Метод стеффенсена решения нелинейных уравнений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: сформировать навыки решения нелинейных уравнений численными методами.

Отчетпо лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче:

1) постановка задачи;

2) необходимый теоретический материал;

3) результаты вычислительного эксперимента;

4) анализ полученных результатов;

5) графический материал (если необходимо);

6) тексты программ.

Варианты заданий к задачам 2.1-2.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.A.

Основные теоретические сведения

1.1.Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

на всей числовой оси или на некотором интервале .

Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется корнем уравнения (1), а способ нахождения этого значения — решением уравнения (1).

Численное решение уравнения проводится в два этапа:

1 этап. Отделение корней уравнения.

2 этап. Уточнение интересующих корней с заданной точностью ε.

Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a,b], которому он принадлежит.

Уточнение корня – это вычисление интересующего корня с заданной точностью e.

Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

Метод дихотомии (половинного деления, бисекций):

x = (a+b)/2 , если ¦(a) ·¦(x)>0 => x * Î [x,b] => a=x, иначе x * Î [a, x] => b=x

Оценка количества итераций n, требуемых для достижения требуемой точности ε (на заданном отрезке [a,b]):

Условие завершения вычислений : длина отрезка не превышает заданную точность и значение функции близко к 0 с заданной точностью:

Метод простых итераций (метод последовательных приближений).

Условие сходимости

Условие завершения итерационного процесса:

Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…

Условие окончания расчета:

,

где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

Метод ложного положения: , n=0,1,…;

c-фиксированная точка из окрестности корня

Метод секущих: , n=0,1,…

Метод Стеффенсена: , n=0,1,…

Модифицированный метод Ньютона для поиска кратных корней:

, n=0,1,…, m=1,2,…

Индивидуальные задания

Задача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.

2. Локализовать корни f(x)=0 графически.

3. Найти корни уравнения f(x)=0 с точностью с помощью метода бисекции.

4. Найти корни уравнения f(x)=0 с точностью .

5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.

Фрагмент решения задачи 2.1.

=0, [a,b]=[0,]

Аналитическое решение задачи:

, =1.31811607652818, =1.738244406014586

Численное решение задачи: Локализация корней для численного решения задачи:

(на примере работы пакета MATHCAD)

bisec

Встроенная функция пакета MATHCAD

— задание начального приближения

Значение корня отличается от найденного с помощью функции bisec , так как по умолчанию величина погрешности при работе встроенных функций равна 0.001.

Переопределим параметр для задания погрешности

Значение корня с заданной точностью 1.3181160717.

bisec

Значение корня с заданной точностью 1.7382444060, число итераций 32.

— задание начального приближения

.

Значения корней в пределах заданной точности совпадают.

Задача 2.2.Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью , двумя способами.

а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].

b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).

Сравнить число итераций в п. a), b).

Задача 2.3.Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью , используя метод простой итерации. К виду x=j(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.

a) Преобразовать уравнение к виду x=x-af(x), где a=2/(M+m), , а x принадлежит отрезку локализации [a, b].

b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.

Использовать критерий окончания итерационного процесса вида , где в п. a) q=(M-m)/(M+m), в п. b) .

Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).

Задача 2.4.Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью , используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

Задача 2.5.Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a,b], с точностью , используя модификацию метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5. По числу итераций определить кратность корня.

Задача 2.6.(ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

Задача 2.7.Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

Задача 2.8.(ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью , используя метод Ньютона.

УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.

Задача 2.9.(ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

a)Локализовать корни уравнения f(x)=0. Уточнить их с точностью , используя метод Ньютона. Для поиска кратного корня и определения его кратности следует использовать модификацию метода Ньютона для случая кратного корня с m=1,2,3. При любых ли начальных приближениях такой метод сходится?

b) Рассмотреть уравнение f(x)+d=0, где . Найти корень кратности 1, используя метод Ньютона. Применить для нахождения кратного корня соответствующую модификацию* метода Ньютона. Удается ли найти кратный корень? Если нет, то использовать метод Ньютона с комплексными начальными приближениями. Сохранился ли кратный корень? Объяснить результаты.

Задача 2.10.(ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений функции y=f(x) с шагом h=0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с точностью ). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.A.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 2

Таблица к задаче 2.1

N	f(x)	g(x)	[a, b]
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7.			[5,25]
2.1.8			[0.1,10]
2.1.9			[0.1,2]
2.1.10
2.1.11
2.1.12
2.1.13			[0,3]
2.1.14			[0,2]
2.1.15			[0,3]
2.1.16
2.1.17
2.1.18
2.1.19
2.1.20
2.1.21
2.1.22			[0.001,3]
2.1.23			[0.1,35]
2.1.24			[0.01,3]
2.1.25
2.1.26			[-0.5,1.5]
2.1.27			[-1.5,0]
2.1.28			[1,3]
2.1.29			[0,3]
2.1.30			[0,5]

Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3

N	f(x)	Найти корень	N	f(x)
2.2.1		отрицательный	2.3.1
2.2.2		положительный	2.3.2
2.2.3		положительный	2.3.3
2.2.4		наибольший по модулю	2.3.4
2.2.5		все корни	2.3.5

Таблица к задаче 2.4

f(x)
N
2.4.1	4.545004	-3.055105	-18.06895	4.002429	4.722482
2.4.2	-2.656764	-3.406111	10.89372	-1.752935	-3.423612
2.4.3	-4.556062	2.93309	9.274868	-10.32081	0.422098
2.4.4	7.809249	16.28542	-2.771356	-27.95304	-11.33921
2.4.5	-13.0072	60.24546	-122.0716	105.6798	-30.19201

Таблица к задаче 2.5

N	f(x)	[a, b]
2.5.1		[0.8,1.2]
2.5.2		[0.3,0.7]
2.5.3		[0.5,1]
2.5.4		[0,1]
2.5.5		[0,0.7]

Таблица к задаче 2.6 Таблица к задаче 2.7

N	f(x)	Метод*	N	f(x)
2.6.1		упрощенный метод Ньютона	2.7.1
2.6.2		метод ложного положения	2.7.2
2.6.3		метод простой итерации	2.7.3
2.6.4		метод секущих	2.7.4
2.6.5		метод Стеффенсена	2.7.5

Таблица к задаче 2.8 Таблица к задаче 2.9

N	f(x)	N	f(x)
2.8.1		2.9.1
2.8.2		2.9.2
2.8.3		2.9.3
2.8.4		2.9.4
2.8.5		2.9.5

Таблица к задаче 2.10

N	F(x,y)
2.10.1	, ,
2.10.2	, ,
2.10.3	, ,
2.10.4	, ,
2.10.5	, ,

Контрольные вопросы

1. Опишите этапы численного решения уравнений

2. Опишите схему алгоритма отделения корней

3. Перечислите алгоритмы уточнения корней уравнения

4. Опишите методы уточнения корней уравнения

5. Опишите схему алгоритма метода бисекций (дихотомии)

6. Как рассчитать количество итераций n, требуемых для достижения требуемой точности ε

7. Объясните алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций

8. Объясните схему алгоритма метода Ньютона

9. Объясните формулы итерационных процессов численного решения уравнений

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Нелинейные системы и уравнения

В более общем случае мы имеем не одно уравнение (1), а систему нелинейных уравнений $$ begin tag f_i(x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, quad i = 1, 2, ldots n. end $$ Обозначим через ( mathbf = (x_1, x_2, ldots, x_n) ) вектор неизвестных и определим вектор-функцию ( mathbf(mathbf) = (f_1(mathbf), f_2(mathbf), ldots, f_n(mathbf)) ). Тогда система (2) записывается в виде $$ begin tag mathbf(mathbf) = 0. end $$ Частным случаем (3) является уравнение (1) (( n = 1 )). Второй пример (3) — система линейных алгебраических уравнений, когда ( mathbf (mathbf) = A mathbf — mathbf ).

Видео:10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Решение нелинейных уравнений

При итерационном решении уравнений (1), (3) задается некоторое начальное приближение, достаточно близкое к искомому решению ( x^* ). В одношаговых итерационных методах новое приближение ( x_ ) определяется по предыдущему приближению ( x_k ). Говорят, что итерационный метод сходится с линейной скоростью, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*) ) и итерационный метод имеет квадратичную сходимость, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*)^2 ).

В итерационном методе Ньютона (методе касательных) для нового приближения имеем $$ begin tag x_ = x_k + frac, quad k = 0, 1, ldots, end $$

Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока ( f(x_k) ) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока ( |f_(x_k)| > varepsilon ), где ( varepsilon ) — малая величина.

Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:

Чтобы найти корень уравнения ( x^2 = 9 ) необходимо реализовать функции

Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение ( tanh(x) = 0 ), точное решение которого ( x = 0 ). Если ( |x_0| leq 1.08 ), то метод сходится за шесть итераций.

Теперь зададим ( x_0 ) близким к ( 1.09 ). Возникнет переполнение

Возникнет деление на ноль, так как для ( x_7 = -126055892892.66042 ) значение ( tanh(x_7) ) при машинном округлении равно ( 1.0 ) и поэтому ( f^prime(x_7) = 1 — tanh(x_7)^2 ) становится равной нулю в знаменателе.

Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.

Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.

Учитывая выше сказанное реализуем функцию с учетом следующего:

1. обрабатывать деление на ноль
2. задавать максимальное число итераций в случае расходимости метода
3. убрать лишний вызов функции f(x)

Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.

