Условие
даны три вектора а=(3,-2,4), в=(5,1,6), с=(-3,0,2) найти вектор х удовлетворяющий трем уравнениям: (а ^ x)=4 (b ^ x)=35 (c ^ x)=0
Все решения
Пусть вектор х имеет координаты (x_(1);x_(2);x_(3)).
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.
Смешанное произведение векторов
Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .
Признаки компланарности векторов
Признак компланарности. Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abc . Если же векторы a, b, c компланарны, то abc=0 . Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c .
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.
Свойства смешанного произведения
- При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Вытекает из геометрического смысла. - (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения. - (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения. - Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .
Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы напомним основные определения и рассмотрим типовые задачи на компланарные векторы.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»