Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x1 2 +x2 2 ) или сумму кубов (x1 3 +x2 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x1 2 +x2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;

(x1+x2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x1 2 +2x1x2+ x2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x1 2 +x2 2 =p 2 -2x1x2=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x1 3 +x2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Еще одно полезное равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x1 2 +x2 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q. У нас -p=x1+x2=3 → p 2 =3 2 =9; q=x1x2=-4. Тогда x1 2 +x2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x1 3 +x2 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x1 3 +x2 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x1 2 +x2 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x1 2 +x2 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корнейПреобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корнейПреобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Видео:Не решая квадратное уравнение, найдите сумму частного его корнейСкачать

Не решая квадратное уравнение, найдите сумму частного его корней

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Не решая квадратное уравнение, найдите сумму кубов его корнейСкачать

Не решая квадратное уравнение, найдите сумму кубов его корней

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac — 5frac z + fracz^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Немного теории.

Видео:Решить квадратное уравнение, если известна сумма квадратов его корнейСкачать

Решить квадратное уравнение, если известна сумма квадратов его корней

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+14=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где ( c neq 0 );
2) ax 2 +bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac Rightarrow x_ = pm sqrt< -frac> )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac neq 0 )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Видео:Вариант 17, № 2. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравненияСкачать

Вариант 17, № 2. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+fracx +frac=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac+left( fracright)^2- left( fracright)^2 + frac = 0 Rightarrow )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_ = frac < -b pm sqrt> ), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac ).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Видео:Теорема Виета. Как найти сумму корней, не решая квадратное уравнениеСкачать

Теорема Виета. Как найти сумму корней, не решая квадратное уравнение

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
( left< begin x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end right. )

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Теорема Виета. 8 класс.

Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя

Проверь себя №1 >>

Не решая квадратного уравнения найдите сумму квадратов его корней

Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя его корней. Решение: x1+х2=- b/x x1?x2 =c/a x2+bx/a+c/a=0 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-b/a)2-2c/a=b2/a2-2c/a=(b2-2ac)/a2 Ответ:х12+х22=(b2-2ас)/а2.

Слайд 31 из презентации «Квадратные уравнения»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Квадратные уравнения.ppt» можно в zip-архиве размером 778 КБ.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Квадратное уравнение

«Методы решения квадратных уравнений» — Вычислите корни квадратного уравнения методом выделения. Три пути ведут к знанию. По праву в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета. Решенья небольшого уравнения. Вычислите корни квадратного уравнения. Уравнение. Немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы лишнее.

«Корни квадратного уравнения» — Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа. Угадываем корни. Реши устно уравнения. Алгебра 8 класс. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна p, а произведение равно q.

««Квадратные уравнения» алгебра 8 класс» — Исторические сведения. Реши неполные уравнения. Определение. Динамическая пауза. Реши уравнения с помощью формулы. Квадратные уравнения. От чего зависит количество корней квадратного уравнения. Проверь себя. Решение неполных квадратных уравнений. Проверь. Составим уравнение. Вычисли дискриминант и определи количество корней.

«Математика «Квадратные уравнения»» — е) При каком значении а уравнение имеет один корень? Цель: научиться видеть рациональный способ решения квадратных уравнений. М.В. Ломоносов. Выполнение упражнений. Решение квадратных уравнений. Квадратное уравнение aх2+bх+с=0 полное неполное b=0 или c=0. Устно решите квадратное уравнение. Старайся дать уму как можно больше пищи.

«Решение квадратных уравнений 9 класс» — Тема 1. Введение. 1 час. Определение кв.уравнения. Графическое решение квадратного уравнения. 10 способов решения квадратного уравнения. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки. Продолжительность 12 часов. Решение квадратных уравнений по формуле. Решим уравнение ах2 +bх+с=0. Решение кв. уравнений с использованием коэффициентом 1ч.

«Способы решения квадратных уравнений» — Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Квадратные уравнения. 3. По теореме обратной теореме Виета x2+bx+c=0 х1+х2=-b, x1?x2=c. Классификация. Квадратные уравнения Способы решения. Решение квадратных уравнений. Биография Виета Способы решения. Квадратные уравнения Дальше. Решение приведенного квадратного уравнения.

Всего в теме «Квадратное уравнение» 34 презентации

🔍 Видео

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Найти сумму квадратов корней квадратного уравнения Д509Скачать

Найти сумму квадратов корней квадратного уравнения Д509

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиетаСкачать

САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиета

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫ

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Квадратное уравнение. 8 класс.

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

Метод выделения полного квадрата. 8 класс.

Найти сумму корней квадратного уравнения, если дискриминант равен нулюСкачать

Найти сумму корней квадратного уравнения, если дискриминант равен нулю

Найти сумму квадратов корней квадратного уравненияСкачать

Найти сумму квадратов корней квадратного уравнения

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: