Напишите уравнения асимптот графика функции

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Видео:Асимптоты функции. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. 10 класс.

Понятие асимптоты

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Видео:Математический анализ, 15 урок, АссимптотыСкачать

Математический анализ, 15 урок, Ассимптоты

Вертикальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy .

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x) , если выполняется хотя бы одно из условий:

  • Напишите уравнения асимптот графика функции(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
  • Напишите уравнения асимптот графика функции(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

  • символом Напишите уравнения асимптот графика функцииобозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
  • символом Напишите уравнения асимптот графика функцииобозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Напишите уравнения асимптот графика функции

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции Напишите уравнения асимптот графика функции.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции Напишите уравнения асимптот графика функции

Пример 4. Найти асимптоты график функции Напишите уравнения асимптот графика функции.

Видео:Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

Горизонтальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox .

Если Напишите уравнения асимптот графика функции(предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = bгоризонтальная асимптота кривой y = f(x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Напишите уравнения асимптот графика функции

Пример 5. График функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Видео:Асимптоты функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. Практическая часть. 10 класс.

Наклонные асимптоты

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

Напишите уравнения асимптот графика функции(1)

Напишите уравнения асимптот графика функции(2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

Напишите уравнения асимптот графика функции

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.

Напишите уравнения асимптот графика функции

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

Напишите уравнения асимптот графика функции,

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при Напишите уравнения асимптот графика функциии при Напишите уравнения асимптот графика функциибудут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при Напишите уравнения асимптот графика функциии не имеет асиптоты при Напишите уравнения асимптот графика функции.

Напишите уравнения асимптот графика функции

Пример 9. Найти асимптоты графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство Напишите уравнения асимптот графика функциии при этом Напишите уравнения асимптот графика функции. Знак переменной x совпадает со знаком Напишите уравнения асимптот графика функции. Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство Напишите уравнения асимптот графика функции. Из этого получаем область определения функции: Напишите уравнения асимптот графика функции. Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0 .

Рассмотрим правосторонний предел при Напишите уравнения асимптот графика функции(левосторонний предел не существует):

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Точка x = 2 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 — вертикальная асимптота графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Итак, y = x + 1 — наклонная асимптота графика данной функции при Напишите уравнения асимптот графика функции. Ищем наклонную асимптоту при Напишите уравнения асимптот графика функции:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Итак, y = −x − 1 — наклонная асимптота при Напишите уравнения асимптот графика функции.

Напишите уравнения асимптот графика функции

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Решение. Функция имеет область определения Напишите уравнения асимптот графика функции. Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при Напишите уравнения асимптот графика функции:

Напишите уравнения асимптот графика функции,

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Таким образом, при Напишите уравнения асимптот графика функциинаклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x . Но при Напишите уравнения асимптот графика функциинайденные пределы не изменяются. Поэтому при Напишите уравнения асимптот графика функциинаклонной асимптотой графика данной функции также является y = x .

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие Напишите уравнения асимптот графика функции. Функция имеет две точки разрыва: Напишите уравнения асимптот графика функции, Напишите уравнения асимптот графика функции. Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2 .

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при Напишите уравнения асимптот графика функциии при Напишите уравнения асимптот графика функциисовпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Напишите уравнения асимптот графика функции

Напишите уравнения асимптот графика функции

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x . Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2 , x = −2 и y = 2x .

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Найти асимптоты графика функции Напишите уравнения асимптот графика функции.

Пример 13. Найти асимптоты графика функции Напишите уравнения асимптот графика функции.

Видео:Асимптоты графика функции. Практика. Пример 1.Скачать

Асимптоты графика функции. Практика. Пример 1.

Асимптоты графика функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Достаточно часто на практике приходится иметь дело с функциями, которые определены не на всей числовой прямой, либо принимают не любые значения из множества действительных чисел.

В таких случаях при построении графиков функций получаем, что график функции не является непрерывной линией, а имеет некоторые разрывы. В результате чего становится целесообразным ввести понятие «асимптота».

Асимптота — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Среди асимптот выделяют следующие виды:

  • вертикальная асимптота (параллельна оси ОY);
  • горизонтальная асимптота (параллельна оси ОХ);
  • наклонная асимптота (расположена под углом к осям координат).

Отметим, что асимптоты на графике функции изображаются пунктирной линией.

Вертикальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $x=a$, для которой выполняются условия $mathoplimits_ f(x)=infty $ или $mathoplimits_ f(x)=infty $.

Вертикальная асимптота может быть только в точках разрыва функции $y=f(x)$, т.е. в тех точках, где данная функция неопределенна.

