Найти уравнение и длину высоты аd

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Найти уравнение и длину высоты аd

Таким образом, уравнение прямой BC —

Найти уравнение и длину высоты аd

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Найти уравнение и длину высоты аd

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Найти уравнение и длину высоты аd

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Найти уравнение и длину высоты аd

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Найти уравнение и длину высоты аd

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Найти уравнение и длину высоты аd

Уравнение прямой AB:

Найти уравнение и длину высоты аd

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Найти уравнение и длину высоты аd

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Найти уравнение и длину высоты аd

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Найти уравнение и длину высоты аd

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Найти уравнение и длину высоты аd

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Найти уравнение и длину высоты аd

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Найти уравнение и длину высоты аd

уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

Найти уравнение и длину высоты аd Y

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Найти уравнение и длину высоты аd .

Найти уравнение и длину высоты аd Найти уравнение и длину высоты аd

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

Найти уравнение и длину высоты аd .

Найти уравнение и длину высоты аd

2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:

Найти уравнение и длину высоты аd .

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

Найти уравнение и длину высоты аd

Найти уравнение и длину высоты аd .

3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Найти уравнение и длину высоты аd .

Найти уравнение и длину высоты аd

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

Найти уравнение и длину высоты аd Точка Е (1 /2,2).

Найти уравнение и длину высоты аd

Найти уравнение и длину высоты аd

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.

Найти уравнение и длину высоты аd

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB : 2 x + 3 y = 7 ,

BC : 2 x — 3 y =- 11 ,

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2 x — 3 y =- 2-6=-8>-11,

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

Найти уравнение и длину высоты аd

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку Найти уравнение и длину высоты аd .

Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид Найти уравнение и длину высоты аd . Так как гипербола проходит через точку А (8; Найти уравнение и длину высоты аd ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. Найти уравнение и длину высоты аd . Так, как Найти уравнение и длину высоты аd = 1,25, то Найти уравнение и длину высоты аd = 1,25, но Найти уравнение и длину высоты аd , тогда Найти уравнение и длину высоты аd = 1,5625 Найти уравнение и длину высоты аd или Найти уравнение и длину высоты аd .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .

Найти уравнение и длину высоты аd

Решая эту систему, находим Найти уравнение и длину высоты аd = 16 и Найти уравнение и длину высоты аd = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид Найти уравнение и длину высоты аd .

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы Найти уравнение и длину высоты аd и центр окружности Найти уравнение и длину высоты аd .

Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

Уравнение параболы: Найти уравнение и длину высоты аd ;

уравнение окружности: Найти уравнение и длину высоты аd .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

Найти уравнение и длину высоты аd .

Получим Найти уравнение и длину высоты аd , или Найти уравнение и длину высоты аd .

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Найти уравнение и длину высоты аdНайти уравнение и длину высоты аdНайти уравнение и длину высоты аd

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Найти уравнение и длину высоты аd

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Найти уравнение и длину высоты аd

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Найти уравнение и длину высоты аd.
Найти уравнение и длину высоты аd.(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Найти уравнение и длину высоты аd

Ответ: Найти уравнение и длину высоты аd

Видео:найти уравнение высоты треугольникаСкачать

найти уравнение высоты треугольника

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

Найти уравнение и длину высоты аd(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Найти уравнение и длину высоты аd(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Найти уравнение и длину высоты аd.(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Найти уравнение и длину высоты аd

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Найти уравнение и длину высоты аd

Ответ: Найти уравнение и длину высоты аd

Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высоту

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Найти уравнение и длину высоты аd

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Найти уравнение и длину высоты аd(5)
Найти уравнение и длину высоты аd(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

Найти уравнение и длину высоты аd(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

Найти уравнение и длину высоты аd
Найти уравнение и длину высоты аd(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac. )

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найти уравнение и длину высоты аd

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac=frac, )
( small h_a=c cdot sin angle B. )(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

🎥 Видео

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямыми

Задача 6 №27436 ЕГЭ по математике. Урок 50Скачать

Задача 6 №27436 ЕГЭ по математике. Урок 50

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задач

Высота равнобедренной трапеции, проведённая ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота равнобедренной трапеции, проведённая ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.
Поделиться или сохранить к себе: