Написать уравнение плоскости проходящей через прямую l1 и параллельную прямой l2

Если даны не параллельные прямые L₁ и L₂, тогда плоскость, проходящая через прямую L₁ и параллельная прямой L₂ представляется уравнением:

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой.

х₁, y₁, z₁ — координаты какой-либо точки прямой L₁

ι ₁, m₁, n₁ — направляющие коэффициенты прямой L₁

ι ₂, m₂, n₂ — направляющие коэффициенты прямой L₂

Видео:Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно другой прямой L₂ (прямые L₁ и L₂ не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂, которые не параллельны:

.

(1)

.

(2)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂(Рис.1).

Прамая L₁ должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M₁ должна нежать на плоскости α.

Уравнение плоскости можно записать формулой

и поскольку M₁(x₁, y₁, z₁) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:

Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L₁, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L₂, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₂ прямой L₂, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(8)

паралленьно другой прямой L₂ :

(9)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

(10)

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(11)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(12)

(13)

(14)

(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:

(18)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(20)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(23)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(24)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:

(31)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Задача 31338 Написать уравнение плоскости, проходящей.

Условие

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую: l1: (x-3)/2 = y/1 = (z+1)/3, параллельно прямой l2:
<x+y–z=2 x+2y=3

Все решения

Плоскость, проходит через прямую
L_(1): (x–3)/2 = y/1 = (z+1)/3,

Значит точка K(-3;0;-1) принадлежит плоскости и направляющий вектор прямой vector=(2;1;3) лежит в плоскости

Найдем две точки принадлежащие прямой L_(2):
Пусть
y=0
тогда из второго уравнения
х=3
Из первого
z=1
А(3;0;1)
и
z=0
<x+y=2
<x+2y=3
Умножаем первое на 2
<2x+2y=4
<x+2y=3
Вычитаем
х=1
y=1
B(1;1;0)

vector=(1-3;1-0;0-1)=(-2;1;-1) — направляющий вектор прямой L_(2).

Пусть M(x;y;z) — произвольная точка искомой плоскости.
Тогда три вектора
vector=(x-3;y;z+1); vector=(2;1;3) и vector=(-2;1;-1) [b] компланарны [/b]

Условие компланарности трех векторов — равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов.

📹 Видео

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

Уравнение параллельной прямойСкачать