Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание
  1. Предупреждение
  2. 1. Угол между прямыми на плоскости
  3. Прямые заданы каноническими уравнениями
  4. 1.1. Определение угла между прямыми
  5. 1.2. Условие параллельности прямых
  6. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  7. Прямые заданы общими уравнениями
  8. 1.4. Определение угла между прямыми
  9. 1.5. Условие параллельности прямых
  10. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  11. 2. Угол между прямыми в пространстве
  12. 2.1. Определение угла между прямыми
  13. 2.2. Условие параллельности прямых
  14. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  15. Угол между прямыми в пространстве
  16. Вычисление угла между прямыми.
  17. Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве
  18. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
  19. Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
  20. Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
  21. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
  22. Примеры решения задач
  23. 📹 Видео

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,(1.1)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеУравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.5)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.6)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Упростим и решим:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми равен:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеУравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.10)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.11)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(1.14)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.15)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(1.17)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеУравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(23)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Упростим и решим:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,(2.1)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеУравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.5)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(2.6)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеУравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Упростим и решим:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми равен:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространственужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.9)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.10)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.11)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.12)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(2.17)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.18)
Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеУравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Угол между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l1 || l и m1 || m (рис. 138).

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l1 = l и m1 = m).

Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l1 и m1 ( l1 || l , m1 || m). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Угол между прямыми l и m обозначается ( widehat ). Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0° π /2 .

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Найти угол между прямыми АВ и DС1.

Прямые АВ и DС1 скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС1, согласно определению, равен (widehat<C_DC>).

Следовательно, (widehat) = 45°.

Прямые l и m называются перпендикулярными, если ( widehat ) = π /2. Например, в кубе

(см. рис. 139) прямая A1D1перпендикулярна прямым DC, DC1, СС1 .

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости. Обозначим через φ величину угла между прямыми l1 и l2, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

ψ 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:

По формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n1 = (3; 0; -12) и n2 = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле ( [a; b]=begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end ) получаем

$$ a=[n_1; n_2]=begin i & j & k \ 3 & 0 & -12 \ 1 & 1 & -3 end=12i-3i+3k $$

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

$$ b=begin i & j & k \ 4 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 end=-2i-4i+4k $$

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому (overrightarrow) = (4; — 6;0), (overrightarrow)= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 11 класс.

Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, которая проходит через данную точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствепараллельно направляющему вектору Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Пусть, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве– произвольная точка прямой, тогда векторы Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеколлинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

это и есть канонические уравнения прямой.

Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, запишем параметрические уравнения прямой:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.

Итак, через две точки Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеможно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.

За направляющий вектор возьмём Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, тогда по формуле (1) у нас получается:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.

Пусть известны их уравнения:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеэтой прямой.

Точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространственаходим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространственаходим Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, тогда и точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве. Направляющий вектор Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, который параллелен к каждой из плоскостей Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи перпендикулярен к их нормальным векторам Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, то есть Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве. (см. рис. 1). Поэтому вектор Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеможно найти при помощи векторного произведения Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеx Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Найдены координаты Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеподставим в каноническое уравнение (1).

Например, от общих уравнений прямой:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Перейдём к каноническим, положив в системе Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве(при нём относительно больше коэффициенты). найдём Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве. Нормальные векторы Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве. Тогда направляющий вектор

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеx Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве,

и канонические уравнения станут:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

равен углу между их направляющими векторами Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, поэтому

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:

Задача

При точке Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи направляющем векторе Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространственеобходимо:

  1. составить каноническое уравнение прямой;
  2. построить эту прямую.

Решение

1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

2) Рассмотрим два способа построения прямой Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Первый способ

В системе координат Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствестроим вектор Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи проводим через точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствепрямую параллельную вектору Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Второй способ

По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

На рисунке видно, что при произвольных значениях Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеиз системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве. Так при Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространственаходим координаты Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве. Через две точки Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствепроводим прямую Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:

Задача

Найти острый угол между прямыми:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Решение

По формуле (7) получаем:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве= Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве

Так как Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, тогда угол Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстветупой, Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, а острый угол Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Ответ

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.

Задача

Составить уравнение прямой Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве, которая проходит через точку Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи параллельна прямой Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Решение

От параметрического уравнения переходим к каноническому Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеПри условии параллельности прямых Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствето есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространствеи по формуле (1) у нас получается:

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

Ответ

Уравнение прямой в пространстве угол между прямыми в пространстве.

📹 Видео

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространствеСкачать

ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространстве

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Угол между прямыми в пространствеСкачать

Угол между прямыми в пространстве

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространстве

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.
Поделиться или сохранить к себе: