Найти уравнение траектории точки для момента времени t1 1c определить скорость и ускорение точки

Яблонский задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.
По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t₁ (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории. Необходимые для решения данные приведены в таблице 20.
Дополнение к заданию К.1. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 20) добавляется третье уравнение (табл. 22).
Общий порядок выполнения задания в этом случае такой же, как и в приведенном примере.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

КИНЕМАТИКА

Точка В движется в плоскости ху(рис. К1.0 – К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₂ (t),y = f₂ (t), где хи увыражены в сантиметрах, t– в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ =1сопределить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f₁ (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y = f₂ (t) дана в табл.К1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4).

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовыхкоординатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорение точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

cos2a = 1 – 2sin 2 a =2cos 2 α –1,

sin2a = 2sina× cos a

Рис. К1.0-9

Пример К1.Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

;

(х,у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения время t.

Таблица К1

№ условия	У = f2 (t)
Рис. 0 – 2	Рис. 3 — 6	Рис. 7 — 9
	2t 3

Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

следовательно,

Откуда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис.К1):

2. Скорость точки найдем по ее

проекциям на координатные оси:

(3) Рис. К1.10

3. Аналогично найдем ускорение точки:

(4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

Получаем

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив сюда эти числа, найдем сразу, что при t₁ =1c, a_1t =0,66см/c 2 .

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1t , получим, что при t₁ = 1с , a_1n = 0,58 см/c 2 .

6. Радиус кривизны траектории r =u 2 /a_n . Подставляя сюда числовые значения u₁ и a_1n , найдем, что при t₁ = 1c r₁ = 3,05см.

Плоский механизм состоит из: колёс 1, 2 и 3, планки 4 и груза 5. Диски и груз соединены между собой нерастяжимыми нитями. Диски, касающиеся планки, при движении механизма не проскальзывают.

Схемы механизмов показаны на рис. К2.0-9, необходимые для расчёта данные помещены в таблице К2.

Дано	Найти
№ условия	уравнение движения груза						скорости	ускорения
см	см	см	см	см	с
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, , ,
	,	, ,
	,	, ,

По заданному направлению поступательного движения груза 5 определить в заданной момент времени угловые скорости и ускорения тел и линейные скорости и ускорения точек, указанных в таблице К2.

Указания. Студенту при решении задач следует учесть следующее. 1. Что скорости точек контакта тел, находящихся в зацеплении, равны между собой. 2. Два вращающихся тела связаны нерастяжимой ременной передачей, и скорости точек ремня равны скоростям соприкасающихся с ним точек тел. 3. Тело 1 представляет собой ступенчатое колесо с радиусами : — большой ступени, — малой ступени

Рис. К2.0-9

Пример К2.Груз 5 подвешен на нерастяжимой нити, намотанной на большую ступень колеса 1. Движение груза задано уравнением: . Колеса 1 и 3 связаны нерастяжимой ременной передачей, как показано на рис. К2.10. Между колесом 2 и малой ступенью колеса 1 зажатая рейка 4, которая движется в горизонтальных направляющих. Радиусы колёс: см, см, см..

Рис. К2.10

Определить скорости точек и Е , , ускорения точки Е и рейки 4 , , а также угловую скорость колеса 1 и угловое ускорение колеса 2 в момент времени = 2 с. Решение Обозначим точки контакта взаимодействующих тел через K, L, M, D, E. Груз 5 опускаясь приводит во вращательное движение колесо 1. Скорость точки K контакта колеса и нити равна скорости груза, т. е. . Вектор скорости направлен в сторону увеличения координаты , вектор — по касательной к окружности радиуса . Искомая угловая скорость колеса 1 — .

Чтобы определить скорость точки колеса 3 , отметим, что , а . Векторы и направлены по касательным к окружностям радиусов и соответственно.

Зубчатая рейка 4 связана с колесом 2 и 1, как показано на рисунке К2.10, и движется в направляющих поступательно. Линейные скорости точек , ободов колес и точек планки равны между собой, т.е. . Но , следовательно, . Вектор направлен вдоль направляющих в сторону движения планки.

Ускорение планки . Если положительно, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости , если отрицательна, то вектор направлен в сторону, обратную направлению .

Тогда, угловая скорость колеса 2 , а угловое ускорение колеса . Скорость точки равна скорости точки , т. е. . Вектор направлен по касательной к окружности радиуса . Линейное ускорение модуль ускорения

Таким образом .

Вектор направлен по касательной к окружности радиуса , вектор — по радиусу к центру окружности , вектор — по диагонали параллелограмма, построенного на векторах , .

Подставляя в найденные аналитические выражения заданное значения параметра с, получим : =5рад /с ; =15см/с ; =15см/с 2 ; =3рад/с 2 ; =15см/с ; =47,1см/с 2 ; =15см/с 2 ; =45см/с 2 .

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползунов В и Е(рис.К3.0.–7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис К3.8-9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно : l₁ =0,4м, l₂ = 1,2 м, l₃ =1,4м, l₄ = 0,6м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл.К3.1 (для рис. К3.0 –4) или в табл.К3.2 (для рис.К3.5–9). Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. К2.8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. К2.9 – против часовой стрелки).

Рис. К3.0-9

Таблица К3.1 (к рис. К3.0-К3.4)

Таблица К3.2 (к рис. К3.5-К3.9)

Указания. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки, а заданную скорость — от точки В к в (на рис. К3.5 –.9).

Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Пример К3. Механизм (рис.К3.10) состоит из двух стержней 1,2,3,4 и ползуна В,соединенных друг с другом и неподвижными опорами О₂ и О₂шарнирами.

Дано: a = 60 0 , b =150 0 , g = 90 0 , j = 30 0 , q = 30 0 , AD = DB, l₁= 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, w₂ = 2 рад/c (направление w₁ – против хода часовой стрелки). Определить: V_В, V_Е, ω₂.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.К2.11); на этом рисунке изображаем все векторы скоростей.

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать скорость, какой – либо другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Рис. К2.10 Рис. К2.11

Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃ D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3) 7

Чтобы вычислить C₃ D и C₃ B, заметим, что ∆ АС₃ В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0 , и что С₃В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС₃ D является равносторонним и С₃ В = С₃ D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС С₂ стержня 2. По направлению вектора определяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2.11 видно, что С₂ED = C₂DE =30 0 , откуда С₂Е = C₂D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и С₂D = l₂ / (2cos30 0 ) = 0, 69 м, то

. (6)

Ответ: V_B = 0,46 м /c; V_Е = 0,46 м / с; ω₂ = 0,67 рад / c.

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃ D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C₃ D и C₃ B, заметим, что ∆ АС₃ В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0 , и что С₃В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС₃ D является равносторонним и С₃ В = С₃ D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС С₂ стержня 2. По направлению вектора определяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что С₂ED = C₂DE =30 0 , откуда С₂Е = C₂D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и С₂D = l₂ / (2cos30 0 ) = 0, 69 м, то

. (6) Ответ: V_B = 0,46 м /c; V_Е = 0,46 м / с; ω₂ = 0,67 рад / c.

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Примеры решения задач. Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Задача 2.1.

Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Рис. 2.9. К задаче 2.1

Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: или .

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где (рис. 2.9).

Определяем скорость точки. По формулам (2.1) получаем:

;

.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (2.1) дают:

Направлены векторы и вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при и ; при (точка В); при ; при значения и растут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого . На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент точка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с 2 .

Задача 2.2.

Движение точки задано уравнениями:

где , ω и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Рис. 2.10. К задаче 2.2

Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая, получаем

.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R, ось которого направлена вдоль оси Oz (рис. 2.10). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

.

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линий точка проходит за время , определяемое из равенства . При этом вдоль оси z точка за это время перемещается на величину , называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения по времени, получаем:

.

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (2.1) вычисляем проекции ускорения;

.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением, Для определения направления ускорения имеем формулы:

,

’

.

,

где α и β —углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R, проведенным от оси цилиндра к движущейся точке. Так как косинусы углов α₁ и β₁ отличаются от косинусов α и β только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все время направлено по радиусу цилиндра к его оси.

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, постоянной по модулю, ускорение точки не равно нулю, так как направление скорости изменяется.

Задача 2.3.

На шестерню 1 радиуса r₁ действует пара сил с моментом m₁ (рис. 46, а). Определить момент m₂ пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса r₂, чтобы сохранить равновесие.

Решение.

Рис. 2.11. К задаче 2.3

Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни 1. На нее действует пара с моментом m₁, которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары . Здесь — перпендикулярная радиусу составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a — тоже перпендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно уравновешиваются и в условие равновесия не войдут). При этом, согласно условию равновесия (17), и .

Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). По закону равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни 1 будет действовать сила , которая с перпендикулярной радиусу составляющей реакции оси В образует пару , с моментом, равным -Q₂r₂. Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом m₂; следовательно, по условию равновесия, . Отсюда, так как Q₂=Q₁ находим m₂=m₁/r₂r₁.

Естественно, что пары с моментами m₁ и m₂ не удовлетворяют условию равновесия , так как они приложены к разным телам.

Полученная в процессе решения задачи величина Q₁ (или Q₂) называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни: Q₁=m₁/r₁ =m₂/r₂.

Задача 2.4.

Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью . С какой скоростью движется конец тени человека?

Решение.

Рис. 2.12. К задаче 2.4

Для решения задачи найдем сначала закон, по которому движется конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вертикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 2.12). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии x₁ от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии х₂.

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

.

Это уравнение выражает закон движения конца тени М, если закон движения человека, т.е. , известен.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (2.1) , где — искомая скорость, получим

.

Если человек движется с постоянной скоростью ( ), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в раз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм в произвольном положении. Только тогда мы поучим уравнения, определяющие положение движущейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 2.5.

Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.13), если OA=AB=2b, а угол при вращении кривошипа растет пропорционально времени: .

Рис. 2.13. К задаче 2.5.

Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у находим

.

Заменяя его значением, получаем уравнения движения точки М:

.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

.

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

.

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.

Теперь по формуле (2.1) находим скорость точки М:

.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от до .

Далее по формулам (2.1) определяем проекции ускорения точки М;

;

,

где — длина радиуса-вектора, проведанного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояние от центра эллипса.

Определелим направление ускорения

Отсюда находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

Задача 2.6.

Вал, делающий n=90 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через t₁=40 с. Определить, сколько оборотов сделал вал за это время.

Решение.

Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая , будет

. (2.2)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

.

В момент остановки при t=t₁ угловая скорость вала ω₁=0. Подставляя эти значения во второе из уравнений (2.2), получаем:

и .

Если обозначить число сделанных валом за время t₁ оборотов через N (не смешивать с n; n — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет равен . Подставляя найденные значения ε и в первое из уравнений (а), получим

,

.

Задача 2.7.

Маховик радиусом R=0,6 м вращается равномерно, делая n=90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение.

Скорость точки обода , где угловая скорость должна быть выражена в радианах в секунду. Тогда и .

Далее, так как , то ε=0, и, следовательно,

.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.

Задача 2.8.

Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 2.14), если скорость центра С колеса равна , а угол DKM=α.

Рис. 2.14. К задаче 2.8.

Решение

Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что , где по модулю ( — радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени . С другой стороны, так же как и для точки М, где . Так как для точки К скорости и направлены вдоль одной прямой, то при , откуда . В результате находим, что .

Параллелограмм, построенный на векторах и , будет при этом ромбом. Угол между и равен β, так как стороны, образующие этот угол и угол β, взаимно перпендикулярны. В свою очередь угол β=2α, как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол α. Тогда по свойствам ромба углы между и и между и тоже равны α. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, получим

и .

Задача 2.9.

Определить скорость точки М обода катящегося колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, с помощью мгновенного центра скоростей.

Решение.

Рис. 2.15. К задаче 2.9.

Точка касания колеса Р (рис. 2.15) является мгновенным центром скоростей, поскольку . Следовательно, . Так как прямой угол PMD опирается на диаметр, то направление вектора скорости любой точки обода проходит через точку D. Составляя пропорцию и замечая,

что , a , находим .

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость имеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса имеет значение

Аналогичная картина распределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности.

Задача 2.10.

Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 2.16), имеет в данный момент времени скорость и ускорение . Радиус колеса R=0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение.

Рис. 2.16. К задаче 2.10.

1) Так как и известны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение ω. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

.

3) Определение ε. Так как величина PO=R остается постоянной при любом положении колеса, то

Знаки ω и ε совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

а) не следует думать, что если по условиям задачи , то . Значение в задаче указано для данного момента времени; с течением же времени изменяется, так как ;

б) в данном случае , так как движение точки O является прямолинейным. В общем случае .

4) Определение и . Так как за полюс взята точка O, то ускорение точки B определяется по фомуле:

Учитывая, что в нашем случае BO=R, находим:

.

Показав на чертеже точку B отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение , а именно: вектор (переносим из точки O), вектор (в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор (всегда от B к полюсу O).

5) Вычисление . Проведя оси X и Y, находим, что

,

.

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки P: и направлено вдоль PO. Таким образом, ускорение точки P, скорость которой в данный момент времени равна нулю, нулю не равно.

Задача 2.11.

Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 2.17).

Решение.

Рис. 2.17. К задаче 2.11.

Так как по условиям задачи , то и точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

В результате ускорение точки М

.

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно и направлено к центру С колеса, так как угол . Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, скорость точки М направлена перпендикулярно РМ . Следовательно, касательная к траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормаль — вдоль МР. Поэтому

.

Зажача 2.12.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна С, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис.2.17 а). Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно L₁=0,4 м, L₂ =1,2 м, L₃=1,4 м, L₄=0,6 м.

Дано: = 6 с -1 , величина постоянная. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.

Найти: скорости точек В и C; угловую скорость ; ускорение точки В; угловое ускорение

а)
б)
Рис.2.17. К задаче 2.12.

Решение (рис.2.12б)

1. Определим скорость точки А. Стержень OAвращается вокруг точко O₁, поэтому скорость точки А определяется по формуле = 1,6 м/с и направлена перпендикулярно отрезку O₁А. = 1,6 м/с

2. Определим угловую скорость стержня АВ. Точка В вращается вокруг центра О₂, поэтому ее скорость перпендикулярна отрезку O₂B. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка АВ в точках А и В восстановим перпендикуляры к векторам и . Точка пересечения этих перпендикуляров Р₂ является мгновенным центром скоростей второго стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле . Расстояние определяется из равнобедренного треугольника , то есть м. Поэтому 2,3 с -1 .

3. Определим скорость точки В по формуле = 1,6 м/с

по формуле = 0,8 м/с

4. Определим скорость точки С. Так как точка С движется прямолинейно, то ее скорость направлена вдоль движения ползуна. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка CD в точках C и D восстановим перпендикуляры к векторам и . Точка пересечения этих перпендикуляров Р₃ является мгновенным центром скоростей третьего стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле , а скорость точки С . Так как треугольник равносторонний, то = 0,8 м/с

5. Определим угловую скорость отрезка О₂В. Известно, что центром скоростей этого стержня является точка О₂В , а также скорость точки B. Поэтому угловая скорость четвертого стержня вычисляется по формуле и 2,7 с -1 .

6. Определим ускорение точки А. Так как первый стержень вращается равномерно, то точка А имеет относительно О₁ только нормальное ускорение, которое вычисляется по формуле = 6,4 м/с 2 .

7. Определим ускорение точки В, которая принадлежит двум стержням — АВ и О₂В. Поэтому ускорение точки В определяется с помощью двух формул

и , где

— ускорение точки А;

— нормальное ускорение точки В относительно А;

— тангенциальное ускорение точки В относительно А;

— нормальное ускорение точки В относительно О₂;

— тангенциальное ускорение точки В относительно О₂.

= 6,4 м/с 2 ; = 4,3 м/с 2 .

Можно составить уравнение

, которое в проекциях на оси координат имеет вид

Решив полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

= 13,2 м/с 2 , а_ВХ = 4,1 м/с 2 , а_ВY =9,1 м/с 2 , а_В =10 м/с 2 .

8. Определим угловое ускорение стержня АВ, используя формулу = 13,2 с -2 .

Задача 2.13.

Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону (рис.2.18 а). Положительное направление угла показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s= АМ= . На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А; L=R.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

а)
б)
Рис.2.18. К задаче 2.13.

Решение (рис.2.13 б)

В качестве подвижной системы координат xyz примем точку С. Эта система совершает вращательное движение с угловой скоростью = 5 с -1 . Угловое ускорение = -10 с -2 . Направления векторов и опледеляются по правилу буравчика и изображены на рис. Причем, вектор направлен в противоположную сторону, так как его значение его проекции на ось OХ неподвижной системы координат XYZ отрицательно. Вычислим скорость и ускорение центра подвижной системы координат С, которая движется по окружности. Скорость вычисляется по формуле , равна 600 см/с и первендикулярна плоскости рисунка. Ускорение точки С состоит из двух компонент — нормальное = 3000 см/с 2 и тангенциальное = 1200 см/с 2 ускорения.

Вычислим путь, относительную скорость и ускорение точки M. Ее положение определяется величиной дуги S, в данный момент времени S = , поэтому она располагается слева от точки А. Относительная скорость . В данный момент времени она равна 63 см/с и направлена по касательной к окружности. Относительное ускорение является суммой двух составляющих — тангенциальное = 377 см/с -2 и нормальное = 66 см/с -2 .

Абсолютная скорость точки M определяется по формуле

Где — переносная скорость вращательного движения, модуль которой = 150 см / с, ее направление определяется по правилу Жуковского. В разложении на оси координат

По теореме Пифагора = 750 м /с.

Абсолютное ускорение точки M определяется по формуле

Где и — соответственно нормальное и тангенциальное переносные ускорения вращательного движения, — кориолисово ускорение.

= 750 м / с -2 ; =300 м / с -2 ; = 546 м / с -2

;

;

💥 Видео

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

Теормех Кинематика точки. Определение кинематических характеристик. Задача (траектория-эллипс)Скачать

Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать

кинематика точкиСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки К1Скачать

Теоретическая механика. Задание К1 (часть 2) из сборника ЯблонскогоСкачать

Как решать первую задачу К1. Кинематика точки. К1-1Скачать

Лекция 5.3 | Уравнение траектории | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Теоретическая механика. Задание К1 (часть 1) из сборника ЯблонскогоСкачать

Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.Скачать

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Сложное движение точки. Задача 1Скачать

Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Лекция 3.4 | Перемещение и скорость материальной точки | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Cложное движение точки. ТермехСкачать