Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Видео:Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Тема 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

В процессе решения мно­гих теоретических и практических задач часто не удается сразу непосред­ственно установить функциональную зависимость у = f(x) между величинами, но можно установить связь между этой функцией и ее производными. Такая связь несет информацию о динамике изучаемого процесса, т. е. о характере изменения процесса. Как правило, изучается динамика изменения каких-либо показателей с течением времени, но могут быть ис­пользованы и другие зависимости: например, зависимость спроса на товар от его цены и т. д.

Динамика всех протекающих процессов, в том числе и экономических, описывается одним дифференциальным уравнением или системами дифференци­альных уравнений. При изучении характера экономических процессов чаще всего проводится их математическое моделирование, которое предполагает составление и решение системы дифференциальных уравнений.

Экономические ситуации, которые можно исследо­вать, представляя системами дифференциальных уравне­ний, будут показаны в дальнейшем, в курсе изучения специальных дисциплин. Мы, не углубляясь в экономиче­скую трактовку рассматриваемых ситуаций, рассмотрим пример, приводящий к необходимости составления и реше­ния дифференциального уравнения.

Рассмотрим производство продукции. Объем произ­водимой продукции в течение некоторого времени воз­растает и характеризуется постоянным темпом роста k.

Пусть требуется найти закон, характеризующий изменение объема производимой продукции во времени, если в начальный момент времени объем продукции составлял V0 единиц.

Очевидно: средний темп роста kср объема продукции V за промежуток времени Δt определяется выражением:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

где ΔV— прирост объема продукции за промежуток вре­мени Δt

V— объем всей продукции, выпущенной за предшест­вующий промежуток времени, численно равный Δt

Переходя к истинным величинам, получим:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, решая которое определим закон изменения объема продукции во времени. Преобразуем дифференциальное уравнение и проведем непосредственное интегрирование:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

С учетом начальных условий при t = 0 V = V0 имеем:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Зависимость объема продукции от времени при постоянном темпе роста характеризуется экспонентой. |

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и ее производные у’, у», , y(n)

Символически дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(1)

Например, уравнения 4х – у + 2у’ = 0 и у» = 2х + 1 являются диффе­ренциальными уравнениями.

Если искомая функция у = f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (прилагательное «обыкновенные» обычно опускают). В данном курсе лекций рас­сматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение

Например, у’ – 2ху2 + 3 = 0 это уравнение первого порядка, а

у'» + 2у’ + у = sin х – уравнение третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением дифференциального уравнения назы­вается такая функция у = φ(х), при подстановке которой в уравнение последнее обращается в тождество.

График этой функции у = φ(х) называется интегральной кривой Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно назы­вается интегралом дифференциального уравнения.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Функция y = 5ln x – есть решение этого уравнения. Действительно: Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, подставляя у′ в исходное уравнение, получим Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка− тождество, а это значит, что функция 5ln x – есть решение этого дифференциального уравнения.

Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

Функция y = 3e2x есть решение данного уравнения. Действительно:

y′ = 6e2x; y′′ = 12e2x. Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим 12e2x + 5∙6e2x + 18e2x = 0, т. е. y = 3e2x удовлетворяет данному уравнению, а это значит, что функция y = 3e2x – есть решение этого дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

зависящая кроме аргумента х от n произвольных постоянных C1, C2,…,Cn и удовлетворяющая данному уравнению при любых значе­ниях этих постоянных.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назы­вается функция вида

содержащая произвольную постоянную С такую, что:

1) у=φ(х, С) при любом С есть решение уравнения (3);

2) Для любых начальных условий х=х0; у=у0 существует такое С0, что соотношение у=φ(х, С0) при подстановке значений начальных условий обращается в тождество.

Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найдено в виде, неразрешенном относительно у, т. е. в виде Ф(х, у,С) = 0, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Как мы видели в первом примере, решение дифференциального уравнения связано с необходимостью ин­тегрировать входящие в уравнение функции. Рассмотрим, например, урав­нение у’ = Зх2. Интегрируя его, получаем совокупность функций у =х3 + С, каждая из которых является решением данного дифференци­ального уравнения.

На рисунке 1 изображена совокупность указанных интегральных кривых.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Рис. 1. Интегральные кривые уравнения у′ = Зx2 .

Чтобы из всей совокупности общих решений выделить конкретное ре­шение, необходимо задать дополнительные условия. Чаще всего эти до­полнительные условия определяются в виде начальных условий

у(х0) = y0, у'(х0) = y0 и т. д. Так, например, если решения уравнения у’ = Зх2 искать при начальном условии у(0) = 1, конкретное решение будет иметь вид у = х3 + 1.

Таким образом, начальное условие у(0) = 1 выделяет из множества всех решений конкретное решение, график которого проходит через точку (0,1) На рис. 1 этот график изображен пунктирной линией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Частным решением дифференциального уравне­ния первого порядка называется любая функция у=φ(х, С0), полученное из общего решения у = φ(х, С) при фиксиро­ванном значении произвольной постоянной С=С0.

Заданное в неявном виде Ф(х, у,С0) = 0, это решение называется частным интегралом.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

xdx + ydy = 0. Интегрируя обе части уравнения, получим:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В дан­ном случае, с учетом канонического уравнения окружно­сти, ее удобно представить в указанном виде.

Общим решением заданного дифференциального урав­нения является

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

С точки зрения геометрии — это семейство концен­трических окружностей радиуса С. См. рис. 2.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным ус­ловиям

у0 = 4 при х0 = 3 находится из общего подстановкой началь­ных условий в общее решение:

32 + 42 = С2; С = 5.

Подставляя С = 5 в общее реше­ние, получим

Это есть частное решение диф­ференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных ус­ловиях.

Геометрически — это единственная окруж­ность радиуса 5 , проходящая через точку М0 с коорди­натами (3;4), см. рис 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Задача определения частного решения у = f(x) удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Как уже говорилось в предыдущей лекции, дифференциальное уравнение первого порядка име­ет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно у‘, то его можно записать так

Уравнение (5) называется уравнением первого порядка, разрешен­ным относительно производной

Прежде, чем решать любое дифференциальное уравнение, необходимо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравне­ния, и, если оно есть, то является ли оно единственным

Условия, при которых дифференциальное уравнение (5) имеет ре­шение, составляют содержание теоремы Коши — теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого поряд­ка.

1) для любой внутренней точки (x0;y0)Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, существует непрерывно дифференцируемая функция у =φ(x), являющаяся решением этого уравнения и удовлетворяющая условию φ(х0) =y0:

2) если два решения у =φ(x) и у =ψ(x) совпадают хотя бы для одного значения х = х0 : φ(x0) = ψ(x0), то они тождественно совпадают в области G, т. е. φ(x) Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаψ(x)для любого Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что суще­ствует единственная интегральная кривая у =φ(x), график которой про­ходит через точку (x0;y0) (см рис. 1).

Особое решение дифференциального уравнения

Определение 8. Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое нельзя получить из общего ни при каких числовых значениях произвольной постоянной С ( включая Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка).

Например, проверкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаимеет общее решение y=sin(x + C). В то же время функция у=1 также является решением этого уравнения. Однако это решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях С.

С точки зрения геометрии особому решению соот­ветствует интегральная кривая, не содержащаяся в се­мействе интегральных кривых, составляющих общее ре­шение. Она является огибающей этого семейства.

Например, функция у=С(х – С)2 при любом значении С является решением дифференциального уравнения Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. При этом функция у=0 являясь особым решение данного уравнения, представляет собой огибающую семейства интегральных кривых (рис. 3)

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Рис.3. График функций у=С(х – С)2

В случае, когда уравнение имеет особое решение, нельзя ограничиваться нахождением частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Осо­бое решение может удовлетворять тем же начальным ус­ловиям, что и частное решение, и потому решение будет не единственным. В каждой точке особого решения нарушаются условия теоремы Коши (условия существования и единственности решения).

Через каждую из особых точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

На примере решения дифференциального уравнения первого порядка покажем, как может появиться особое решение.

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Запишем данное уравнение в виде

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Далее умножим обе части этого уравнения на dx:

Разделим обе части уравнения на dy, чтобы отделить переменные:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Получаем общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка

Отсюда общее решение

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Особое решение. При делении на у возможна потеря решения у = 0. При подстановке данного решения в исходное дифференциальное уравнение, оно обращается в тождество, следовательно, у = 0 является решением. Очевидно, это решение не содержится в общем ни при каком значении постоянной С, а потому является особым. Итак, особое решение у = 0.

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение у’ = f(x,у). Это уравнение для каждой точки М(х, у) определяет значение произ­водной Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральным кривым у = φ(х, С), являющихся общим решением дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Часть плоскости, каждой точке которой со­поставлен отрезок прямой так, что тангенс угла наклона его к оси Ох равен значению в данной точке правой части дифференциального урав­нения у’ = f(x,y), называется полем направлений данного дифференци­ального уравнения.

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирова­ния дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с полем направлений в соответствующих точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Множество всех точек плоскости, в которых поле имеет одно и то же направление, называется изоклиной уравнения.

Уравнение изоклины определяется следующим образом. В каждой точ­ке изоклины тангенс угла наклона отрезков поля имеют одно и то же фиксированное значение tgα = k. Так как, с другой стороны,

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

то координаты каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 6. Построить поле направлений дифференциального урав­нения Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение. Уравнение изоклин Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, или у = – кх, т. е. изокли­нами являются прямые с угловым коэффициентом —k проходящие через начало координат (рис. 4). Определяя конкретные значения k, мы полу­чаем уравнение конкретной прямой. При этом мы одновременно задаем и поле направлений. Например, при k = 1, мы получаем изоклину у = –х, в каждой точке которой tgα = k = 1, т. е. α = 45°. На границе направление α задается единственным вектором через определенные промежутки.

Построив изоклины и поле направлений, можно приближенно нарисо­вать интегральные кривые, проводя их в соответствии с заданным полем направлений. В нашем случае интегральные кривые — это семейство ги­пербол Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Рис. 4. Поле направлений и изоклины дифференциального уравнения Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 7. Построим поле направлений дифференциально­го уравнения у’ = х2 + у2.

Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения имеет вид х2 + у2 = k, т. е. изоклинами служат концентриче­ские окружности радиусом у/к с центром в начале координат (рис. 5).

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Рис. 5. Изоклины и интегральные кривые уравнения у’ = х2 + у2.

В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью ОХ один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при k = 1 изоклиной является единичная окруж­ность х2 + у2 = 1, при k = 4 — окружность х2 + у2 = 22 радиу­са 2, при k = 9 — окружность х2+у2 = З2 радиуса 3 и т. д. Этим изоклинам соответствуют направления отрезков, образующих с осью ОХ углы α1 = arctg 1 = π/4, α2 = arctg 4 и α3 = arctg 9.

При k = 0 получаем х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет единственная точка (0, 0). В этом случае изоклина состоит из одной точки, для которой tg α = 0. На рис. 5 построены вышеперечисленные изоклины и изображено поле направ­лений данного дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную кривую, возьмем на плоскости произ­вольную точку (х0,у0). Проведем через эту точку кривую так, чтобы она в каждой точке касалась поля направлений. Это и будем искомой интегральной кривой, проходящей через точку (х0,у0). В качестве примера, на рис. 5 построены интегральные кривые, проходящие через точки (0; 0), (–1; 1) и (1; –1).

Далеко не для любого дифференциального уравнения первого поряд­ка можно получить общее решение в виде, как говорят, квадратурных формул, т. е. свести его к вычислению неопределенных ин­тегралов методами рассмотренными в лекциях по интегральному исчислению.

Рассмотрим некоторые из простейших типов уравнений, для которых такое решение может быть получено.

Простейшие дифференциальные уравнения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 11. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. (6)

Для того, чтобы отделить переменные, оставив в каждом слагаемом функцию только одного переменного, нужно обе части уравнения умножить на выражение, равное

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Полученное при этом уравнение

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(7)

называется уравнением с разделенными переменными

Интегри­руя уравнение (7), получаем общее решение уравнения в виде квадра­тур

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(8)

Пример 8. Найти общее решение уравнения 2уу’ = 1 – Зх2

Решение. Очевидно, что данное уравнение допускает разделение переменных

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 9. Найти частное решение уравнения у’ =Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, при у(1)=2 Решение. Разделив переменные

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

интегрируем и получаем

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

где произвольная постоянная С0 = lnC1. Воспользовавшись свойством логарифма, после операции потенцирования будем иметь общее решение в виде

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Используя начальное условие у(1) = 2, находим 2 =Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, те С = 2 и искомое частное решение равно у Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содержится в формуле у = Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкапри С = 0.

Замечание 1. Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение у‘ = f(ax + bу + с), (b 0) приводится к виду уравнений с разделяющимися переменными при помощи замены u = ах + by + с, где u -новая искомая функция.

Пример 10. Найти общее решение уравнения у’ = (8х + 2у + 1)2 Решение. Введем новую переменную и = 8х + 2у +1, откуда

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

и уравнение примет вид

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Найдем решение этого уравнения с разделяющимися переменными

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Полученное решение является общим интегралом данного уравнения.

2. Однородные диф­ференциальные уравнения первого порядка.

Например, функция f(x,y) = ху — у2 есть однородная функция второй степени так как

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение 13. Дифференциальное уравнение первого порядка

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(9)

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференци­альному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

где t = Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка— новая неизвестная функция.

Пример 11. Найти общее решение уравнения (х2 – 2y2)dx + 2xydy = 0

Решение. В данном уравнении функции Р(х, у) = х2 – 2у2 и Q(x,y) = 2ху — однородные функции второй степени, следовательно, решаемое уравнение является однородным. Положим у = tx, откуда dy = tdx + xdt. Подставим выражения для у и dy в исходное дифферен­циальное уравнение

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Разделим переменные в последнем уравнении и проинтегрируем

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Возвращаясь к переменной у находим общее решение

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Однородное дифференциальное уравнение перво­го порядка может быть так же представлено в виде

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(11)

где F(x, у) — однородная функция нулевой степени.

Для того, чтобы решить уравнение в этом виде, можно используя равенство Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкапредставить это уравнение в виде (9) и далее решать, используя подстановку (10).

Пример 12. Найти все решения уравнения

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение. Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, т. к. оно представлено в виде Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, где Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка= Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка− однородная функция нулевой степени. Действительно,

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнения заменяем в нем Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкана Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаи приводим его к виду (9)

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаГеометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. (12)

Здесь Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Далее решаем это уравнение способом, рассмотренным в примере 11.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаГеометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Подставим Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаи Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкав уравнение (12). Получим Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Или Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнение уже позволяет разделить переменные t и x:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Интегрируя полученное уравнение Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, получаем Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Возвращаемся к исходным переменным: Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, и получаем общее решение

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Особое решение. В процессе решения было произведено деление на Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Следовательно, необходимо проверить, являются ли те значения у, при которых t = 0 решением заданного уравнения и если являются, то содержатся ли они в общем решении. Как видно их подстановки Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, таким значением у является у = 0 ( х ≠ 0). Это значение является решением заданного дифференциального уравнения, т. к. оно обращает уравнение в тождество. Но в тоже время это решение является особым, т. к. оно не может быть получено из общего решения ни при каком числовом значении постоянной С.

Было произведено деление также на х. Убеждаемся, что х = 0 ( у ≠ 0) – частное решение заданного дифференциального уравнения, т. е. может быть получено из общего решения.

Замечание 2. Если Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаи Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка, то,

полагая в уравнении Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкагде постоянные α и β опреде-

ляются из решения системы, уравнений Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядкаполучим однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных u и v. Если Δ = 0, то, полагая в уравнении u = a1x + b1у, получим сразу уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 13. Найти общее решение уравнения

(2х + у + l)dx + (x + 2y – l)dy = 0

Решение. После преобразований получим

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

а1 = 2, b1 = 1, а2 = 1, b2 = 2

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Тогда в соответствии с замечанием 2 введем новые переменные

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

где постоянные α и β определяются из решения системы уравнений

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

и исходное уравнение преобразуется к виду

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

т. е. к виду однородного дифференциального уравнения относительно u и v

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

После подстановки в дифференциальное уравнение будем иметь

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

решая которое, найдем:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Подставим обратно t = u/v и после преобразований найдем:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

Наконец, возвращаясь к переменным х и у (u = х + 1, v = у – 1), после элементарных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения:

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

3. Линейные дифференциальные уравнения первого по­рядка.

Определение 14. Линейным дифференциальным уравнением пер­вого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвест­ной функции и ее производной

Если в частном случае Q(x) = 0, то уравнение (13) называется линейным уравнением без правой части или линейным однородным диф­ференциальным уравнением первого порядка.

Если Q(x) не является тождественным нулем, то уравнение (13) назы­вается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рассмотрим самый распространенный метод решения линейных урав­нений.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Этот метод в дальнейшем мы будем использовать также и при решении линейных уравнений высших порядков.

Метод вариации произвольной постоянной заключается в следующем.

Первый этап. Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение

Переменные здесь отделяются

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка.

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(14)

Второй этап. Общее решение исходного неоднородного уравнения (13), когда Q(x) ≠ 0 будем искать в виде

Геометрический и физический смысл дифференциальных уравнений первого порядка(15)


источники:

🎬 Видео

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

22. Дифференциал функции и его геометрический смыслСкачать

22. Дифференциал функции и его геометрический смысл

1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

1. Что такое дифференциальное уравнение?

Физический смысл производной с НУЛЯ /подробно и легкоСкачать

Физический смысл производной с НУЛЯ /подробно и легко

Урок 320. Производная функции и ее геометрический смыслСкачать

Урок 320. Производная функции и ее геометрический смысл

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать

Геометрический смысл производной | Касательная

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Дифференциальные уравнения для самых маленькихСкачать

Дифференциальные уравнения для самых маленьких

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Подготовка к ЕГЭ по математике с Артуром ШарифовымСкачать

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Подготовка к ЕГЭ по математике с Артуром Шарифовым
Поделиться или сохранить к себе: