Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Часть 1| Математика

Системы линейных уравнений. Основные понятия. Переменные, входящие в уравнения системы

Страницы работы

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Содержание работы

Глава 7 Системы линейных уравнений.

Определение 1:Системой линейных уравнений называется система вида:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Определение 2: Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор чисел Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхпри подстановке которых в исходную систему каждое из уравнений обращается в тождество.

Определение 3: Основной матрицей системы линейных уравнений называется матрица А размерности Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, образованная из коэффициентов при неизвестных:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Определение 4: Основная матрица А системы дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях.

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Определение 5: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если у неё нет.

Определение 6: Система уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Определение 7: Неизвестная хi в системе линейных уравнений называется базисной, если она встречается в единственном уравнении системы и имеет коэффициент равный единице.

Определение 8: Система уравнений имеет базисный вид, то есть приведена к единичному базису, если в каждом уравнении выделена одна базисная переменная.

Приведём системы базисного вида:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Расширенная матрица этой системы:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Нетрудно увидеть, что базисными переменными в приведённом примере являются переменные х1, х3, х4.

Определение 9: Переменные входящие в уравнения системы и не являющиеся базисными называются свободными переменными.

Определение 10: Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Все несовместные системы равносильны.

Перечислим элементарные преобразования систем, приводящие к равносильным системам:

2. Умножение на число Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхправой и левой части любого уравнения.

3. Прибавление к левой и правой части i-ого уравнения соответствующих частей j – ого уравнения, умноженных на число Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях.

4. Перестановка местами i-ого и j-ого уравнений.

7.2 Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

Этот метод позволяет привести к базисному виду совместную систему уравнений.

Элементарные преобразования будем осуществлять по следующей схеме.

1. Выбираем разрешающий элемент в каком либо уравнении и если этот элемент расширенной матрицы не является единицей, то элементы разрешающей строки делим на этот элемент.

2. Разрешающий столбец с помощью элементарных преобразований заполняем нулями.

3. Получаем новую расширенную матрицу, в которой снова выбираем другую разрешающую строку и повторяем все действия.

4. В случае возникновения нулевой строки ее вычеркиваем.

5. В случае возникновения строки вида: 1+0х2+0хn=bi система не имеет решений, то есть является несовместной.

Рассмотрим пример решения системы с использованием столбца контрольных сумм КΣ, которые представляют собой суммы всех коэффициентов, соответствующих уравнений. Эти числа преобразуются по тем же правилам, что и остальные элементы матрицы. Контроль состоит в том, что на каждом этапе проверяется совпадение контрольной суммы с суммой всех коэффициентов данного уравнения. Решим систему уравнений.

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Составим расширенную матрицу системы, причем в первом столбце будут контрольные суммы, а в последнем будем указывать базисные переменные. Легко видеть что в первом уравнении такой переменной будет переменная х4.

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

выберем разрешающий элемент во второй строке, пусть это будет Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях. Используя элементарные преобразования, получим матрицу у которой все остальные элементы разрешающего столбца были нулевые, для этого выполняются следующие элементарные преобразования:

1. Разрешающая строка умножается на (-2) и складывается с первой строкой, результат записываем на место первой строки.

2. Разрешающая строка умножается на (-3) и складывается с третьей строкой, результат записывается на место третьей строки.

В результате получаем матрицу:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Используя столбец контрольных сумм, сделаем проверку:

Следующим шагом необходимо выбрать разрешающий элемент в третьей строке. В качестве такого элемента можно взять элемент Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, но для того чтобы этот элемент стал равным единице, умножим элементы третьей строки на (-1). Получим матрицу вида:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

используя элементарные преобразования, преобразуем разрешающий столбец матрицы так, чтобы все элементы кроме разрешающего (базисного) стали равны нулю, для этого выполняем следующие элементарные преобразования.

1. Разрешающая строка умножается на (-1) и складывается со второй строкой, результат записывается на место второй строки.

2. Разрешающая строка умножается на (-1) и суммируется с первой строкой, результат записывается на место первой строки.

Видео:Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 класс

Как решать многочлены от нескольких переменных — пояснения

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Понятие многочлена от нескольких переменных

Одночлен — тип числа, переменные, их произведения и степени.

Многочлен — сумма различных одночленов. Примером многочлена может считаться уравнение 31 x y 5 + y 6 + 3 x z 5 .

Члены многочлена — абсолютно все одночлены, которые входят в состав многочлена.

Многочлен стандартного вида — тип многочлена, который состоит из одночленов стандартного вида, не имеющих соответствующих членов.

Степень многочлена стандартного вида — самая большая степень из перечня степеней одночленов, которые входят в его состав.

Для термина «многочлен нескольких переменных» возможно выделить несколько частных вариантов: трехчлен и двучлен.

Двучлен — такой многочлен, который состоит из двух членов. Примером двучлена служит следующее уравнение: 6 b 6 + 13 a c 5 .

Трехчлен — такой многочлен, который состоит из трех членов. Примером трехчлена служит следующее уравнение: x y 5 + y 6 + x z 5 .

При помощи многочлена вводят такие термины как «алгебраическое уравнение», «алгебраическое число», а также алгебраическая функция».

Виды многочленов

Существуют следующие виды многочленов:

  • унитарным, приведенным, нормированным называют многочлен с одной переменной, если старший коэффициент равняется единице;
  • однородным называют многочлен, при котором все одночлены обладают одной и той же полной степенью. Пример: x 2 + x y + y 2 является однородным многочленом с двумя переменными, а x 2 + y + 1 не будет считаться однородным;
  • приводимым называется многочлен, который возможно разложить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из определенного поля, а ином случае такой многочлен является неприводимым.

Многочлены от двух переменных

Для обозначения переменных возьмем две латинские буквы — y и x, которые обычно используются в алгебре. Представим произведение a × x k × y l , где a будет являться числом, которое можно назвать одночленом. Степень данного числа будет равна k+l. Сумма одночленов считается многочленом.

В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов, у которых большое количество переменных, не существует общепринятой шаблонной записи.

Как и многочлены с одной переменной, многочлены с несколькими переменными имеют способность к разложению на множители. Самым главным разложением является разложение разности n-ых степеней, которое более известно всем в использовании для n=2 и n=3.

x 2 — y 2 = ( x — y ) ( x + y )

x 3 — y 3 = ( x — y ) ( x 2 + x × y + y 2 )

Данные формулы можно обобщить для произвольного n:

x n — y n = ( x — y ) ( x n — 1 + x n — 2 × y + . . . + x × y n — 2 + y n — 1 )

Сумму n — ы х степеней возможно с легкостью разложить в тех случаях, когда n является нечетным. Слагаемое y n возможно представить в форме — ( — y ) n , а также применить формулу разложения разности n — ы х степеней.

x 5 + y 5 = x 5 — ( — y ) 5 = ( x — ( — y ) ) × ( x 4 + x 3 × ( — y ) + x 2 × ( — y ) 2 + x × ( — y ) 3 + ( — y ) 4 ) = ( x + y ) × ( x 4 — x 3 × y + x 2 × y 3 + y 4 ) .

Данное тождество может быть проверено прямым перемножением скобок правой части.

Многочлены от нескольких переменных

Как и в случае с двумя переменными возможно построить многочлены от любого количества переменных. Возьмем m количество букв x 1 , x 2 , … Совершим построение одночленов x k 1 , x l 2 , . . . , x z n . Многочленом называется сумма данных одночленов, которые снабжены числовыми коэффициентами.

Покажем ряд тождеств, в которых могут использоваться многочлены с несколькими переменными.

1 ) x 3 + y 3 + z 3 — 3 × x y z = ( x + y + z ) × ( x 2 + y 2 + z 2 — x y — y z — x z ,

2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) × ( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( z x + b y + c z ) 2 + ( a y — b x ) 2 + ( a z — c x ) 2 + ( b z — c y ) 2 ,

3 ) ( x — x 1 ) × ( x — x 2 ) × ( x — x 3 ) = x 3 — ( x 1 + x 2 + x 3 ) × x 2 + ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 ) × x — x 1 x 2 x 3 .

Степень одночлена — такая сумма степеней, с которыми в данный одночлен входят все буквы. Степень многочлена — самая большая степень одночлена, входящего в многочлен (с условием ненулевого коэффициента). Рассмотрим примеры, которые приведены выше.

В первом примере в левой части находится многочлен третьей степени с разными переменными (обозначается буквами x, z, y).

Во втором примере многочлен находится в четвертой степени с переменными, которые обозначаются буквами a, b, c, x, y, z.

В третьем случае многочлен находится в третьей степени с четырьмя буквами x, x1, x2, x3.

Многочлен считается однородным в том случае, если все его одночлены обладают одним и тем же коэффициентом степени. В примерах выше все многочлены считаются однородными. Среди многочленов с несколькими буквами выделяют симметричные многочлены. В примерах выше первые два примера считаются симметричными. Можно особо отметить базовые симметричные многочлены, как и в варианте с двумя переменными.

F 0 = 1 , F 1 = x 1 + . . . + x m , F 2 = x 1 x 2 + . . . + x m — 1 x m , F m = x 1 x 2 × . . . × x m .

В данных формулах F n является суммой всех возможных произведений, которые взяты по k букв из информации m букв. Как и в случае с двумя буквами, каждый симметричный многочлен будет представлен в качестве многочлена от базовых симметричных многочленов.

Бином Ньютона является одним из самых известных многочленов от двух переменных. Бином представляет собой разложение степени двучлена ( a x + b y ) n в сумму одночленов.

Рассмотрим, какие действия можно совершать с многочленами.

Сумма многочленов

У многочленов существует способность складываться друг с другом. Приведем пару простых примеров.

Совершим сложение следующих уравнений:

3 x y 5 + 6 y 6 + 13 x 5 , а также 6 y 6 — x y 5 + 3 x 5 .

Первый этап сложения — записать данные многочлены в виде суммы:

( 3 x y 5 + 6 y 6 + 13 x 5 ) + ( 6 y 6 — x y 5 + 3 x 5 ) .

Далее нужно раскрыть скобки в данном уравнении:

3 x y 5 + 6 y 6 + 13 x 5 + 6 y 6 — x y 5 + 3 x 5 .

Далее нужно привести подобные слагаемые. В итоге получим следующее уравнение:

2 x y 5 + 12 y 6 + 16 x 5 .

Получается, что результат суммы данных двух многочленов дает такой же многочлен.

Разность многочленов

Также над данными типами чисел можно совершать действие вычитания. Рассмотрим небольшой пример данного действия.

Совершаем вычитание следующих уравнений:

3 x y 5 + 6 y 6 + 13 x 5 и 6 y 6 — x y 5 + 3 x 5 .

Первый шаг в решении такого типа заданий — записать данное уравнение в качестве разности:

( 3 x y 5 + 6 y 6 + 13 x 5 ) — ( 6 y 6 — x y 5 + 3 x 5 ) .

Далее раскрываем скобки: 3 x y 5 + 6 y 6 + 13 x 5 — 6 y 6 + x y 5 — 3 x 5 .

Стоит помнить, что если перед скобками находится знак минус, то в случае раскрытия скобок знаки поменяются на противоположные. Приводим подобные слагаемые, в итоге получаются:

4 x y 5 + 10 x 5 .

Получается, что в результате разности получается такой же многочлен.

Произведение многочлена и одночлена

В итоге умножения всегда получается только многочлен. Рассмотрим этапы умножения:

  • составляют определенное произведение;
  • раскрывают скобки;
  • для раскрытия скобок в процессе умножения нужно сделать умножение каждого одночлена на каждый элемент многочлена, а также нужно сложить данные уравнения между собой;
  • происходит группировка одних чисел с другими, одинаковых переменных друг с другом;
  • происходит умножение чисел, а также складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Совершим умножение одночлена ( — m 2 n ) на многочлен ( m 2 n 2 — m 2 — n 2 ) .

Решение. Составляется произведение:

( — m 2 n ) × ( m 2 n 2 — m 2 — n 2 ) .

( — m 2 n ) × m 2 n 2 + ( — m 2 n ) × ( — m 2 ) + ( — m 2 n ) × ( — n 2 ) .

После умножения получится следующее выражение: — m 4 n 3 + m 4 n + m 2 n 3 .

Произведение двух многочленов

Представим правило умножения: нужно каждый элемент первого многочлена перемножить на каждый элемент второго многочлена, далее нужно произвести сложение полученных результатов, итоговый многочлен нужно привести к стандартному виду.

Произведением умножение многочлена на многочлен ( 1 — 4 x 2 ) и ( 5 y 2 — 3 x — 2 ) .

Нужно составить соответствующее произведение: ( 1 — 4 x 2 ) × ( 5 y 2 — 3 x — 2 ) .

Раскрываются скобки согласно правилу: 5 y 2 — 3 x — 2 — 20 x 2 y 2 + 12 x 3 + 8 x 2 .

Данный многочлен обладает стандартным видом, а, значит, ответом будет:

5 y 2 — 3 x — 2 — 20 x 2 y 2 + 12 x 3 + 8 x 2 .

Также возможно совершить деление, при котором можно перейти полностью к сокращению дроби (то есть перейти на уровень, когда дробь под чертой можно сократить).

Видео:Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22 9 классСкачать

Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22  9 класс

Каноническая форма многочлена

Стандартный многочлен степени m (полином) от одинарной переменной x — уравнение формы типа

a ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a m x m = ∑ i = 0 m a i x i ,

при котором a i ∈ K , a m ≠ 0 .

Часть a i является коэффициентами многочлена. Они могут являться нулевыми (как элементы, так и все полностью).

Можно определить каноническую форму многочлена таким образом: находится самое большое i.

Оно должно быть таким, чтобы a i ≠ 0 , допустим, i = n .

Получается следующее выражение: a ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . a n x n , a n ≠ 0 .

Если абсолютно все a i стремятся к нулю, то каноническая форма будет нулем.

Число 0 ∈ K будет читаться многочленом с нулевыми коэффициентами, носит название нулевых многочленов. Однако степень нулевого многочлена является неопределенной.

Видео:Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Решение уравнения методом замены переменной

Примеры решения задач для самостоятельного разбора новой темы

Представим задачу на многочлены от нескольких переменных

Умножить многочлены ( a 2 + b + 1 ) и ( a 2 — 24 b + 6 ) . Привести результат к стандартному виду.

Решение. Нужно составить выражение ( a 2 + b + 1 ) × ( a 2 — 24 b + 6 ) .

Раскрываем скобки согласно правилу: a 4 — 24 a 2 b + 6 a 2 + a 2 b — 24 b 2 + 6 b + a 2 — 24 b + 6 .

Приводим его к стандартному виду: a 4 — 23 a 2 b + 7 a 2 — 24 b 2 — 18 b + 6 .

Ответ: a 4 — 23 a 2 b + 7 a 2 — 24 b 2 — 18 b + 6 .

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
Линейное уравнение

Уравнение вида Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, где Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях— переменная, Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхи Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхнекоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхи Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхКаждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхКаждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхКаждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях
Корни уравнения Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхКаждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхКаждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях-любое числокорней нет
Одночлены и многочлены
Одночлены
  • Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
  • Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
  • Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
  • Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
  • Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
  • Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
  • Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
  • Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхназывают неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Многочлен Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхназывают неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем

Для любого Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхи любых целых Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхвыполняются равенства:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Для любых Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхи любого целого Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхвыполняются равенства:

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях

Функция. Область определения и область значений функции
Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, зависимую обозначают Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, функцию(правило) — Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях.
Независимую переменную Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхназывают аргументом функции. Значение зависимой переменной Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхназывают значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях.
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства
  • Функцию, которую можно задать формулой вида Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, где Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетанияхи Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях— некоторые числа, Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях— независимая переменная, называют линейной.
  • Графиком линейной функции является прямая.
  • Линейную функцию, заданную формулой Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, где Каждое уравнение переменные входят как сумма произведений переменных в разных сочетаниях, называют прямой пропорциональностью.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

  • все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
  • координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

  • построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
  • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
  • полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
  • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
  • если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

  • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
  • подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
  • решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
  • подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

  • подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
  • сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
  • решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
  • подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.

💡 Видео

2 Функция Excel СУММПРОИЗВСкачать

2  Функция Excel СУММПРОИЗВ

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМ

9 класс. Алгебра. Решение уравнений методом замены переменной.Скачать

9 класс. Алгебра. Решение уравнений методом замены переменной.

Что такое знак СУММЫ и как он работает?Скачать

Что такое знак СУММЫ и как он работает?

Многочлены. 7 класс.Скачать

Многочлены. 7 класс.

Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. 6 класс.Скачать

Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. 6 класс.

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Урок 1.Поиск решения, оптимизация, оптимальный план производстваСкачать

Урок 1.Поиск решения, оптимизация, оптимальный план производства

Уравнения с модулемСкачать

Уравнения с модулем

Числовые Промежутки — Алгебра 8 класс / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Числовые Промежутки — Алгебра 8 класс / Подготовка к ЕГЭ по Математике

решение уравнения с заменой переменнойСкачать

решение уравнения с заменой переменной

✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис ТрушинСкачать

✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис Трушин

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Поделиться или сохранить к себе: