Метод рунге кутта для решения дифференциальных уравнений python

Введение:

При математическом моделировании ряда технических устройств используются системы дифференциальных нелинейных уравнений. Такие модели используются не только в технике, они находят применение в экономике, химии, биологии, медицине, управлении.

Исследование функционирования таких устройств требуют решения указанных систем уравнений. Поскольку основная часть таких уравнений являются нелинейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение.

Возникает необходимость использовать численные методы, наиболее известным из которых является метод Рунге — Кутты [1]. Что касается Python, то в публикациях по численным методам, например [2,3], данных по применение Рунге — Кутты крайне мало, а по его модификации — методу Рунге-Кутта-Фельберга вообще нет.

В настоящее время, благодаря простому интерфейсу, наибольшее распространение в Python имеет функцию odeint из модуля scipy.integrate. Вторая функция ode из этого модуля реализует несколько методов, в том числе и упомянутый пятиранговый метод Рунге-Кутта-Фельберга, но, вследствие универсальности, имеет ограниченное быстродействие.

Целью настоящей публикации является сравнительный анализ перечисленных средств численного решения систем дифференциальных уравнений с модифицированным автором под Python методом Рунге-Кутта-Фельберга. В публикации так же приведены решения по краевым задачам для систем дифференциальных уравнений (СДУ).

Краткие теоретические и фактические данные по рассматриваемым методам и программным средствам для численного решения СДУ

Для одного дифференциального уравнения n – го порядка, задача Коши состоит в нахождении функции, удовлетворяющей равенству:

и начальным условиям

Перед решением эта задача должна быть переписана в виде следующей СДУ

(1)

с начальными условиями

Модуль имеет две функции ode() и odeint(), предназначенные для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (задача Коши). Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат odeint(func, y0, t[,args=(), . ]) Аргумент func – это имя Python функции двух переменных, первой из которых является список y=[y1,y2. yn], а второй – имя независимой переменной.

Функция func должна возвращать список из n значений функций при заданном значении независимого аргумента t. Фактически функция func(y,t) реализует вычисление правых частей системы (1).

Второй аргумент y0 функции odeint() является массивом (или списком) начальных значений при t=t0.

Третий аргумент является массивом моментов времени, в которые вы хотите получить решение задачи. При этом первый элемент этого массива рассматривается как t0.

Функция odeint() возвращает массив размера len(t) x len(y0). Функция odeint() имеет много опций, управляющих ее работой. Опции rtol (относительная погрешность) и atol (абсолютная погрешность) определяют погрешность вычислений ei для каждого значения yi по формуле

Они могут быть векторами или скалярами. По умолчанию

Вторая функция модуля scipy.integrate, которая предназначена для решения дифференциальных уравнений и систем, называется ode(). Она создает объект ОДУ (тип scipy.integrate._ode.ode). Имея ссылку на такой объект, для решения дифференциальных уравнений следует использовать его методы. Аналогично функции odeint(), функция ode(func) предполагает приведение задачи к системе дифференциальных уравнений вида (1) и использовании ее функции правых частей.

Отличие только в том, что функция правых частей func(t,y) первым аргументом принимает независимую переменную, а вторым – список значений искомых функций. Например, следующая последовательность инструкций создает объект ODE, представляющий задачу Коши.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

При численном решении задачи Коши

(2)

(3)

по известному решению в точке t =0 необходимо найти из уравнения (3) решение при других t. При численном решении задачи (2),(3) будем использовать равномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0.

Приближенное решение задачи (2), (3) в точке обозначим . Метод сходится в точке если при . Метод имеет р-й порядок точности, если , р > 0 при . Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (2),(3) есть

(4)

При имеем явный метод и в этом случае разностная схема аппроксимирует уравнение (2) с первым порядком. Симметричная схема в (4) имеет второй порядок аппроксимации. Эта схема относится к классу неявных — для определения приближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейную задачу.

Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимации удобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапе предиктора (предсказания) используется явная схема

(5)

а на этапе корректора (уточнения) — схема

В одношаговых методах Рунге—Кутта идеи предиктора-корректора реализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем виде:

(6),

Формула (6) основана на s вычислениях функции f и называется s-стадийной. Если при имеем явный метод Рунге—Кутта. Если при j>1 и то определяется неявно из уравнения:

(7)

О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном. Параметры определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера)

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка

(8)

Метод Рунге—Кутта— Фельберга

Привожу значение расчётных коэффициентов метода

(9)

С учётом(9) общее решение имеет вид:

(10)

Это решение обеспечивает пятый порядок точности, остаётся его адаптировать к Python.

Вычислительный эксперимент по определению абсолютной погрешности численного решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием обеих функций def odein(),def oden() модуля scipy.integrate и адаптированного к Python методов Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга

Адаптированные к Python методы Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга имеют меньшую абсолютную, чем решение с применением функции odeint, но большую, чем с использованием функции edu. Необходимо провести исследование быстродействия.

Численный эксперимент по сравнению быстродействия численного решения СДУ при использовании функции ode с атрибутом dopri5 (метод Рунге – Кутты 5 порядка) и с использованием адаптированного к Python метода Рунге—Кутта— Фельберга

Сравнительный анализ проведём на примере модельной задачи, приведенной в [2]. Чтобы не повторять источник, приведу постановку и решение модельной задачи из [2].

Решим задачу Коши, описывающую движение тела, брошенного с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В векторной форме уравнение движения имеет вид

где – радиус вектор движущегося тела, – вектор скорости тела, – коэффициент сопротивления, вектор силы веса тела массы m, g – ускорение свободного падения.

Особенность этой задачи состоит в том, что движение заканчивается в заранее неизвестный момент времени, когда тело падает на землю. Если обозначить , то в координатной форме мы имеем систему уравнений:

К системе следует добавить начальные условия: (h начальная высота), . Положим . Тогда соответствующая система ОДУ 1 – го порядка примет вид:

Для модельной задачи положим . Опуская довольно обширное описание программы, приведу только листинг из комментариев к которому, думаю, будет ясен принцип её работы. В программу добавлен отсчёт времени работы для сравнительного анализа.

Flight time = 1.2316 Distance = 5.9829 Height =1.8542
Flight time = 1.1016 Distance = 4.3830 Height =1.5088
Flight time = 1.0197 Distance = 3.5265 Height =1.2912
Flight time = 0.9068 Distance = 2.5842 Height =1.0240
Время на модельную задачу: 0.454787

Для реализации средствами Python численного решения СДУ без использования специальных модулей, мною была предложена и исследована следующая функция:

def increment(f, t, y, tau
k1=tau*f(t,y)
k2=tau*f(t+(1/4)*tau,y+(1/4)*k1)
k3 =tau *f(t+(3/8)*tau,y+(3/32)*k1+(9/32)*k2)
k4=tau*f(t+(12/13)*tau,y+(1932/2197)*k1-(7200/2197)*k2+(7296/2197)*k3)
k5=tau*f(t+tau,y+(439/216)*k1-8*k2+(3680/513)*k3 -(845/4104)*k4)
k6=tau*f(t+(1/2)*tau,y-(8/27)*k1+2*k2-(3544/2565)*k3 +(1859/4104)*k4-(11/40)*k5)
return (16/135)*k1+(6656/12825)*k3+(28561/56430)*k4-(9/50)*k5+(2/55)*k6

Функция increment(f, t, y, tau) обеспечивает пятый порядок численного метода решения. Остальные особенности программы можно посмотреть в следующем листинге:

Время на модельную задачу: 0.259927

Предложенная программная реализация модельной задачи без использования специальных модулей имеет почти в двое большее быстродействие, чем с функцией ode, однако нельзя забывать, что ode имеет более высокую точность численного решения и возможности выбора метода решения.

Решение краевой задачи с поточно разделёнными краевыми условиями

Приведем пример некоторой конкретной краевой задачи с поточно разделенными краевыми условиями:

(11)

Для решения задачи (11) используем следующий алгоритм:

1. Решаем первые три неоднородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

2. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

3. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

4. Общее решение краевой задачи (11) при помощи решений задач Коши записывается в виде линейной комбинации решений:

где p2, p3 — некоторые неизвестные параметры.

5. Для определения параметров p2, p3, используем краевые условия последних двух уравнений (11), то есть условия при x = b. Подставляя, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных p2, p3:
(12)
Решая (12), получим соотношения для p2, p3.

По приведенному алгоритму с применением метода Рунге—Кутта—Фельберга получим следующую программу:

y0[0]= 0.0
y1[0]= 1.0
y2[0]= 0.7156448588231397
y3[0]= 1.324566562303714
y0[N-1]= 0.9900000000000007
y1[N-1]= 0.1747719838716767
y2[N-1]= 0.8
y3[N-1]= 0.5000000000000001
Время на модельную задачу: 0.070878

Вывод

Разработанная мною программа отличается от приведенной в [3] меньшей погрешностью, что подтверждает приведенный в начале статьи сравнительный анализ функции odeint с реализованным на Python метода Рунге—Кутта—Фельберга.

3. Н.М. Полякова, Е.В. Ширяева Python 3. Создание графического интерфейса пользователя (на примере решения методом пристрелки краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений). Ростов-на-Дону 2017.

Видео:Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядкаСкачать

Python and Physics: Runge-Kutta Method

One of the most commons math problems that I stumbled across in grad school were Ordinary Differential Equations, otherwise known as ODEs and one of the challenges that had me stumped for a while was, how do I solve ODEs in Python? Thankfully, I was able to stumble across two methods, the Runge-Kutta method and SciPy’s built-in function.

Видео:Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)Скачать

Runge-Kutta Method

The Runge-Kutta method was a numerical approximation for ODE’s, developed by Carl Runge and Wilhelm Kutta. By using four slope values within an interval, that do not necessarily fall on the actual solution, and averaging out the slopes, one can get a pretty nice approximation of the solution. For a more in detail explanation of the Runge-Kutta method and its variations, I highly suggest researching the history, derivation and applications using your favorite textbook/website. Now for this example, we will be focusing on the Fourth Order Runge-Kutta Method to help us solve the 1D scattering problem.

Видео:Решение системы ОДУ в PythonСкачать

Coding

To start off our code, we are going to import some packages that will help us with the math and the visualization.

From here, we then start defining our initial parameters for the equations.

Once we have our initial values, we then start to work on our functions that define the equations we are about to use. The main equation we have is k(x), which is reworked version of Schrödinger’s equation to solve for the variable k, as well as our Ψ equations, which will be defined by psione(x) and psitwo(x). To further explore the equation, MIT OCW has free lectures that anyone can access for free.

Now this is where we get to the good part. First, we need to define an array that contains our initial condition wavefunctions.

With these equations set in our array, we can iterate both of these equations through the Runge-Kutta method, which will be defined below, and have them give us the approximate solutions for the equation we defined for psione(x) and psitwo(x). But before we reach the main part of the equation, we need to define one more important function.

The deriv function is where the outputs from the Runge-Kutta get passed through, this function grabs our values from the array r and then pushes it through these conditions. For the first value that gets returned, it’s quite simple, our x value will just be inputted into the second equation of the array. The second value, however, will be going through a different treatment. This time, the x value will be going through another iteration of Schrodinger’s equation, one that takes into consideration the wave function psione(x).

Here, the loop pretty much goes over the whole process of the Runge-Kutta. By using approximations of the slopes, as defined by the k values, each k value helps approximate the next slope, bringing us one step closer to solving for f(x). Furthermore, after getting each of our slopes, we then obtain a weighted average and update our array with these new values to get the ready for the next iteration. This process will continue for our defined range in the x-axis, which will end up giving us the necessary values for plotting our soon to be solved ODE.

Видео:3_11. Алгоритм Рунге-КуттыСкачать

Overview

The Runge-Kutta Method can be easily adapted to plenty of other equations, most of the time we just have to adjust the deriv function, and our initial condition equations. Other examples include the pendulum ODEs and planetary motion ODEs. Down below, one can now find the full code, along with extra steps, such as the functions to solve for the reflection and transmission values, as well as how to plot our values.

For those interested in the built-in SciPy version of this code, here you go.

Видео:Программируем метод Рунге-Кутта 4 порядкаСкачать

Notes

A bit of a disclaimer, most of this code was adapted from the coursework from my computational class, which focused on using FORTRAN90 instead of Python, so code may not be efficient since I started teaching myself Python by transferring code from FORTRAN. Plus, a nice shoutout to MIT OCW for giving me a small refresher on the equations and methods used in this code.

Видео:Решение ОДУ 2 порядка в PythonСкачать

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения дифференциального уравнения

Учитывая следующие входные данные,

• Обычное дифференциальное уравнение, которое определяет значение dy / dx в виде x и y.
• Начальное значение y, т. Е. Y (0)

Таким образом, мы приведены ниже.

Задача состоит в том, чтобы найти значение неизвестной функции y в заданной точке x.

Метод Рунге-Кутты находит приблизительное значение y для данного x. Только обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка могут быть решены с помощью метода 4-го порядка Рунге Кутты.

Ниже приведена формула, используемая для вычисления следующего значения y _{n + 1} из предыдущего значения y _n . Значения n равны 0, 1, 2, 3,… (x — x0) / h. Здесь h — высота шага, а x _{n + 1} = x ₀ + h

, Меньший размер шага означает большую точность.

Формула в основном вычисляет следующее значение y _{n + 1,} используя текущее значение y _n плюс средневзвешенное значение четырех приращений.

• k ₁ — приращение, основанное на наклоне в начале интервала, используя y
• K ₂ представляет собой приращение на основе наклона в средней точке интервала, с использованием Y + ₁ HK / 2.
• к ₃ снова приращение на основе наклона в средней точке, используя при помощи у + кк _2/2.
• k ₄ — это приращение, основанное на наклоне в конце интервала, с использованием y + hk ₃ .

Этот метод является методом четвертого порядка, это означает, что локальная ошибка усечения имеет порядок O (h 5 ), в то время как общая накопленная ошибка составляет порядок O (h 4 ).

Ниже приведена реализация приведенной выше формулы.

// C программа для реализации метода Рунге Кутты
#include

// Пример дифференциального уравнения «dy / dx = (x — y) / 2»

float dydx( float x, float y)

// Находит значение y для заданного x, используя размер шага h
// и начальное значение y0 в x0.

float rungeKutta( float x0, float y0, float x, float h)

// Подсчитать количество итераций, используя размер шага или

int n = ( int )((x — x0) / h);

float k1, k2, k3, k4, k5;

// Итерация по количеству итераций

// Применить формулы Рунге Кутты, чтобы найти

// следующее значение у

k2 = h*dydx(x0 + 0.5*h, y + 0.5*k1);

k3 = h*dydx(x0 + 0.5*h, y + 0.5*k2);

k4 = h*dydx(x0 + h, y + k3);

// Обновить следующее значение y

y = y + (1.0/6.0)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);;

// Обновляем следующее значение x

float x0 = 0, y = 1, x = 2, h = 0.2;

printf ( «nThe value of y at x is : %f» ,

rungeKutta(x0, y, x, h));

// Java-программа для реализации метода Рунге Кутты

double dydx( double x, double y)

// Находит значение y для заданного x, используя размер шага h

// и начальное значение y0 в x0.

double rungeKutta( double x0, double y0, double x, double h)

differential d1 = new differential();

// Подсчитать количество итераций, используя размер шага или

int n = ( int )((x — x0) / h);

double k1, k2, k3, k4, k5;

// Итерация по количеству итераций

for ( int i = 1 ; i

// Применить формулы Рунге Кутты, чтобы найти

// следующее значение у

k1 = h * (d1.dydx(x0, y));

k2 = h * (d1.dydx(x0 + 0.5 * h, y + 0.5 * k1));

k3 = h * (d1.dydx(x0 + 0.5 * h, y + 0.5 * k2));

k4 = h * (d1.dydx(x0 + h, y + k3));

// Обновить следующее значение y

y = y + ( 1.0 / 6.0 ) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4);

// Обновляем следующее значение x

public static void main(String args[])

differential d2 = new differential();

double x0 = 0 , y = 1 , x = 2 , h = 0.2 ;

System.out.println( «nThe value of y at x is : «

+ d2.rungeKutta(x0, y, x, h));

// Этот код предоставлен Prateek Bhindwar

# Программа Python для реализации метода Рунге Кутты
# Пример дифференциального уравнения «dy / dx = (x — y) / 2»

# Находит значение y для заданного x, используя размер шага h
# и начальное значение y0 при x0.

def rungeKutta(x0, y0, x, h):

# Подсчитать количество итераций, используя размер шага или

n = ( int )((x — x0) / h)

# Итерировать по количеству итераций

for i in range ( 1 , n + 1 ):

«Apply Runge Kutta Formulas to find next value of y»

k1 = h * dydx(x0, y)

k2 = h * dydx(x0 + 0.5 * h, y + 0.5 * k1)

k3 = h * dydx(x0 + 0.5 * h, y + 0.5 * k2)

k4 = h * dydx(x0 + h, y + k3)

# Обновить следующее значение y

y = y + ( 1.0 / 6.0 ) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)

# Обновить следующее значение x

print ‘The value of y at x is:’ , rungeKutta(x0, y, x, h)

# Этот код предоставлен Prateek Bhindwar

// C # программа для реализации Runge
// метод Кутты

static double dydx( double x, double y)

// Находит значение y для данного x

// используя размер шага h и начальный

// значение y0 в x0.

static double rungeKutta( double x0,

double y0, double x, double h)

// Подсчитать количество итераций используя

// размер шага или высота шага h

int n = ( int )((x — x0) / h);

double k1, k2, k3, k4;

// Итерация по количеству итераций

for ( int i = 1; i

// Применяем формулы Рунге Кутты

// найти следующее значение у

k1 = h * (dydx(x0, y));

k2 = h * (dydx(x0 + 0.5 * h,

k3 = h * (dydx(x0 + 0.5 * h,

k4 = h * (dydx(x0 + h, y + k3));

// Обновить следующее значение y

y = y + (1.0 / 6.0) * (k1 + 2

// Обновляем следующее значение x

public static void Main()

double x0 = 0, y = 1, x = 2, h = 0.2;

Console.WriteLine( «nThe value of y»

+ rungeKutta(x0, y, x, h));

// Этот код предоставлен Sam007.

// PHP-программа для реализации
// метод Рунге Кутта

// Пример дифференциального уравнения
// «dy / dx = (x — y) / 2»

function dydx( $x , $y )

return (( $x — $y ) / 2);

// Находит значение y для
// дано х, используя размер шага h
// и начальное значение y0 в x0.

function rungeKutta( $x0 , $y0 , $x , $h )

// Подсчитать количество итераций

// используя размер шага или шаг

$k1 ; $k2 ; $k3 ; $k4 ; $k5 ;

// Итерация по номеру

for ( $i = 1; $i $n ; $i ++)

// Применить Рунге Кутта

// формулы для поиска

// следующее значение у

$k1 = $h * dydx( $x0 , $y );

$k2 = $h * dydx( $x0 + 0.5 * $h ,

$k3 = $h * dydx( $x0 + 0.5 * $h ,

$k4 = $h * dydx( $x0 + $h , $y + $k3 );

// Обновить следующее значение y

$y = $y + (1.0 / 6.0) * ( $k1 + 2 *

// Обновляем следующее значение x

echo «The value of y at x is : » ,

rungeKutta( $x0 , $y , $x , $h );

// Этот код предоставлен anuj_67.
?>

Сложность по времени вышеупомянутого решения составляет O (n), где n — (x-x0) / ч.

Некоторые полезные ресурсы для подробных примеров и большего количества объяснения.
http://w3.gazi.edu.tr/

Эта статья предоставлена Арпит Агарвал . Если вам нравится GeeksforGeeks и вы хотите внести свой вклад, вы также можете написать статью и отправить ее по почте на contrib@geeksforgeeks.org. Смотрите свою статью, появляющуюся на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим вундеркиндам.

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

📸 Видео

Решение ОДУ: метод Рунге КуттаСкачать

Численные методы решения ДУ: метод Рунге-КуттаСкачать

Решение ОДУ методом Рунге КуттаСкачать

Решение ОДУ методом Рунге КуттаСкачать

04 Метод Рунге-Кутты 4-го порядкаСкачать

Численные методы. Вебинар. ( 10.12.21 ) Метод Рунге-Кутта.Скачать

Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Runge Kutta Methods3rd & 4th order - Python CodeСкачать

06 Неявные методы Рунге-КутыСкачать

метод рунге-кутта для вычисления габаритов объектов на конвейереСкачать

6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать

6.4 Явные методы Рунге-КуттыСкачать

Learning the Runge-Kutta Method 1. Basic Runge-KuttaСкачать