Найти вертикальную асимптоту графика данной функции: $y=frac $.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Напишите уравнения асимптот графика функции

Горизонтальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=b$, для которой выполняются условия $mathoplimits_ f(x)=b$.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти горизонтальную асимптоту графика данной функции: $y=5^ $.

Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой (см. рис.).

Напишите уравнения асимптот графика функции

График функции может иметь только правую либо только левую горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=kx+b$, для которой выполняется условие $mathoplimits_ [f(x)-kx+b]=0$.

Условия существования наклонной асимптоты определяются следующей теоремой.

Если функция $y=f(x)$ имеет конечные пределы $mathoplimits_ frac =k;mathoplimits_ [f(x)-kx]=b$, то данная функция имеет наклонную асимптоту, заданную уравнением $y=kx+b$ при $xto infty $.

Частным случаем наклонной асимптоты при $k=0$ является горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота может быть левой (график приближается справа), правой (график приближается слева) или двусторонней (график приближается с обоих сторон).

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=frac <x^> $.

Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Напишите уравнения асимптот графика функции

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=frac <x^> $.

Следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты.

График функции может иметь одновременно несколько асимптот, например, вертикальную и наклонную.

Найти асимптоты графика данной функции: $y=frac <3x^> $.

Область определения функции: $D_ = $.

Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Следовательно, прямая $y=3x+3$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Напишите уравнения асимптот графика функции

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 02 2022

Видео:Математика без Ху!ни. Исследование функции, график. Первая, вторая производная, асимптоты.Скачать

Математика без Ху!ни. Исследование функции, график. Первая, вторая производная, асимптоты.

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

Напишите уравнения асимптот графика функции
Вертикальная асимптота x=3
Напишите уравнения асимптот графика функции
Горизонтальная асимптота y=1
Напишите уравнения асимптот графика функции
Наклонная асимптота y=x

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac)
ОДЗ: (xne left)
(leftnotin D) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac=frac=frac=+infty\ lim_frac=frac=frac=-infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac=frac=frac=-infty\ lim_frac=frac=frac=+infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac) две точки разрыва 2-го рода (left), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac)
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin lim_frac=frac=+0 end На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin lim_frac=frac=+0 end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac): Напишите уравнения асимптот графика функции

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin lim_frac=-infty, lim_frac=+infty end

График асимптотического поведения функции (y=frac): Напишите уравнения асимптот графика функции

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin lim_frac=frac=frac=-infty\ lim_frac=frac=frac=+infty end Точка (x=-1) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin lim_frac=frac=frac=-infty\ lim_frac=frac=frac=+infty end Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)

График асимптотического поведения функции (y=frac)
Напишите уравнения асимптот графика функции

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_e^<frac>=e^0=1\ b_2=lim_e^<frac>=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции (y=e^<frac>)
Напишите уравнения асимптот графика функции

в) ( y=frac )
Заметим, что ( frac=frac=frac=frac ) $$ y=fracLeftrightarrow begin y=frac\ xne -1 end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin k_1=lim_frac=left[fracright]=lim_frac<x^2left(1+fracright)>=frac=1\ k_2=lim_frac=left[fracright]=lim_frac<x^2left(1+fracright)>=frac=1\ k=k_1=k_2=1 end У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin b=lim_(y-kx)= lim_left(frac-2right)= lim_frac= lim_frac=left[fracright]=\ =lim_frac=frac=1 end Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac)
Напишите уравнения асимптот графика функции

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_xe^<frac>=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_xe^<frac>=+inftycdot e^0=+infty end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции (y=xe^<frac>)
Напишите уравнения асимптот графика функции

📺 Видео

Пределы №6 Нахождение асимптот графиков функцийСкачать

Пределы №6 Нахождение асимптот графиков функций

Асимптоты функции. Наклонная асимптота. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. Наклонная асимптота. 10 класс.

Асимптота, которая смогла | В интернете опять кто-то неправ #006 | Борис Трушин |Скачать

Асимптота, которая смогла | В интернете опять кто-то неправ #006 | Борис Трушин |

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | Математика

Исследование функции. Часть 4. Асимптоты графика функцииСкачать

Исследование функции. Часть 4. Асимптоты графика функции

Асимптоты функции. Горизонтальная асимптота. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. Горизонтальная асимптота. 10 класс.

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функцииСкачать

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Асимптоты к графику функций. 10 классСкачать

Асимптоты к графику функций. 10 класс

Исследование функции. Построение графика. Высшая математикаСкачать

Исследование функции. Построение графика. Высшая математика

Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Как написать уравнения касательной и нормали | Математика

ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 классСкачать

ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 класс

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика
Поделиться или сохранить к себе: