Найти координаты точки симметричной точке относительно прямой заданной уравнением

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Задача 32579 Найти точку A, симметричную точке B(-2.

Условие

Найти точку A, симметричную точке B(-2, 1) относительно прямой 3x+2y-1=0

Решение

Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку B

3х+2у-1=0 ⇒ у=-(3/2)х+(1/2)
угловой коэффициент k=(-3/2)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k=2/3 — угловой коэффициент искомой прямой
y=(2/3)x+b — множество прямых, перпендикулярных данной.
чтобы выделить прямую, проходящую через точку B
подставим координаты точки В

Найдем координаты точки М — точки пересечения двух прямых
<3x+2y-1=0
<y=(2/3)x+(7/3)

По свойству симметричных точек
ВМ=МА
x_(M)=(x_(B)+x_(A))/2 ⇒
x_(A)=2x_(M)-x_(B)=(-22/13)-(-2)=4/13

О т в е т. (4/13; 33/13)