При реализации метода Ньютона нужно знать аналитическое выражение для производной ( f^prime(x) ). Python содержит пакет SymPy, который можно использовать для создания функции dfdx . Для нашей задачи это можно реализовать следующим образом:

Видео:МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Решение нелинейных систем

Идея метода Ньютона для приближенного решения системы (2) заключается в следующем: имея некоторое приближение ( pmb^ ), мы находим следующее приближение ( pmb^ ), аппроксимируя ( pmb(pmb^) ) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу ( pmb(pmb^) = 0 ) линейной $$ begin tag pmb(pmb^) + pmb(pmb^)(pmb^ — pmb^) = 0, end $$ где ( pmb(pmb^) ) — матрица Якоби (якобиан): $$ pmb(pmb^) = begin frac<partial f_1(pmb^)> & frac<partial f_1(pmb^)> & ldots & frac<partial f_1(pmb^)> \ frac<partial f_2(pmb^)> & frac<partial f_2(pmb^)> & ldots & frac<partial f_2(pmb^)> \ vdots & vdots & ldots & vdots \ frac<partial f_n(pmb^)> & frac<partial f_n(pmb^)> & ldots & frac<partial f_n(pmb^)> \ end $$ Уравнение (5) является линейной системой с матрицей коэффициентов ( pmb ) и вектором правой части ( -pmb(pmb^) ). Систему можно переписать в виде $$ pmb(pmb^)pmb = — pmb(pmb^), $$ где ( pmb = pmb^ — pmb^ ).

Таким образом, ( k )-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:

1. Решается система линейных уравнений (СЛАУ) ( pmb(pmb^)pmb = -pmb(pmb^) ) относительно ( pmb ).

2. Находится значение вектора на следующей итерации ( pmb^ = pmb^ + pmb ).

Для решения СЛАУ можно использовать приближенные методы. Можно также использовать метод Гаусса. Пакет numpy содержит модуль linalg , основанный на известной библиотеке LAPACK, в которой реализованы методы линейной алгебры. Инструкция x = numpy.linalg.solve(A, b) решает систему ( Ax = b ) методом Гаусса, реализованным в библиотеке LAPACK.

Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.

Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Нелокальные одношаговые итерационные процессы полного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.

Понятие о разделенных разностях первого и второго порядка для нелинейного оператора. Понятие об одношаговых и многошаговых итерационных процессах. Аналог интерполяционной формулы Ньютона для операторов. Формулировка и доказательство одной из теорем об одношаговом итерационном процессе полного прогноза метода Стеффенсена.

Литература: [14], [15], [16], [17], [20], [21], [22], [23].

21.Нелокальные многошаговые итерационные процессы полного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.

Понятие о разделенных разностях первого и второго порядка для нелинейного оператора. Понятие об одношаговых и многошаговых итерационных процессах. Аналог интерполяционной формулы Ньютона для операторов. Формулировка и доказательство одной из теорем о многошаговом итерационном процессе полного прогноза метода Стеффенсена.

Литература: [14], [15], [16], [17], [20], [21], [22], [23].

22. Нелокальные итерационные процессы неполного прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрерывным нелинейным оператором.
Понятие непрерывного оператора. Разделенные разности первого и второго порядка нелинейного оператора. Аналог интерполяционной формулы Ньютона для операторов. Достоинства и недостатки локального варианта метода хорд. О “полном” и “неполном” прогнозе в итерационных процессах. Формулировка и доказательство одной из теорем о нелокальном итерационном процессе метода хорд с использованием процедуры неполного прогноза.

Литература: [14], [15], [16], [619], [20], [21], [22], [23].

23. Нелокальные итерационные процессы полного прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрерывным нелинейным оператором.

Понятие непрерывного оператора. Разделенные разности первого и второго порядка нелинейного оператора. Аналог интерполяционной формулы Ньютона для операторов. Достоинства и недостатки локального варианта метода хорд. О “полном” и “неполном” прогнозе в итерационных процессах. Формулировка и доказательство одной из теорем о нелокальном итерационном процессе метода хорд с использованием процедуры полного прогноза.

Литература: [14], [15], [16], [19], [20], [21], [22], [23].

24. О методах неполного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.

Понятие о скорости сходимости итерационных процессов. Понятие “полного” и “неполного” прогнозов. Достоинства и недостатки методов с ускоренной локальной сходимостью. Понятие производной Фреше нелинейного оператора. Формулировка и доказательство теоремы о нелокальной сходимости одного из одношаговых или многошаговых методов нелокального прогноза.

Литература: [14], [15], [16], [19], [20], [21], [23].

25. Об итерационных методах полного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
Понятие о скорости сходимости итерационных процессов. Понятие “полного” и “неполного” прогнозов. Понятие о производной Фреше нелинейного оператора. Достоинства и недостатки методов с ускоренной локальной сходимостью. Формулировка и доказательство одной из теорем о нелокальной сходимости одного из одношаговых или многошаговых методов полного прогноза, локально сходящегося с кубической скоростью.

Литература: [14], [15], [16], [19], [20], [21], [23].

26. О нелокальных итерационных методах неполного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с непрерывным оператором.
Понятие разделенной разности оператора. О разделенных разностях первого и второго порядка. Аналог интерполяционной формулы Ньютона для операторов. О локальных итерационных процессах третьего порядка. Формулировка и доказательство одной из теорем о нелокальном итерационном процессе неполного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью.

Литература: [14], [15], [19], [20], [21], [22], [23].

27. О нелокальных итерационных методах полного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с непрерывным оператором.
Понятие разделенной разности оператора. О разделенных разностях первого и второго порядка. Аналог интерполяционной формулы Ньютона для операторов. О локальных итерационных процессах третьего порядка. Формулировка и доказательство одной из теорем о нелокальном итерационном процессе полного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью.

Литература: [14], [15], [19], [20], [21], [22], [23].

Список литературы

1. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики
/ М. М. Лаврентьев. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. – 92 с.

2. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1979. – 288 с.

3. Вайникко, Г. М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г. М. Вайникко, А. Ю. Веретенников. – М.: Наука, 1986. – 176 с.

4. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. – М. : Физматгиз, 1959. – 680с.

5. Савчук, В. Ф. Регуляризация некорректных задач / В. Ф. Савчук, О. В. Матысик. – Брест: Изд-во БрГУ, 2003. – 44 с.

6. Крылов, В. И. Вычислительные методы : учеб. пособие : в 2 ч.
/ В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. – М. : Наука, 1976. – Ч.1. – 304 с.

7. Вельбицкий, И.В. Технологический комплекс производства программ на машинах ЕС ЭВМ БЭСМ-6 / И.В. Вельбицкий, В.Н. Ходаковский, Л.И, Шолмов. – М.: Статистика, 1980. – 264 с.

8. Вельбицкий, И.В. Формальное задание семантики языков современных систем программирования / И.В. Вельбицкий. – Доклады АН СССР, 1975, т. 223, №6, с. 1329 – 1332.

9. Ван Тассел, Д. Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ: пер. с англ. / Д. Ван Тассел – М.: Мир, 1981. – 320 с.

10. Керниган, Б.В. Элементы стиля программирования: пер. с англ. / Б.В. Керниган, Ф.Дж. Плоджер – М.: Радио и связь, 1984. – 160 с.

11. Данилин, А.Р. Структурное программирование (методическая разработка) / А.Р. Данилин – Свердловск, 1981. – 126 с.

12. Хьюз, Дж. Структурный подход к программированию: пер. с англ. / Дж. Хьюз, Дж. Мичтом – М.: Мир, 1980. – 280 с.

13. Лингер, Р. Теория и практика структурного программирования: пер. с англ. / Р. Лингер, Х. Миллс, Б. Уитт – М.: Мир, 1982. – 406 с.

14. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнбоедт. – М.: Мир, 1975. — 558 с.

15. Крылов, В.И. Вычислительные методы высшей математики / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. – т. 2, Мн.: Вышэйшая школа, 1975. — 671 с.

16. Полак, М. Численные методы оптимизации. Единый подход / М. Полак. – М.: Мир, 1974. — 376 с.

17. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. – М.: Наука, 1980, 518 с.

18. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. – М.: Наука, 1981, 400 с.

19. Дэннис, Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р Шнабель. – М.: Мир, 1988,

20. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2002, 848 с.

21. Мадорский, В.М. Квазиньютоновские процессы для решения нелинейных уравнений / В.М. Мадорский. – Брест: 2005, 186 с.

22. Ульм, С.Ю. Об обобщенных разделенных разностях / С.Ю. Ульм. — Изв. АН ЭССР: сер. физ.-мат. н., 1967.- т. 16, № 1. – с. 13-25.

23. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006, 636 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. 3

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО СПЕЦИАЛИЗАЦИИ. 6

СОДЕРЖАНИЕ ВОПРОСОВ К ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО СПЕЦИАЛИЗАЦИИ. 8

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 15

на учебную программу государственного экзамена по специализации

1-31 03 03-01 «Прикладная математика» для студентов дневной формы обучения математического факультета

📸 Видео

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать

4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать

Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

1,2 Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

Метод итерацийСкачать

Методы численного анализа - Метод Ньютона, секущих для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Лекция 2. Методы решения нелинейных уравнений. 18.02.2021Скачать

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

ЧМ-1. Решение нелинейных уравнений. Часть 1/2Скачать

МЗЭ 2021 Лекция 9 Метод Ньютона для решения нелинейных уравненийСкачать

Метод простой итерации Пример РешенияСкачать