В стране N число домашних хозяйств разделено на две группы:
первая группа населения (60 %) имеет низкие доходы, составляющие 45 % всех доходов;
вторая группа получает 55 % доходов.
Рассчитайте коэффициент Джини. Какова степень социально-экономического расслоения доходов?
Решение:
Построим кривую Лоренца, с помощью которой рассчитаем коэффициент Джини.
Кривая Лоренца иллюстрирует степень неравномерности в распределении доходов. При равномерном распределении доходов каждая 20% -я группа населения имеет пятую часть доходов общества. На графике это изображается диагональю квадрата АВ, что означает равномерное распределение. При неравномерном распределении «линия концентрации» представляет собой вогнутую вниз кривую. В данной задаче это кривая АСВ.
Чем больше отклонение кривой Лоренца от диагонали квадрата, тем выше поляризация доходов общества.
Коэффициент Джини можно рассчитать по кривой Лоренца как отношение площади фигуры, образуемой кривой Лоренца и линией равномерного распределения (ΔАВС), к площади треугольника ниже линии равномерного распределения (ΔАВЕ).
Площадь ΔАВС определим вычитанием из площади ΔАВЕ площади фигуры АСВЕ, расположенной под кривой Лоренца, которая состоит из площади треугольника ΔАСD и площади трапеции DCBE.
Рассчитаем коэффициент Джини:
Что говорит о низкой степени социально-экономического расслоения доходов.
Видео:Кривая Лоренца и индекс Джини - измеряем неравенство доходовСкачать
Кривая Лоренца
Дифференциация заработной платы предопределяет неравенство в распределении доходов.
Дифференциация доходов населения — это объективно складывающиеся различия в уровне доходов индивидов и социальных групп, обусловленные различиями в оплате труда и социальных выплат, способностях и предприимчивости, имущественном положении.
Денежные доходы населения включают в себя заработную плату, социальные трансферты, предпринимательские доходы, проценты, дивиденды и другие доходы от собственности, а также общую стоимость продукции –личного подсобного хозяйства, потребленной в семье и проданной. Доходы населения распределяются по группам населения неравномерно.
Помимо анализа распределения доходов населения, кривую Лоренца также используют при конкурентном анализе.
Пример №1 . На основе данных таблицы:
- Рассчитайте коэффициент Джини
- Постройте кривую Лоренца.
| Социальная группа населения | Численность населения, % | Денежные доходы, % |
| 1. | 20 | 6,0 |
| 2. | 20 | 11,6 |
| 3. | 20 | 17,6 |
| 4. | 20 | 26,5 |
| 5. | 20 | 38,3 |
| Итого | 100 | 100,0 |
Денежные доходы населения
| Группы по денежным доходам, % | Доля денежных доходов в группе, % |
| 20 | 6 |
| 40 | 11.6 |
| 60 | 17.6 |
| 80 | 26.5 |
| 100 | 38.3 |
Линия фактического неравенства строится на основании данных о процентах дохода приходящихся на каждые 20 % населения.
Если нижняя первая часть населения получила 6.0% всех доходов, то графически это будет точка А. Чтобы получить точку В необходимо сложить процент дохода первых 20 % населения с процентами доходов вторых 20 % населения (6.0% + 11.6%) и т.д.
| 20-ти процентные группы населения | Объем денежных доходов населения, в % к итогу | Доля денежных доходов нарастающим итогом, % | Площадь треугольника | Площадь прямоугольника | Общая площадь фигуры, Si |
| 20 | 6 | 6 | 60 | 0 | 60 |
| 40 | 11.6 | 17.6 | 116 | 120 | 236 |
| 60 | 17.6 | 35.2 | 176 | 352 | 528 |
| 80 | 26.5 | 61.7 | 265 | 704 | 969 |
| 100 | 38.3 | 100 | 383 | 1234 | 1617 |
| 3410 |
Чтобы построить кривую Лоренца откладываем по оси Х значения 1-го столбца, а по оси Y значения 3-го столбца.
2. Индекс Джини.
Для исчисления коэффициента Джини необходимо рассчитать величины pi и qi. Здесь qi — доля денежных доходов нарастающим итогом (столбец №3 табл.1) деленная на 100.
| pi | qi | piqi+1 | pi+1qi |
| 0.2 | 0.06 | 0.0352 | — |
| 0.4 | 0.18 | 0.14 | 0.024 |
| 0.6 | 0.35 | 0.37 | 0.11 |
| 0.8 | 0.62 | 0.8 | 0.28 |
| 1 | 1 | — | 0.62 |
| ВСЕГО | 1.3462 | 1.0282 |
Коэффициент Джини равен: KL = ∑piqi+1 — ∑pi+1qi = 1.3462 — 1.0282 = 0.318
Пример №2 . Имеются следующие данные о распределении доходов населения региона по трем группам и доле населения в каждой группе:
| 1 группа | 2 группа | 3 группа | |
| Доходы населения по группам (руб.) | 5000-10000 | 10000-20000 | 20000-30000 |
| Доля населения в группе | 0,15 | 0,60 | 0,25 |
Определить коэффициент концентрации доходов Джинни.
Решение.
Необходимо найти доли среднего дохода на человека в каждой группе, в виде отношения среднего дохода группы к суммарному среднему доходу, и соответствующие накапливаемые частоты этих долей. Чем ближе значение коэффициента к единице, тем выше уровень дифференциации доходов.
| 1 группа | 2 группа | 3 группа | Итого | |
| Доходы населения по группам (руб.) | 5000-10000 | 10000-20000 | 20000-30000 | |
| Среднее значение дохода в группе, руб. | 7500 | 15000 | 25000 | 47500 |
| Доля доходов в группе, % | 15,8 | 31,6 | 52,6 | 100,0 |
Далее решается через калькулятор.
| Доля доходов в группе, % | Доля населения в группе |
| 15,8 | 0,15 |
| 31,6 | 0,6 |
| 52,6 | 0,25 |
Пример №3 . Дать графическое изображение вариационного ряда, приведенного в таблице (гистограмма, полигон, кумулята). Определить средние величины (меры положения) – среднюю арифметическую, моду, медиану, вычислить квартили и показатели вариации – среднее абсолютное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, относительный квартильный размах, коэффициент вариации. Построить кривую (ломаную) Лоренца, вычислить коэффициент концентрации дохода (индекс Джини). Пояснить статистический, физический, экономический или иной смысл вычисленных величин.
| № группа | Среднедушевые доходы населения (тыс. руб.) | Количество насосов |
| 1 | 0-30 | 10 |
| 2 | 30,1-60 | 14 |
| 3 | 60,1-90 | 19 |
| 4 | 90,1-120 | 25 |
Пример №4 . Исходные данные:
| % | Доход |
| 10 | 2.3 |
| 20 | 4.5 |
| 30 | 4.7 |
| 40 | 6 |
| 50 | 7.5 |
| 60 | 10.2 |
| 70 | 14.1 |
| 80 | 16.7 |
| 90 | 18.5 |
| 100 | 15.5 |
Линия фактического неравенства строится на основании данных о процентах дохода приходящихся на каждые 10% населения. Если нижняя первая часть населения получила 2.3% всех доходов то графически это будет точка А. Чтобы получить точку В необходимо сложить процент дохода первых 10% населения с процентами доходов вторых 10% населения (2.3% + 4.5%) и т.д.
| % | Доход | S=Si+Si-1 | Площадь треугольника | Площадь | Сумма |
| 10 | 2.3 | 2.3 | 11.5 | 0 | 11.5 |
| 20 | 4.5 | 6.8 | 22.5 | 23 | 45.5 |
| 30 | 4.7 | 11.5 | 23.5 | 68 | 91.5 |
| 40 | 6 | 17.5 | 30 | 115 | 145 |
| 50 | 7.5 | 25 | 37.5 | 175 | 212.5 |
| 60 | 10.2 | 35.2 | 51 | 250 | 301 |
| 70 | 14.1 | 49.3 | 70.5 | 352 | 422.5 |
| 80 | 16.7 | 66 | 83.5 | 493 | 576.5 |
| 90 | 18.5 | 84.5 | 92.5 | 660 | 752.5 |
| 100 | 15.5 | 100 | 77.5 | 845 | 922.5 |
| Итого | 3481 |
Чтобы построить кривую Лоренца откладываем по оси Х откладываем значения столбца Процент (%), а по сои Y значения столбца S. 
Рассчитаем коэффициенты концентрации доходов (индекс Джини)
Уровень неравенства определяется с помощью коэффициента Джини.
Он рассчитывается как отношение площади фигуры OABCDKLMNPE к площади треугольника ОEG.
Для того чтобы определить площадь фигуры, лежащей ниже кривой Лоренца, соединяем прямыми линиями точки ОА, АВ и т.д.
Опускаем перпендикуляр на ось X и находим площади фигур, лежащих ниже точек А, B , С.
Площадь SABB’A состоит из треугольника и прямоугольника SBCCB’ также состоит из треугольника и прямоугольника.
Сложив все площади фигур, получим площадь фигуры S2.
Площадь треугольника OEG находим по формуле:
1/2 *100%*100% = 5000
Отсюда индекс Джини равен:
I = 1519 / 5000 = 0.3038
Децильный коэффициент дифференциации доходов
Видео:ЭКОНОМИКА. Лоренц ЖЕСТЬ. Сложение кривых Лоренца. Решение конкретных задачСкачать
Как рассчитывать коэффициент Джини
Автор: · Опубликовано 21.11.2017 · Обновлено 19.01.2021
Что такое кривая Лоренца, коэффициент Джини (индекс Джини) и как их рисовать и считать?
Начнем с кривой Лоренца.
Кривая Лоренца
Кривая Лоренца — это график, демонстрирующий степень неравенства в распределении дохода или богатства в обществе. Ее придумал в 1905 году американский статистик Макс Лоренц.
Собственно говоря, эта кривая может отражать неравенство в распределении самых разных величин, но вначале она предназначалась именно для отражения экономического неравенства в обществе.
Кривая выглядит следующим образом:
По горизонтальной оси указана накопленная доля населения (причем население отсортировано от беднейших, то есть получающих наименьший доход, до богатейших), а по вертикальной – доля получаемого дохода.
Это лучше понять на примере:
Предположим, мы разбили все население страны на 4 группы, в каждой из которых по 25% населения. При этом первая, “бедная” группа получает 10% общего дохода страны, вторая, “ниже среднего” – 20%, третья, “выше среднего” – 30% и четвертая, “богатая” – 40%.
| Группа | Доля населения | Доля от общего дохода |
| бедная | 25% | 10% |
| ниже среднего | 25% | 20% |
| выше среднего | 25% | 30% |
| богатая | 25% | 40% |
Теперь переведем это в накопленные доли: 25% населения будут получать 10%, 50% населения (это “бедная” и “ниже среднего” группы) суммарно получают 10%+20%=30%, 75% населения (“бедная”, “ниже среднего” и “выше среднего” группы) получат 10%+20%+30%=60% всего дохода, и, разумеется, 100% населения получат 100% дохода.
| Накопленная доля населения | Накопленная доля общего дохода |
| 25% | 10% |
| 50% | 30% |
| 75% | 60% |
| 100% | 100% |
Теперь можно построить график.
Обратите внимание, что кривая всегда исходит из точки (0%;0%) и приходит в точку (100%;100%), так как ясно, что 0% населения получают 0% дохода, а 100% населения получают 100% дохода.
Необязательно, чтобы группы были равными. Например, возьмем такие данные:
| Доля населения | Доля от общего дохода | Накопленная доля населения | Накопленная доля общего дохода |
| 20% | 10% | 20% | 10% |
| 40% | 30% | 60% | 40% |
| 30% | 30% | 90% | 70% |
| 10% | 30% | 100% | 100% |
Обратите внимание, что группы нужно распределить от бедных к богатым. Если группы одинаковые, то они сортируются просто по столбцу “Доля от общего дохода” – от маленьких значений к большим (см. прошлый пример). Но у нас группы разного размера, поэтому нужно учитывать отношение второго столбца к первому (доли дохода к доле населения). Например, у нас вторая и третья группы получают одинаковую долю дохода. Но во второй группе населения больше, а значит, в расчете на одного человека они беднее. То же с третьей и четвертой группой. Вообще говоря, случай с разными группами редкий и встречается только в условных задачах. Но если будут такие условия, то нужно делить долю дохода на долю населения. Для наших групп получим:
Это значит, что в третьей группе население получает именно средний по стране доход на человека. В первой группе доход в два раза ниже среднего, во второй – 75% от среднего, а в четвертой – три средних дохода на человека. Вот в таком порядке их и нужно расположить для построения кривой Лоренца.
Получим такой график:
И, конечно, количество групп может быть любым. Желательно, чтобы их было побольше, тогда кривая будет построена по большему числу точек, станет более гладкой и точной.
Можно представить себе кривую абсолютно равного распределения: это будет просто диагональ, так как любые N% населения получают N% дохода:
И кривую абсолютного неравенства, когда все работают бесплатно, а один-единственный человек получает весь доход:
(Не думайте, что это совершенно умозрительная кривая: например, если у единственного человека в стране есть, скажем, говорящий еж, то кривая распределения говорящих ежей будет именно такой!)
Коэффициент Джини
К 1912 году итальянский статистик Коррадо Джини разработал алгебраическую интерпретацию кривой Лоренца: коэффициент, призванный указывать, насколько неравным является экономическое распределение.
Все очень просто. Коэффициент этот равен отношению площади фигуры между диагональю и кривой Лоренца:
К площади треугольника под диагональю (а она всегда равна 0,5):
Таким образом, при полном равенстве площадь первой фигуры равна нулю, и коэффициент тоже равен нулю. При полном неравенстве эта фигура займет весь треугольник и коэффициент будет равен единице.
Чем ниже коэффициент, тем более равным является распределение.
Как его считать?
Считать коэффициент Джини можно графическим или алгебраическим способом. Посмотрим, как это можно сделать.
Графический способ
Вертикальными линиями можно разделить фигуру над кривой Лоренца на два треугольника и несколько трапеций.
Площадь треугольника – половина основания на высоту, а трапеции – полусумма оснований на высоту (поверните голову на 90º, высоты расположены горизонтально, а основания – вертикально). Высоты равны размерам групп, а основания легко посчитать. В нашем случае площадь фигуры будет такой:
| фигура | расчет площади | площадь |
| треугольник a | 10%*20%/2=0,1*0,2/2 | 0,01 |
| трапеция b | (10%+20%)/2*40%=0,3/2*0,4 | 0,06 |
| трапеция c | (20%+20%)/2*30%=0,4/2*0,3 | 0,06 |
| треугольник d | 20%*10%/2=0,2*0,1/2 | 0,01 |
| Всего площадь фигуры (a+b+c+d) | 0,14 |
Теперь разделим ее на площадь треугольника под диагональю (а он, напоминаю, всегда равен 0,5) и получим: 0,14/0,5=0,28
Таким образом, 0,28 или 28% и есть значение коэффициента Джини.
Другой графический способ: посчитать площадь фигур под кривой Лоренца, а затем вычесть их из площади треугольника под диагональю (0,5) и получить площадь над кривой. И ее уже разделить на 0,5.
Этот случай удобнее, когда цифры не такие круглые и ширина оснований трапеций над кривой неочевидна.
| фигура | расчет площади | площадь |
| треугольник a | 10%*20%/2=0,1*0,2/2 | 0,01 |
| трапеция b | (10%+40%)/2*40%=0,5/2*0,4 | 0,1 |
| трапеция c | (40%+70%)/2*30%=1,1/2*0,3 | 0,165 |
| трапеция d | (70%+100)%/2*10%=1,7/2*0,1 | 0,085 |
| Всего площадь фигуры (a+b+c+d) | 0,36 |
Отнимаем 0,36 от 0,5 и получаем 0,14 – площадь фигуры над кривой
Далее, как и в первом способе, делим эту площадь на 0,5 (площадь треугольника под диагональю) и получаем: 0,14/0,5=0,28
Алгебраический способ
Наиболее проста в употреблении формула:
-доля i-ой группы в составе населения
-доля i-ой группы в объеме доходов
-кумулированная (накопленная) доля i-ой группы в составе населения
Составим таблицу на основе данных предыдущего примера:
| Доля населения ( ) | Доля от общего дохода ( ) | Накопленная доля общего дохода ( ) |  |  |
| 20% | 10% | 10% | 0,02 | 0,02 |
| 40% | 30% | 40% | 0,12 | 0,16 |
| 30% | 30% | 70% | 0,09 | 0,21 |
| 10% | 30% | 100% | 0,03 | 0,1 |
| Итого | 0,26 | 0,49 |
Если вы не понимаете, как построена эта таблица, откройте спойлер:
Как построена эта таблица
Первый и второй столбцы – это исходные данные, они такие же, как и в разделе “Графический способ”.
Третий столбец получается из второго путем накопления значений из второго столбца: берем значение из ячейки слева и всех ячеек выше нее и складываем.
Четвертый столбец – произведение первого и второго.Чтобы не запутаться в процентах, переведите их в доли, например для первой строки: 20%10%=0,20,1=0,02.
Пятый столбец – произведение первого и третьего.
Далее подсчитываем суммы по четвертому и пятому столбцу.
Теперь можно подставить полученные суммы в формулу, которая приведена выше:
Мы получили ответ 0,28 – такой же, как и графическим методом.
Это самая простая в применении формула. Советую ее запомнить. А если вдруг хочется понять, как она выведена, откройте этот спойлер (объяснение довольно длинное!):
Как выведена эта формула?
В основе этой формулы лежит уже известная вам идея: чтобы посчитать площадь фигуры над кривой Лоренца:
можно сперва посчитать площадь фигуры под кривой Лоренца
а потом вычесть ее из площади диагонального треугольника, которая равна 0,5, и получим искомое. Саму же площадь под кривой будем считать по группам. Можно видеть, что над каждой группой образуется треугольник или четырехугольник – они выделены разными цветами.
Рассмотрим, например, вторую группу (зеленый четырехугольник).
Площадь четырехугольника ABDE равна площади прямоугольника ACDE минус площадь прямоугольного треугольника BCD. При этом площадь прямоугольника ACDE равна AEDE, а площадь прямоугольного треугольника BCD равна CDBC/2. Таким образом, площадь ABDE равна
При этом можно увидеть на графике, что ВС – доля дохода по группе (y), DE – накопленная доля дохода по группе (cum y), а AE или CD – доля группы в численности населения (x). Тогда формула принимает вид
Можно видеть, что такая формула (прямоугольник минус прямоугольный треугольник) пригодна для всех цветных фигур, включая и левый розовый треугольник.
Тогда сумма всех фигур под кривой Лоренца будет равна
Эту сумму, как вы помните, нужно вычесть из 0,5, чтобы получить площадь фигуры над кривой
И наконец, разделив все это на площадь диагонального треугольника (то есть опять же на 0,5), получим формулу коэффициента Джини:
Есть и другие формулы, расчет по одной из них приведен, например, вот тут. Мне кажется, что в ней проще запутаться, а получается ровно то же самое.
Чтобы проверить себя, решите задачу. Ответ и решение под спойлерами:
Задача
Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте коэффициент Джини.
🎬 Видео
Коэффициент Джини и кривая ЛоренцаСкачать
9.3 Неравенство доходовСкачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
7.1 Экономические приложения. Кривая Лоренца. Коэффициент Джини.Скачать
Понятие неравенства. Кривая Лоренца и коэффициент ДжиниСкачать
Что такое коэффициент Джини? Душкин объяснитСкачать
ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать
Коэффицент/индекс Джини, Кривая Лоренца, неравенство в экономикеСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Кривая Лоренца Коэффициент ДжиниСкачать
Что такое кривая Лоренца? Душкин объяснитСкачать
Коэффициент Джини до и после перераспределенияСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Понятие неравенства / Кривая Лоренца и подсчет коэффициента ДжиниСкачать
10 класс разбор прош 2 этапСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Коэффициент ДжиниСкачать
ЭКОНОМИКА. Лоренц ЖЕСТЬ. Неравенство олигарховСкачать
