций означает, что одна из функций получается из другой умножением на постоянную: Вообще, если функции линейно зависимы на (а, 6), то по крайней мере одна из них сеть линейная комбинация остальных. Задача.
Показать, что если система функций линейно независима на интервале (а, Ь), то и любая подсистема этой системы функций также линейно независима на (а, 6). Теорема 5 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции , имеющие производные до порядка п — 1 включительно, линейно зависимы на интервале (а, Ь), то на этом интервале определитель называемый определителем Вронского системы функций тождественно равен нулю: М Ограничимся случаем п = 3.
Пусть дважды дифференцируемые функции yi(x), У2(х), Уз(з) линейно зависимы на интервале (о, Ь). Значит, на (о, Ь) выполняется тождество причем не все числа a, (i = 1,2,3) равны нулю. Для определенности будем считать, что c*i Ф 0. Разрешим тождество относительно yi(s) и дважды продифференцируем его: Составим определитель Вронского системы функций Первый столбец определителя является линейной комбинацией двухдругих при любом х G (а, Ь).
Такой определитель, как известно, равен нулю; следовательно, Рассуждением от противного легко доказывается следующая теорема. Теорема 6. Если определитель Вронского W(x) системы п функций неравен тождественно нулю в некотором интервале (а, Ъ), то эти функции линейно независимы в этом интервале. или, с учетом формул (1) и (2), Для произвольной системы п — 1 раз дифференцируемых на (а, Ъ) функций теорема, обратная теореме 5, неверна. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример. Для функций (рис. 2) определитель Вронского на интервале (-1,1) тождественно равен нулю:
Однако, как легко видеть, функции на интервале (-1,1) линейно независимы. Заметим, что в интервалах (-1,0) и (0,1) функции уже линейно зависимы. Можно несколько обобщить рассмотренный пример, взяв систему функций Эти функции линейно независимы в любом интервале, содержащем внутри себя точку х = 0, а вместе с тем их определитель Вронского тождественно равен нулю.
При этом, скажем, функция ^(х) имеет всюду непрерывные производные, до порядка m — 1 включительно, и лишь производная т-со порядка терпит разрыв с конечным скачком в точке х = 0. Выбирая m достаточно большим, получаем систему функций, обладающих непрерывными производными любого нужного порядка. Задана. Что можно сказать об определителе Вронского системы функций если только известно, что эти функции а) линейно зависимы; б) линейно независимы?
Теорема 7 (необходимое условие линейной независимости решений). Если линейно независимые на интервале (а, Ь) функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [а, Ь коэффициентами р*(х), то определитель Вронского этой системы решений не может обратиться в нуль ни в одной точке интервала (а, 6). м
Ограничимся рассмотрением случая п = 3. Допустим, что в некоторой точке хо € (a, b) определитель Вронского равен нулю: Составим систему трех линейных однородных алгебраических уравнений относительно Определитель этой системы W(xq) в силу допущения равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение по крайней мере одно из чисел а, отлично от нуля. Рассмотрим функцию Она является линейной комбинацией решений уравнения (3), и, значит, сама есть решение этого уравнения.
Это решение в силу уравнений (4) удовлетворяет нулевым начальным условиям Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение у = 0 уравнения (3) и, по теореме о единственности решения, только это решение. Следовательно, причем хотя бы одно из oti отлично от нуля. Таким образом, решения оказываются вопреки условию теоремы линейно зависимыми.
Противоречие возникло в связи с допущением, что W(x) обращается в нуль в точке хо € (в, Ь). Значит, наше допущение неверно, и W(x) Ф 0 всюду в интервале (а, Ъ). Из теорем 5 и 7 как следствие получаем следующую важную теорему. Теорема 8. Для того, чтобы частные решения линейного однородного дифференциального уравнения (3) с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W(x) системы решений был отличен от нуля.
4 Необходимость условия прямо следует из теоремы 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Задача Коши существование и единственности решения задачи Коши Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Линейные однородные Линейно зависимые и линейно независимые системы функций дифференциальные уравнения п-го порядка необходимое условие линейной зависимости определитель Вронского Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Задача. Показать, что два линейно независимых решения уравнения с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами не могут обращаться в нуль при одном и том же значении х0 €(о,6). §5. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения Теорема 9 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения).
Общим решением в области , линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , является линейная комбинация п линейно независимых на интервале (а, Ь) частных решений этого уравнения (С,, С2. ,Сп — произвольные постоянные). Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций 1 удовлетворяет условиям 1), 2) этого определения.
Функция у(ж), определенная формулой (2), является решением дифференциального уравнения (1) при любых значениях постоянных Это следует из того, что, как было установлено выше, любая линейная комбинация частных решений линейного однородного уравнения есть снова решение этого уравнения. Для уравнения (1) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремй 1 существования и единственности решения задачи Коши; поэтому остается показать, что постоянные C|, С2>. С„ всегда можно подобрать так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия Ограничимся случаем, когда п = 3.
Потребовав, чтобы решение удовлетворяло поставленным начальным условиям, получим систему трех линейных алгебраических уравнений относительно Определитель этой системы есть определитель Вронского W(x0) линейно независимой системы решений однородного уравнения (1), и, следовательно, отличен от нуля при любом х € (а, 6), в частности при х = xq. Поэтому система уравнений (3) однозначно разрешима относительно Сь C2i С3 при любом хо € (а, Ь) и при любых правых частях, т. е. при любых . А это и означает возможность выбора таких значений , чтобы частное решение удовлетворяло поставленным начальным условиям, каковы бы они ни были.
Из теоремы 9 следует, что если известно п линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то всякое другое решение этого уравнения представляется в виде линейной комбинации этих частных решений и, значит, линейно зависимо с ними. Отсюда вытекает, что максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.
Таким образом, совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. Введем понятие фундаментальной системы решений. Определение. Совокупность любых п линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка называется его фундаментальной системой решений.
Теорема 10. У каждого линейного однородного уравнения (1) с непрерывными коэффициентами Рк(х) существует фундаментальная система решений (и даже бесконечное множество фундаментальных систем решений). В самом деле, рассмотрим, например, однородное уравнение второго порядка с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами. Пусть . По теореме 1 уравнение (4) имеет решения удовлетворяющие при х = xq начальным условиям.
Определитель Вронского в точке xq системы решений (5) отличен от нуля, Следовательно, система решений (5) для уравнения (4) фундаментальна. Выбор начальных условий (5′) обеспечил построение одной фундаментальной системы. За начальные данные в точке хо можно взять любую систему чисел: лишь бы определитель Вронского был отличен от нуля. Очевидно, таких систем чисел можно подобрать бесконечно много и построить бесконечно много фундаментальных систем решений для уравнения (4).>
Задана. Составить общее решение уравнения если известно ненулевое частное решение у(х) этого уравнения. Теорема 11. Если два уравнения вида непрерывны на отрезке [а, Ь), имеют общую фундаментальную систему решений то эти уравнения совпадают, на отрезке [а, Ь. Таким образом, фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (1), т.е. полностью определяет коэффициенты , этого уравнения.
Следовательно, можно поставить задачу о нахождении уравнения вида (1), имеющего заданную фундаментальную систему решений Представим дифференциальное уравнениес левой частью в виде определителя: где у(х) — искомая функция, — заданная фундаментальная система решений. Уравнение (6) имеет в качестве решений функции так как при подстановке вместо у(х) каждой из этих п функций два столбца определителя становятся тождественно равными и определитель обращается в нуль тождественно по х 6 (а, 6).
Разлагая определитель по элементам последнего столбца, получаем из (6) уравнение вида определитель Вронского системы функций Определитель Вронского W(x) фундаментальной системы решений отличен от нуля во всем интервале (а, Ь). Разделив все члены уравнения приведем это уравнение к виду (1): где, в частности, Можно показать, что если элементы а1; определителя Д п-го порядка есть дифференцируемые функции аргумента х: то производная определителя равна сумме п определителей:
где — определитель, получающийся изданного заменой элементов его fc-ой строки производными от этих элементов. Например, для определителя Вронского системы функций Нетрудно проверить, что Ж|(ж) = ; следовательно, Интегрируя последнее равенство по х от хо до х, получим формулу Остроградского— Лиувилля:
Задача. Составить линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения Показать, что функции х, х2 линейно независимы на интервале (-оо, +оо). Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке х = 0. Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
📺 Видео
Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать
Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
10. Уравнения БернуллиСкачать
Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
ЛЕКЦИЯ 1.2. Определитель ВронскогоСкачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать
Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать