Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги) – КИПР.

Пусть в пространстве Oxyz задана непрерывная спрямляемая кривая АВ, в точках которой определена произвольная функция f(x, y, z). Проделаем 5 операций:

1. Разобьем кривую АВ на n частей точками М1, М2, ….Мn-1, следующими друг за другом в направлении от А к В (для определенности). Точку А обозначим через М0, точку В через Мn. Длины дуг Мk-1 Мk (k = 1, 2,…, n) обозначим, соответственно, через Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t. Наибольшую из величин Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t
(k = 1, …, n) обозначим через Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2tи назовем рангом (шагом) дробления кривой АВ.

2. На каждой дуге Мk-1 Мk (k = 1, 2, …, n) выберем произвольным образом по точке Nk(xk; yk; zk) и вычислим в них значения функции
f(x, y, z), т.е. найдем числа f(xk, yk, zk).

3. Вычислим произведения f(xk, yk, zk) Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t(k = 1, 2, …, n).

4. Найдем сумму Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2tкоторую называют интегральной суммой для функции f(x, y, z) на кривой АВ, отвечающей данному разбиению (дроблению) АВ на части и выбору точек Nk (xk; yk; zk).

5. Измельчая дробление, ищем предел

( 1)

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2tДвижение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Если существует конечный предел ( 1), не зависящий ни от способа дробления кривой АВ на части, ни от выбора точек Nk(xk; yk; zk) (k = 1, 2, …, n), то этот предел называют криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f(x, y, z) по дуге АВ и обозначают символом:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Видео:Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

При этом функцию f(x, y, z) называют подынтегральной функцией, кривую АВ – линией (кривой, контуром) интегрирования, точку А – начальной, а точку В – конечной точками интегрирования (тем самым устанавливается направление интегрирования).

Таким образом, по определению

( 2)

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2tДвижение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Перечислим простейшие свойства криволинейного интеграла первого рода (в основном аналогичные свойствам определенного интеграла):

1. Значение криволинейного интеграла первого рода не зависит от направления на кривой:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

2. Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак криволинейного интеграла:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

3. Криволинейный интеграл первого рода от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

4. Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то криволинейный интеграл по всей кривой АВ равен сумме интегралов по ее частям:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

5. Если в каждой точке кривой АВ функции f(x, y, z) и j(x, y, z) удовлетворяют неравенству f(x, y, z) 2 + z 2 = ay (a > 0).

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2tВведем полярные координаты: y = rcosj, z = rsinj Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t.

Уравнение окружности принимает вид: r 2 = arcosj или r = acosj.

Тогда r’ = -asinj и Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Т. к. окружность расположена в той части плоскости yOz, где y > 0, то угол j меняется от -p/2 до p/2. По формуле ( 7) имеем:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t

Пример 3.

Вычислить Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t, где L – дуга кривой, заданной параметрически:
x = tcost, y = tsint, z = t (0 2 , 0 3 = 3a 2 y, 2xz = a 2 , заключенной между плоскостями y = 9a,
y = a/3.

Длину дуги L можно записать в виде : Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t.

Приняв за параметр координату х, уравнения данной линии можно представить в параметрическом виде: x = t, y = t 3 /3a 2 , z = a 2 /2t. Значения параметра, соответствующие концам рассматриваемой дуги, вычисляются по формуле: Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2tТаким образом,
t1 = a, t2 = 3a.


источники:

📹 Видео

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Сложное движение точки. Задача 1Скачать

Сложное движение точки. Задача 1

Задача на движение материальной точки - bezbotvyСкачать

Задача на движение материальной точки - bezbotvy

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.

Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

Сложное движение точки #1Скачать

Сложное движение точки #1

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.

Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на движение | Математика TutorOnline

Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТ

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.Скачать

Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.

Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Решение графических задач на равномерное движение

Сложное движение точкиСкачать

Сложное движение точки

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

Лекция 5.3 | Уравнение траектории | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Лекция 5.3 | Уравнение траектории | Александр Чирцов | Лекториум

Урок 15. Решение задач на графики движенияСкачать

Урок 15. Решение задач на графики движения
Поделиться или сохранить к себе: