Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет
NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 85
CC BY-NC
Видео:Задача Коши для волнового уравнения (Часть 1)Скачать
Аннотация
В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.
Видео:3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристикСкачать
Ключевые слова
Видео:2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать
Текст научной работы
Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению
где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид
которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].
В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:
Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.
Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик
где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=frac<e^>>0
. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.
Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:
Видео:Операционный метод для задачи КошиСкачать
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
- Егор Азарьев 4 лет назад Просмотров:
1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» М. Ю. ЖУКОВ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (учебное-методическое пособие) Ростов на Дону 2008
2 Жуков М. Ю. Квазилинейные гиперболические уравнения: Учебно-методическое пособие. Ростов на Дону, с. Пособие содержит теоретический и практический материал по применению метода характеристик для исследования квазилинейных гиперболических уравнений. Рассмотрены основные понятия, теория инвариантов Римана, интегральные законы сохранения, метод характеристик в случае одного уравнения и дано решение типовых примеров. Пособие содержит большое количество задач для самостоятельного решения и может быть использовано для проведения контрольных работ, зачетов, а также самостоятельной работы студентов. Предназначено для студентов естественных факультетов университета.
3 Оглавление Введение Гиперболические уравнения 5 2. Инварианты Римана Интегральные законы сохранения Метод характеристик для одного уравнения Автомодельные решения гиперболических уравнений Задача Коши для системы уравнений. Характеристики Задача о волновом фронте. Транспортное уравнение 41 Контрольные вопросы 49 3
4 Введение Теория квазилинейных гиперболических уравнений играет важную роль при описании линейных и нелинейных волн. Достаточно сказать, что именно квазилинейные гиперболические уравнения используются для математическом моделировании волновых движений жидкости, ударных волн и волн разрежения в газовой динамике, цунами, боры, перемещения ледников, лавин, селей, переноса массы электрическим полем, хроматографии, транспортных потоков и многих других физических процессов. Математические методы, используемые для решения квазилинейных гиперболических уравнений играют важную роль во многих разделах уравнений математической физики и занимают важное место в образовании студентов естественных факультетов. Цель этого пособия помочь студентам в усвоении некоторых важных разделов теории квазилинейных гиперболических уравнений таких, как инварианты Римана, интегральные законы сохранения и условия на разрывах, метод характеристик для одного уравнения. В пособии для одного уравнения рассмотрена также задача о распаде начального разрыва, описывается возникновение ударных волн, волн разрежения и их взаимодействие. Приведенные примеры и задачи позволят студентам использовать пособие не только для изучения метода, но и для самоконтроля. 4
6 Определение 1.4. Система (1.2) называется гиперболической в узком смысле в некоторой связной области D пространства переменных (x, t, u), если в каждой точке этой области выполнены условия: 1. Все собственные значения λ = λ i (x, t, u), i = 1. n матрицы A = A(x, t, u) вещественны и различны. В этом случае они могут быть упорядочены λ 1 0 некоторая константа. Запишем вектор u, матрицу A и систему в матричной форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u 1 u =, A =, + u 2 c 2 0 u 2 c 2 0 u 2 t x = 0. Собственные значения матрицы определяются уравнением ( ) λ 1 det A = det = λ 2 c 2 = 0. c 2 λ Тогда λ 1 = c, λ 2 = c. Таким образом, система (1.7) по определению (1.4) является гиперболической в узком смысле. Обратим внимание, что дифференцирование (1.7) дает u 1 tt u 2 xt = 0, u 2 tx c 2 u 1 xx = 0. Если функция u 2 дважды непрерывно дифференцируема, то u 2 xt = u 2 tx и для u 1 получится волновое уравнение u 1 tt c 2 u 1 xx = 0. 6
7 Пример 1.2. Уравнения одномерной изоэнтропической газовой динамики (или баротропной жидкости) записываются в виде ρ t + uρ x + ρu x = 0, ρ(u t + uu x ) = p x, p = p(ρ), (1.8) где ρ плотность, u скорость, p давление (известная функция плотности). Ведем вектор u и запишем систему в матричной форме ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ u ρ ρ u =, + = 0. u u ρ 1 p (ρ) u u t Собственные значения матрицы определяются уравнением ( ) u λ ρ det A = det = (u λ) 2 p (ρ) = 0. ρ 1 p (ρ) u λ Если p (ρ) > 0, то x λ 1 = u p (ρ), λ 2 = u + p (ρ) и система (1.8) по определению (1.4) является гиперболической в узком смысле. Например, для идеального газа p(ρ) = c 2 ρ, где c > 0 скорость распространения звука в газе, имеем λ 1 = u c, λ 2 = u + c. При p (ρ) 8 В этом случае, «матрица» A = A(x, t, u) это просто функция и «собственное значение» будет λ = A(x, t, u). Таким образом, одно квазилинейное уравнение всегда является гиперболическим в узком смысле. Пример 1.4. Перенос массы электрическим полем в многокомпонентной смеси с нелинейными свойствами описывается системой ( c i µi c i ) t + = 0, i = 1. n, s = β k c k, 1 + s > 0. (1.10) 1 + s x где c i 0 концентрации компонент смеси, µ i = const подвижности компонент смеси в электрическом поле, 1 + s проводимость смеси, β i = const коэффициенты влияния компонент на проводимость. Подчеркнем, что β i могут быть как положительными так и отрицательными, но при этом проводимость смеси 1 + s > 0. Иными словами, система (1.10) рассматривается в некоторой ограниченной области пространства переменных (x, t, c 1. c n ), определенной неравенствами c i 0, 1 + s > 0. Заменой переменных c i = β i u i система (1.10) приводится к виду ( u i µi u i ) t + = 0, i = 1. n, s = 1 + s x k=1 u k, 1 + s > 0. (1.11) k=1 Здесь знак величин u i может быть произвольный. Приведем (1.11) к форме (1.3). Очевидно, что ( µi u i ) ( µi u i ) u j = 1 + s u j 1 + s x Вычислим матрицу A ij = u j x ( µi u i j=1 1 + s где δ ij дельта символ Кронекера. ) = µ iδ ij 1 + s µ iu i (1 + s) 2, (1.12) 8
9 Уравнение (1.4) для определения левых собственных векторов l и собственных значений λ примет вид или Введем обозначения l i = λl j µ j l j 1 + s µ i u i l i (1 + s) = 2 λlj. (1.13) R = (1 + s)λ, H = Тогда (1.13) записывается в форме l j = µ i u i l i 1 + s. H µ j R. (1.14) Подставив l j в H при H 0, с учетом выражения для s выводим 1 + u i µ i u i = µ i R. Преобразовав это выражение, окончательно получим уравнение для определения R = R(u) и, следовательно, λ = R/(1 + s). 1 R = u i µ i R. (1.15) В случае, когда u i > 0, µ i > 0, i = 1. n и все µ i > 0 различны, решения уравнения вещественны (см. задачу 1.1) и система (1.11) является гиперболической в узком смысле. Задача 1.1. Показать, что корни уравнения (1.15) R = R k в случае, когда u i > 0 и 0 10 Задача 1.2. Рассмотреть уравнение (1.15) при n = 2 в области (1+s) > 0. Показать следующее: 1. При µ 1 µ 2 0 на плоскости (u 1, u 2 ) имеется область, в которой система (1.11) не является гиперболической. Задача 1.3. Уравнения мелкой воды. Рассмотреть уравнения, описывающие движение слоя воды по наклонной плоскости под действием силы тяжести h t + (hv) x = 0, (hv) t + ( hv ) 2 gh2 cos α = gh sin α kv 2, x где h(x, t) толщина слоя, v(x, t) скорость течения, g = const ускорение силы тяжести, α угол наклона плоскости к горизонту, k = const коэффициент трения слоя жидкости о плоскость. Являются ли эти уравнения гиперболическими в узком смысле? Задача 1.4. Будет ли система u 1 t + M(u 1, u 2 )u 1 x = 0, u 2 t + M(u 1, u 2 )u 2 x = 0 гиперболической (гиперболической в узком смысле)? Задача 1.5. Уравнения изотахофореза. Рассмотреть уравнения (ср. с примером 1.4) ( u i µi u i ) t + s где µ i = const и µ 1 0, Доказать, что при u i > 0 эти уравнения являются гиперболическими в узком смысле. Задача 1.6. Показать, что левые собственные вектора матрицы A являются правыми собственными векторами транспонированной матрицы A T. k=1 10
11 2. Инварианты Римана Гиперболическая система уравнений (1.2) или (1.3) путем умножением на левые собственные вектора приводится к эквивалентному виду l k (u t + λ k u x ) = l k b, k = 1. n (2.1) или в покомпонентной записи k = x lkb i i, k = 1. n. (2.2) Определение 2.1. Система (2.1) или (2.2) называется характеристической формой записи системы (1.2) или (1.3). Определение 2.2. Система квазилинейных уравнений (1.2) или (1.3) называется системой в инвариантах Римана, если ее можно представить в виде R k R k + λ k t x = g k, k = 1. n, (2.3) где λ k = λ k (x, t, R) собственные значения матрицы A системы (1.2) или (1.3), g k = g k (x, t, R), R = (R 1. R n ). Величины R k называются инвариантами Римана. Замечание 2.1. Строго говоря, систему (2.3) можно рассматривать и независимо от исходной системы уравнений (1.2) или (1.3), имея ввиду частный случай квазилинейных уравнений. Для того, чтобы системы оказались связанными между собой необходимо существование зависимостей вида u = u(x, t, R) и R = R(x, t, u). Теорема 2.1. Достаточное условие существования инвариантов Римана. Пусть существуют такие R k, что R k (x, t, u) u i = µ k l i k, i, k = 1. n, (2.4) где µ k = µ k (x, t, u) некоторые множители. Тогда система уравнений (1.2) или (1.3) приводится к виду (2.3). 11
12 Замечание 2.2. Соотношения (2.4) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. В случае n = 2 такая система всегда имеет решение и, следовательно, инварианты Римана существуют. Более точно, в случае n = 2 всегда можно найти множители µ 1, µ 2 (интегрирующие множители), такие, что система (2.4) разрешима. Замечание 2.3. Уравнения (2.4) определяют инварианты Римана с точностью до несущественных постоянных и с точностью до произвольных множителей. Действительно, если R k решение для множителей µ k, то величины a(r k + const) будут решениями для множителей aµ k. Пример 2.1. Пусть дана система (см. пример 1.1) u 1 t u 2 x = 0, u 2 t c 2 u 1 x = 0, (2.5) где c > 0 некоторая константа. Левые собственные вектора матрицы A A 11 = 0, A 12 = 1, A 21 = c 2, A 22 = 0 будут определяться соотношениями l 1 A 11 + l 2 A 21 = λl 1, l 1 A 12 + l 2 A 22 = λl 2. (2.6) Для λ 1 = c имеем cl 2 = l 1, l 1 = cl 2. С точностью до множителя, получим левый собственный вектор l 1 l 1 = (l 1, l 2 ) = (c, 1), λ 1 = c. Аналогично для λ 2 = c имеем cl 2 = l 1, l 1 = cl 2. С точностью до множителя, получим левый собственный вектор l 2 l 2 = (l 1, l 2 ) = ( c, 1), λ 2 = c. 12
13 Рассмотрим уравнения (2.4) R 1 u 1 = µ 1l 1 1, или, полагая µ 1 = µ 2 = 1 R 1 u 2 = µ 1l 2 1, R 2 u 1 = µ 2l 1 2, R 2 u 2 = µ 2l 2 2. (2.7) R 1 u 1 = l1 1 = c, R 1 u 2 = l2 1 = 1, R 2 u 1 = l1 2 = c, R 2 u 2 = l2 2 = 1. Легко проверить, что решением будет (с точностью до несущественных постоянных) R 1 = cu 1 + u 2, R 2 = cu 1 + u 2. (2.8) Очевидно, что u k можно выразить через инварианты Римана u 1 = R1 R 2 2c, u 2 = R1 + R 2. 2 Система (2.3), то есть система в инвариантах Римана, имеет вид R 1 t cr 1 x = 0, R 2 t + cr 2 x = 0. (2.9) Приведем также характеристическую форму записи системы (2.5). Используя выражения для собственных векторов и собственных значений, из (2.2) получим или l 1 k = 0 (2.10) x c(u 1 t cu 1 x) + (u 2 t cu 2 x) = 0, c(u 1 t + cu 1 x) + (u 2 t + cu 2 x) = 0. Заметим, что перегруппировав члены, с учетом (2.8) вновь получим (2.9) (cu 1 + u 2 ) t c(cu 1 + u 2 ) x = 0, ( cu 1 + u 2 ) t + c( cu 1 + u 2 ) x = 0. Пример 2.2. Рассмотрим уравнения из примера 1.2 при p(ρ) = c 2 ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ u ρ ρ u =, + = 0. u u c 2 ρ 1 u u t x 13
14 Собственные значения матрицы A 11 = u, A 12 = ρ, A 21 = c 2 ρ 1, A 22 = u будут (см. пример 1.2) λ 1 = u c, λ 2 = u + c. Для определения левых собственных векторов имеем (2.6) l 1 A 11 + l 2 A 21 = λl 1, l 1 A 12 + l 2 A 22 = λl 2. При λ 1 = u c получим l 1 u + l 2 c 2 ρ 1 = (u c)l 1, l 1 ρ + l 2 u = (u c)l 2. или l 2 cρ 1 = l 1, l 1 ρ = cl 2. Левый собственный вектор определяется с точностью до множителя. Полагая l 2 = k, получим l 1 = (l 1 1, l 2 1) = ( kcρ 1, k), λ 1 = u c. Чтобы записать l 2 при λ 2 соотношениях c на ( c) = u + c, достаточно заменить в полученных l 2 = (l 1 2, l 2 2) = (kcρ 1, k), λ 2 = u + c. Для нахождения инвариантов Римана имеем уравнения (2.7) или R 1 u 1 = µ 1l 1 1, R 1 ρ = µ 1( kcρ 1 ), R 1 u 2 = µ 1l 2 1, R 1 u = µ 1k, R 2 u 1 = µ 2l 1 2, R 2 ρ = µ 2kcρ 1, R 2 u 2 = µ 2l 2 2 R 2 u = µ 2k. Полагая µ 1 = k 1, µ 2 = k 1, имеем R 1 ρ = c ρ, R 1 u = 1, R 2 14 ρ = c ρ, R 2 u = 1.
15 Интегрируя, выводим выражения для инвариантов Римана R 1 = c ln ρ + u, R 2 = c ln ρ + u. Зависимость u = u(r) имеет вид ( R 2 R 1 ) ρ = exp, u = 1 2c 2 (R1 + R 2 ). Исходная система записывается в инвариантах Римана в форме (2.3) R 1 ( R 1 t + + R 2 ) R 1 c 2 x = 0, R 2 ( R 1 t + + R 2 ) R 2 + c 2 x = 0. Приведем также характеристическую форму записи (2.2) или (2.10) cρ 1 (ρ t + (u c)ρ x ) + (u t + (u c)u x ) = 0. Пример 2.3. Покажем, что уравнения (1.11) из примера 1.4 ( u i µi u i ) t + = 0, i = 1. n, s = u k, 1 + s > 0. (2.11) 1 + s приводятся к инвариантам Римана. x Рассмотрим уравнение (1.15) для определения собственных значений и запишем его в виде F (R) k=1 u i µ i R 1 R = 0. (2.12) Полагая R = R(u 1. u n ) и дифференцируя F (R) по u j, получим F (R) δ ij u j µ i R + u i R (µ i R) 2 u + 1 R j R 2 u = 0. j Для R/ u j, имеем R u j = u i (µ i R) R 2 µ j R. С учетом выражения (1.14) для левого собственного вектора, выводим R u = u i j µlj, µ = (µ i R) R 2 H. 15
16 Пусть R k корень уравнения (1.15) и λ k = R k /(1 + s) собственное значение матрицы (1.12). Тогда R k инвариантом Римана для (1.11), так как в этом случае R k u j = µlj k, µ k = u i (µ i R k ) (R k ) 2 H в точности совпадает с условием существования инвариантов Римана (2.4). Уравнения (2.3) в инвариантах Римана, соответствующие исходным уравнениям (2.11) имеют вид R k t + Rk R k 1 + s x = 0, k = 1. n, (2.13) Заметим, что величина s = u i, входящая в (2.13) должна быть выражена через инварианты Римана, то есть s = s(r 1. R n ). Иными словами, необходимы еще дополнительные преобразования для того, чтобы в (2.13) присутствовали лишь инварианты Римана. Умножая (2.12) на R n (µ k R), получим L(R) R k=1 u i n k=1,k i (µ k R) n (µ k R) = 0. (2.14) Понятно, что L(R) является полиномом степени n относительно переменной R. Пусть R k корни этого полинома. Тогда с точностью до множителя A полином можно представить в виде n L(R) A (R R k ). (2.15) k=1 Используя (2.14), легко записать коэффициенты полинома L(y)) при степенях y n и y 0 L(y) ( 1) n 1 y n k=1 ( u i ( 1) n y n + + = ( 1) n 1 (1 + s)y n ( ) n µ k y 0 = (2.16) k=1 ) n µ k y 0. k=1
17 Проводя аналогичные действия, из (2.15) имеем L(y) Ay n + + ( 1) n Ay 0 Сравнивая (2.16) и (2.17), выводим A = ( 1) n 1 (1 + s), (1 + s) ( 1) n A n R k = k=1 n R k. (2.17) k=1 n R k = k=1 n µ k. k=1 n µ k. (2.18) Используя (2.18), запишем уравнения (2.13) для инвариантов Римана в окончательном виде R k t + R k n R i k=1 n Rk = 0, k = 1. n. (2.19) x µ i Задача 2.1. Найти инварианты Римана для уравнений мелкой воды (см. задачу 1.3) h t + (hv) x = 0, (hv) t + ( hv ) 2 gh2 cos α = gh sin α kv 2. x Задача 2.2. Найти инварианты Римана для уравнений (см. задачу 1.4) u 1 t + M(u 1, u 2 )u 1 x = 0, u 2 t + M(u 1, u 2 )u 2 x = 0. Задача 2.3. Найти инварианты Римана для уравнений изотахофореза (см. задачу 1.5) ( u i µi u i ) t + s где µ i = const и µ 1 0, Задача 2.4. Пусть даны уравнений изотахофореза (см. задачу 1.5) ( u i µi u i ) t + = 0, i = 1. n, s = u k, s > 0. s x 17 k=1 k=1
18 Не определяя матрицу A, собственных значений и векторов, показать, что имеется инвариант Римана R = для которого выполнено уравнение u i µ i, R t = 0. Задача 2.5. Найти инварианты Римана для системы уравнений ( ) u u i i+1 t u 0 где β k некоторые константы. x n 1 = 0, i = 0. n 1, u n = β k u k, Задача 2.6. Рассматривая полиномы (2.14), (2.15) при R = µ s, показать, что u s cвязаны c инвариантами Римана (R 1. R n ) соотношениями u s = R k k=1 k=1, k s k=0 n n µ k (µ s R k ) k=1 k=1 n n, s = 1. n µ s (µ s µ k ) Заметим, что такая связь, позволяет, решив уравнения (2.19), получить решение уравнений (2.13). 18
19 3. Интегральные законы сохранения Определение 3.1. Соотношение (ψ i (x, t, u) dx ϕ i (x, t, u) dt) + σ i (x, t, u) dx dt = 0. (3.1) Γ которое должно выполняться для любого кусочно-гладкого контура Γ и ограниченной им односвязной области S, называется интегральным законом сохранения. Функции ψ i (x, t, u), ϕ i (x, t, u), σ i (x, t, u) считаются заданными. Из (3.1) при достаточной гладкости подынтегрального выражения и произвольности контура Γ следует S ψ i t(x, t, u) + ϕ i x(x, t, u) = σ i (x, t, u), i = 1. n. (3.2) Определение 3.2. Система уравнений (3.2) называется системой квазилинейных уравнений, записанных в консервативной форме. Введем обозначение ϕ i (x, t, u) u j = A ij (x, t, u), Тогда система записывается в виде (ср. с (1.3)) B ij (x, t, u) uj t + j=1 j=1 ψ i (u) u j = B ij (u). (3.3) A ij (x, t, u) uj x = σi (x, t, u), i = 1. n. (3.4) Если отказаться от требований гладкости подынтегрального выражения в (3.1) и рассматривать кусочно-разрывные функции u i, то из (3.1) следует условие на разрыве. Определение 3.3. Пусть имеется линия x = x(t) на которой функция u i (x, t) имеет разрыв первого рода, то есть u i (x(t + 0), t) u i (x(t 0), t). Вытекающие из (3.1) условия D[ψ i (u)] = [ϕ i (u)], i = 1. n, D = dx(t). (3.5) dt 19
20 называются условиями Рэнкина-Гюгонио на разрыве для системы уравнений (3.2). Здесь D называется скоростью движения линии разрыва, а символ [ ] означает величину разрыва соответствующей функции, например, для функции f(x, t) [f(x, t)] = f(x(t + 0), t) f(x(t 0), t). (3.6) Замечание 3.1. Для того, чтобы подчеркнуть на какой именно линии имеется разрыв, используется обозначение [f(x, t)] x=x(t) = f(x(t + 0), t) f(x(t 0), t). (3.7) Замечание 3.2. Уравнения (3.2) (или (3.4)) и условия на разрыве однозначно определяются интегральным законом сохранения (3.1). Если имеется квазилинейное уравнение вида (3.2), записанное в консервативной форме, и закон (3.1) неизвестен, то из вида уравнения (3.2) невозможно записать условие на разрыве для одного и того же уравнения (3.2) могут быть различные условия на разрыве. Пример 3.1. Пусть имеются два различных интегральных закона сохранения (ψ(u) dx ϕ(u) dt) = 0, ϕ(u) = 1 2 u2, ψ(u) = u. (3.8) и Γ (ψ(u) dx ψ(u) dt) = 0, ϕ(u) = 1 3 u3, ψ(u) = 1 2 u2. (3.9) Γ Из (3.8) имеем дифференциальное уравнение и условие на разрыве [ ] 1 u t + uu x = 0, D[u] = 2 u2. (3.10) Из (3.9) имеем дифференциальное уравнение и условие на разрыве [ ] [ ] 1 1 uu t + u 2 u x = 0, D 2 u2 = 3 u3. (3.11) Уравнения (3.10) и (3.11), фактически, совпадают, так как (3.11) можно сократить на u потери решения u = 0 при этом не произойдет. Условия на разрыве (3.10) и (3.11) отличаются друг от друга. 20
21 В случае (3.10) имеем В случае (3.11) имеем D = u 1 + u 2. (3.12) 2 D = 1 2 (u2 1 + u 1 u 2 + u 2 2). (3.13) Здесь u 1 = u(x(t 0), t), u 2 = u(x(t + 0), t). Таким образом, для одного и того же уравнения могут быть различные условия на разрыве. Задача 3.1. Записать уравнения и условия на разрыве для интегральных законов сохранения (3.1) в следующих случаях: 1. ψ i = u i, ϕ i = µ iu i s, σi = 0, s = u k. 2. ψ i = u i, ϕ i = µ iu i 1 + s, σi = 0, s = k=1 u k. k=1 21
22 4. Метод характеристик для одного уравнения Рассмотрим задачу Коши для одного (не системы) однородного квазилинейного уравнения, записанного в консервативной форме u t + ϕ x (u) = 0, 0, (4.1) где ϕ(u), ψ(x) заданные функции. Обозначим u t=0 = ψ(x), 23 Определение 4.1. Линия Γ, на которой решение уравнения (4.4) не изменяется, называется характеристикой, а уравнения (4.8) называются уравнениями характеристики. Из первого уравнения (4.8) следует, что t = τ с точностью до несущественной постоянной. Это означает, что в качестве параметра τ можно выбрать t, за исключением случая, когда характеристика будет прямой линией, параллельной оси x. Далее рассматривается только случай τ = t. Исходное уравнение (4.4) в частных производных первого порядка при помощи (4.7), (4.8) записывается в виде двух обыкновенных дифференциальных уравнений du(t) dt = 0, dx(t) dt = v(u(t)). (4.10) Переход от (4.4) к (4.10) удобно осуществлять, формально вводя оператор дифференцирования d dt = t + v x. (4.11) Действуя этим оператором (материальной производной) на u и x, с учетом уравнения (4.4) получим (4.10) du dt = u t + v u x = 0, dx dt = x t + v x x = v. Для того, чтобы учесть начальное условие (4.5) и получить задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, потребуем выполнения для X начального условия где a некоторая константа. X(0) = a, (4.12) Уравнение dx/dt = v определяет семейство характеристик, а условие (4.12) задает характеристику, проходящую через точку a на оси x. Начальное условие (4.5) для функции u(x, t) запишем в виде Здесь учтено, что x t=0 = X(0) = a. U(0) = u(x, t) t=0 = ψ(x) t=0 = ψ(a). (4.13) 23
24 Таким образом, задача Коши (4.4), (4.5) для уравнения в частных производных первого порядка сводится к задаче Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений du dt = 0, U(0) = ψ(a), dx dt = v(u), X(0) = a. (4.14) Заметим, что удобно не вводить новые обозначения U для функции u на линии Γ и X для x на линии Γ и записывать (4.14) в виде du dt = 0, u t=0 = ψ(a), (4.15) dx dt = v(u), x t=0 = a. (4.16) Система (4.15), (4.16) легко интегрируется. Из (4.15) имеем Подставляя (4.17) в (4.16), получим u = ψ(a). (4.17) dx dt = v(ψ(a)), x t=0 = a. (4.18) Интегрирование с учетом начального условия дает уравнение характеристики в неявной форме x = tv(ψ(a)) + a. (4.19) Пусть удалось, используя (4.19), представить a как функцию x, t x = tv(ψ(a)) + a a = a(x, t). (4.20) Тогда решение задачи (4.4), (4.5) при помощи (4.17), (4.20) записывается в виде u(x, t) = ψ(a(x, t)). (4.21) Замечание 4.1. Для достаточно гладких функций v(u) и ψ(u) из уравнения (4.19) при малых t всегда можно определить a(x, t). Однако, для произвольных x, t решение (4.19) является достаточно сложной задачей, во многих случаях не имеющей решения. Именно определение зависимости a = a(x, t) представляет основную трудность при реализации метода характеристик. 24
25 Пример 4.1. Методом характеристик построить решение задачи Коши u t + u u x = 0, u t=0 = x. (4.22) Вместо того, чтобы использовать (и помнить) готовые формулы, на практике удобнее действовать следующим образом. Введем оператор дифференцирования (4.11) d dt = t + u x. Действуя оператором на u, x, получим Поставим начальные условия du dt = 0, dx dt Решая задачу Коши (4.23), (4.24), получим Тогда a = a(x, t) = = u. (4.23) x t=0 = a, u t=0 = x t=0 = a. (4.24) u = a, x = ut + a = at + a. (4.25) x x, u(x, t) = a(x, t) = 1 t t 1. (4.26) Пример 4.2. Градиентной катастрофой называется ситуация, при которой в конечный момент времени t = t 0 производная u x решения задачи (4.4), (4.5) обращается в бесконечность, то есть u x (x, t 0 ) =, но u(x, t 0 ) ограничено. Используя (4.19), (4.21) можно получить условия возникновения градиентной катастрофы. Дифференцируя (4.19) и (4.21) по x, имеем Тогда a x = u x = ψ a (a)a x, 1 = tv u (ψ(a))ψ a (a)a x + a x. (4.27) tv u (ψ(a))ψ a (a), u x = Таким образом, если система уравнений ψ a (a) 1 + tv u (ψ(a))ψ a (a). (4.28) 1 + tv u (ψ(a))ψ a (a) = 0, x = tψ(a) + a (4.29) 25
26 имеет решение, то возможно возникновение градиентной катастрофы. Конечно, на самом деле, уравнения (4.29) неявным образом определяют некоторую линию на плоскости (x, t), на которой возможно обращение в бесконечность производной u x. Замечание 4.2. Уравнения (4.29) определяют линию, на которой возможно градиентная катастрофа, лишь для задачи (4.4), (4.5). В случае, когда уравнение (4.4) будет неоднородным, необходимо, действуя по аналогии с примером 4.2, искать условия обращения u x в бесконечность. Пример 4.3. Методом характеристик можно решать и задачи с неоднородными уравнениями. Пусть дана задача Коши на бесконечной прямой u t + u u x = u, u t=0 = ψ(x), 27 Можно ли представить решение в виде (4.35), если в уравнении (4.33) функция v будет v = v(x, t, u)? Как формула (4.35) согласуется с методом характеристик? Задача 4.2. Методом характеристик построить решение задачи Коши u t + u u x = 0, u t=0 = e x2, 0, (4.37) где θ(t) известная функция, x 0 задано. Введем оператор дифференцирования (4.11) u x=0 = θ(t), t > 0, (4.38) d dt = t + u x. Действуя оператором на u, x, получим Поставим краевое условие du dt = 0, dx dt = u. (4.39) t x=x0 = T, u x=x0 = θ(t) x=x0 = θ(t ). (4.40) Здесь T некоторая константа (точка на оси t, через которую проходит характеристика). Решая задачу (4.39), (4.40) для функции u, получим Тогда для определения x имеем задачу u = θ(t ). (4.41) dx dt = θ(t ), t x=x0 = T, (4.42) 27
28 Решая (4.42), выводим x x 0 = (t T ) θ(t ). (4.43) Если из (4.43) удастся определить T = T (x, t), то решением краевой задачи (4.37), (4.38) будет u(x, t) = θ(t (x, t)). (4.44) Задача 4.4. Методом характеристик построить решение задачи Коши u t + u u x = 0, u Γ = f(x, t) Γ, 0, (4.45) где f(x, t) известная функция, а линия Γ задана при помощи известной функции g(t) Γ = , t > 0. (4.46) Следует ли накладывать какие-либо ограничения, помимо требований гладкости, на функцию g(t), задающую линию Γ? Задача 4.5. Рассмотреть задачу 4.5 в случае уравнения u t + v(u) u x = 0 28
29 5. Автомодельные решения гиперболических уравнений Однородная система квазилинейных уравнений u t + A(u)u x = 0 (5.1) или, записанная для компонент, u i t + A ij (u)u j x = 0, i = 1. n (5.2) j=1 допускает частные решения, зависящие от комбинации переменных x, t. Введем величину z, называемую автомодельной переменной где x 0, t 0 некоторые константы. z = x x 0 t t 0, (5.3) Будем разыскивать решение уравнений (5.2) в виде Учитывая, что имеем u i (x, t) = u i (z), i = 1. n. (5.4) z t = x x 0 (t t 0 ) 2 = z t t 0, z x = 1 t t 0, (5.5) u i t = u i zz t = zui z, t t 0 u i z = u i zz x = ui z, t t 0 Подставляя в (5.2), выводим zu i z + A ij (u)u j z = 0, i = 1. n. (5.6) j=1 Таким образом, замена (5.3) позволяет свести уравнения в частных производных первого порядка к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функций, зависящих лишь от z. 29
30 Определение 5.1. Пусть дана система уравнений Решение вида (если оно существует) u t + A(u)u x = 0. (5.7) u = u(z), z = x x 0 t t 0 (5.8) называется автомодельным решением, а переменная z автомодельной переменной. Пример 5.1. Пусть имеется одно квазилинейное уравнение u t + u u x = 0. Ищем его решение в виде (5.4). Используя (5.5), получим (5.6) zu z + u u z = 0 или ( z + u) u z = 0. Очевидно, что имеется два решения. Первое решение u = const, соответствующее случаю u z = 0, является тривиальным, а второе решение u(x, t) = z = x x 0 t t 0 как раз и есть автомодельное решение уравнения. Пример 5.2. Пусть имеется одно квазилинейное уравнение Как и в примере 5.1, получим u t + v(u) u x = 0. zu z + v(u) u z = 0. Для нахождения автомодельного решения имеем алгебраическое уравнение, которое определяет автомодельное решение u(z) неявным образом v(u(z)) = z. Заметим, что во многих случаях, для анализа поведения решения u(z) удобно строить график функции z = v(u). 30
31 Из приведенных примеров видно, что для одного квазилинейного уравнения, по крайней мере, формальное построение автомодельного решения является простой задачей. Далее, ограничиваемся рассмотрением уравнений гиперболических в узком смысле (см. определение 1.4) и в случае системы (5.6) потребуем z = λ k (u), (5.9) где λ k (u) собственное значение матрицы A(u) для какого-либо фиксированного значения k. Тогда, вектор r k (u) = C k (u)(u 1 z. u n z ) T (5.10) является правым собственным вектором матрицы A, соответствующий собственному значению λ k (u). Множитель C k (u) возникает в связи с тем, что собственные вектора определены с точностью до множителя. Если собственный вектор r k (u) известен, то (5.9) можно записать в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка du i (z) dz = C 1 k (u) ri k(u), i = 1. n. (5.11) Для определения C k (u) продифференцируем (5.9) по z λ k du i 1 = u i dz. (5.12) Используя (5.11), для определения C k (u), получим 1 = C 1 λ k k u i ri k(u). или C k = Окончательно (5.11) записывается в виде du i dz = j=1 r i k (u) λ k (u) u j λ k u i ri k(u). (5.13) r j k (u) 31, i = 1. n. (5.14)
32 Таким образом, система обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения автомодельных решений полностью определена. Замечание 5.1. Понятно, что на самом деле (5.14) в случае системы гиперболической в узком смысле определяет не одно автомодельное решение, а семейство из n автомодельных решения для различных индексов k. Определение 5.2. Решение системы (5.14) для фиксированного k называется волной разрежения индекса k (или k-ой волной разрежения). Определение 5.3. Система уравнений гиперболическая в узком смысле u t + A(u)u x = 0. (5.15) называется выпуклой по Лаксу, если для любых собственных значений λ k выполнены неравенства λ k (u) r j u j k (u) 0, k = 1. n. (5.16) j=1 Понятно, что выпуклость по Лаксу гарантирует определение ненулевого множителя C k (u) и возможность записи уравнений для нахождения автомодельных решений в виде (5.14). Пример 5.3. Найдем автомодельные решения для уравнений рассмотренных в примере 2.2 ( ) ρ u =, u ( ) ρ Собственные значения матрицы будут (см. примеры 1.2, 2.2) u t + ( ) ( ) u ρ ρ c 2 ρ 1 A 11 = u, A 12 = ρ, A 21 = c 2 ρ 1, A 22 = u u λ 1 = u c, λ 2 = u + c. Для определения правых собственных векторов имеем A 11 r 1 + A 12 r 2 = λr 1, A 21 r 1 + A 22 r 2 = λr u x = 0.
33 Уравнения линейно зависимы и достаточно рассмотреть одно из них, например, A 11 r 1 + A 12 r 2 = λr 1 или ur 1 + ρr 2 = λr 1. Подставляя собственные значения (верхний знак соответствует λ 1 ), имеем ur 1 + ρr 2 = (u c)r 1 ρr 2 = cr 1. Так как собственные вектора можно определять с точностью до множителя, то, выбирая r 2 = c, запишем r 1 = (r 1 1, r 2 1) T = ( ρ, c) T, r 2 = (r 1 2, r 2 2) T = (+ρ, c) T, Вычисляя производные λ k, получим λ 1 ρ = 0, λ 1 u = 1, λ 2 ρ = 0, λ 2 u = 1. Тогда λ 1 ρ r1 1 + λ 1 λ 2 u r2 1 = c 0, ρ r1 2 + λ 2 u r2 2 = c 0, Таким образом, система уравнений выпукла по Лаксу (см. определение 5.3). Для определения автомодельного решения (волны разрежения индекса k = 1) имеем уравнение (5.14) dρ dz = ρ c, du dz = c c = 1, λ 1 = u c = z. Аналогично, для волны разрежения индекса k = 2, получим Окончательно dρ dz = +ρ c, где A 1, A 2 некоторые константы. du dz = c c = 1, λ 2 = u + c = z. ρ = A 1 e z/c, u = z + c, λ 1 = u c, ρ = A 2 e +z/c, u = z c, λ 2 = u + c, 33
34 Пример 5.4. Пусть система гиперболических уравнений приводится к однородной системе, записанной в инвариантах Римана (см. (2.3)) R k t + λ k (R) Rk x = 0, k = 1. n, (5.17) Вводя автомодельную переменную (5.3) и производя замены аналогичные (5.5), запишем zr k z + λ k (R)R k z = 0, k = 1. n, (5.18) Для того, чтобы найти волну разрежения индекса m, потребуем λ m (R) = z. (5.19) Тогда ( λ m + λ k )R k z = 0, k = 1. n, (5.20) Если система является гиперболической в узком смысле, то все собственные значения λ различны и из (5.20) следует R k z = 0 R k = const, k m. (5.21) Инвариант Римана R m = R m (z) определяется из уравнения (5.19). Таким образом, m-ая волна разрежения определяется набором инвариантов Римана где R i = const, i m. R = (R 1. R m 1, R m (z), R m+1. R n ), (5.22) λ m (R 1. R m 1, R m (z), R m+1. R n ) = z, Пример 5.5. Рассмотрим систему (2.19) R k t + R k n R i n Rk = 0, k = 1. n. x µ i и найдем m-ую волну разрежения. 34
35 Используя результаты примера 5.4, имеем R k = const, k m. Для определения R m (z) имеем λ m = Тогда R k n R i n = z. µ i R m (z) = (β m z) 1/2, β m = n µ i n, i m R i = const. Задача 5.1. Найти автомодельное решение для уравнений (см. задачу 1.4 и 2.2) u 1 t + M(u 1, u 2 )u 1 x = 0, u 2 t + M(u 1, u 2 )u 2 x = 0. Задача 5.2. Найти автомодельное решение для уравнений изотахофореза (см. задачу 1.5 и 2.3) ( u i µi u i ) t + s x = 0, i = 1. n, s = u k, s > 0, где µ i = const и µ 1 0 некоторая константа, не имеет автомодельных решений. Задача 5.4. Дано уравнение u t + A(x, t, u)u x = b(x, t, u). Как функции A(x, t, u) и b(x, t, u) должны зависеть от переменных x, t для того, чтобы было возможно построить автомодельное решение? Тривиальный случай A(x, t, u) = A(u), b(x, t, u) = 0 не рассматривать. 35 k=1
36 Задача 5.5. Какой вид имеет условие выпуклости (см. определение 5.3 и формулу (5.16)) в случае одного квазилинейного уравнения? Что означает нарушение условия выпуклости (5.16) для одного квазилинейного уравнения? Будет ли уравнение ( ) u u t + = u 2 выпуклым по Лаксу? Можно ли для указанного уравнения построить автомодельное решение? x 36
37 6. Задача Коши для системы уравнений. Характеристики Рассмотрим постановку задачи Коши для системы гиперболических уравнений u t + A(x, t, u)u x = b(x, t, u) (6.1) Запишем эту систему в характеристической форме (2.1) l k (u t + λ k u x ) = l k b, k = 1. n (6.2) или в покомпонентной записи k = x lkb i i, k = 1. n. (6.3) Рассмотрим окрестность некоторой линии Γ, задаваемой уравнениями x = x(τ), t = t(τ), x τ (τ) + t τ (τ) = 0, (6.4) Γ = . (6.5) Зададим на Γ функцию u(x, t) где ϕ(τ) известная функция. u Γ = u(x(τ), t = t(τ)) = ϕ(τ), (6.6) Определение 6.1. Условия (6.6) называются начальными, функция ϕ называется начальной функцией, кривая Γ начальной кривой. Задача (6.1), (6.6) называется задачей Коши для системы гиперболических уравнений. Замечание 6.1. На самом деле при постановке задачи Коши следует дополнительно указывать требования гладкости для A, b, u, ϕ и кривой Γ. В дальнейшем, в случае необходимости, такие требования будут формулироваться в каждом конкретном случае. 37
38 Предположим, что все входящие в (6.1), (6.6) функции достаточно гладкие и рассмотрим возможность определения по начальным данным на линии Γ производных u t, u x. Введем обозначения для производных u t Γ = q, u x Γ = p, (6.7) Дифференцируя начальные условия (6.6) по τ и рассматривая уравнение (6.2) в характеристической форме на линии Γ, запишем l k (q + λ k p) = l k b, k = 1. n, (x, t) Γ (6.8) dt(τ) dτ q + dx(τ) p = dϕ(τ) dτ dτ (6.9) или в покомпонентной записи ( lk i q i + λ k p i) = lkb i i = f k, k = 1. n, (6.10) dt dτ qk + dx dτ pk = dϕk, k = 1. n. (6.11) dτ Здесь f k обозначение для правых частей уравнений. Величины l k, b, λ k в соотношениях (6.8) (6.11) являются известными функциями переменной τ. Уравнения (6.10), (6.11) система 2n уравнений для определения 2n неизвестных q 1. q n, p 1. p n, т. е. производных функции u на линии Γ. Предположим, что dt/dτ 0 (см. задачу 6.1). Умножая (6.10) на dt/dτ и исключая при помощи (6.11) из уравнений величины q i dt/dτ, получим систему n линейных уравнений для определения p 1. p n ( dx dt l i k dτ + λ k dτ ) p i = dt dτ f k Определитель этой системы имеет вид n ( D(τ) = det(lk) i dx dτ + λ dt k dτ k=1 l i k dϕ i, k = 1. n. (6.12) dτ ). (6.13) Из гиперболичности уравнений (6.1), в соответствии с определением 1.3, следут det(lk i ), так как левые собственные вектора образуют базис. 38
39 Если выполнено условие ( dx dτ + λ k то система (6.12) имеет единственное решение. ) dt 0, k = 1. n, (6.14) dτ Таким образом, при выполнении условий (6.14) производные q, p определяются на линии Γ единственным образом. Замечание 6.2. При выполнении условий (6.14) и достаточной гладкости A, b, u, ϕ, дифференцируя (6.10), (6.11) по τ (такие системы называются дифференциальным следствием исходной системы), можно единственным образом получить вторые, третьи, четвертые и т. д. производные функции u на кривой Γ. Это означает, что задача Коши (6.1), (6.6) разрешима и имеет единственное решение. Рассмотрим ситуацию, когда для какого-либо k, для определенности, k = m, условие (6.14) не выполнено, то есть dx dτ + λ dt m dτ = 0. Определение 6.2. Если на кривой Γ, определяемой уравнениями x = x(τ), t = t(τ), выполнено соотношение dx(τ) dτ + λ m (x(τ), t(τ), ϕ(τ)) dt(τ) dτ = 0, (6.15) то кривая Γ называется характеристикой номера m, а собственное значение называется λ m характеристическим направлением или скоростью характеристики. Таким образом, в случае, когда Γ является характеристикой задача Коши (6.1), (6.6) может быть неразрешима, так как определитель D(τ) системы (6.12), обращается в нуль. Для того, чтобы задача Коши в этом случае имела смысл необходимо выполнение дополнительного условия разрешимости, которое легко получается из (6.12) при k = m с учетом (6.15) dt dτ f m lm i dϕ i = 0. (6.16) dτ 39
40 При выполнении условия (6.16) система (6.12), а следовательно и задача Коши, имеет бесконечное множество решений. Это позволяет сформулировать иное определение характеристки Определение 6.3. Кривая Γ называется характеристикой, если решение задачи Коши (6.1), (6.6) либо не существует, либо определено не единственным образом. Задача 6.1. Рассмотреть случай, когда в уравнениях (6.10), (6.11) производная dt/dτ = 0. Учесть условие x τ (τ) + t τ (τ) = 0 из (6.4). Задача 6.2. Записать условие разрешимости (6.16) в случае одного гиперболического уравнения. Задача 6.3. Привести пример задачи Коши для одного уравнения в случае, когда начальные данные заданы на характеристике. Задача 6.4. Для одного гиперболического уравнения сравнить определение характеристики 4.1 с определениями 6.2,
42 Определение 7.1. Говорят, что функция u(x, t) имеет слабый разрыв на линии x = ϕ(t), если функция на этой линии непрерывна, а ее производные имеют разрывы первого рода. Говорят, что u(x, t) имеет сильный разрыв на линии x = ϕ(t), если функция на этой линии имеет разрыв первого рода. Введем новую переменную θ = x ϕ(t). (7.5) Формально, строим решение (7.2) для уравнения (7.1) в виде ряда по степеням θ, считая коэффициенты ряда, зависящими от t w(x, t) = w 0 + w 1 (t)θ + w 2 (t)θ , θ 0. (7.6) Заметим, что условие непрерывности решения (7.3) при θ = 0, то есть при x = ϕ(t), выполнено автоматически. Подставляя (7.6) в функции A(u), b(u) и производя разложение в ряды по степеням θ, с учетом (7.4) получим b(w) = b(w 0 + w 1 θ + w 2 θ ) = b w iwi 1θ + O(θ 2 ), (7.7) A(w 0 ) = A(w 0 + w 1 θ + w 2 θ ) = A(w 0 ) + A w iwi 1θ + O(θ 2 ). (7.8) Здесь все производные вычислены при w = w 0. Кроме этого, для сокращения записи использовано правило суммирования по повторяющимся индексам, то есть b w iwi 1 b w 1. (7.9) iwi Напомним, что проще всего получить (7.7), (7.8) можно, формально вычисляя производные по θ от функций f(w 0 + w 1 θ + w 2 θ ). Можно еще уменьшить громоздкость записи, введя дополнительно обозначения w = w i wi. (7.10) 42
43 Тогда формулы (7.7), (7.8) записываются совсем коротко b(w) = θ w 1 b + O(θ 2 ), (7.11) A(w) = A(w 0 ) + θ w 1 A + O(θ 2 ). (7.12) Заметим, что t θ = ϕ t, x θ = 1. (7.13) Дифференцируя (7.6) по x, t, получим t w = ϕ t w 1 +θ t w 1 2θϕ t w 2 +O(θ 2 ), x w = w 1 +2θw 2 +O(θ 2 ). (7.14) Подставляя (7.11), (7.12), (7.14) в (7.1), имеем ϕ t w 1 + θ t w 1 2θϕ t w 2 + O(θ 2 ) + + ( A(w 0 ) + θ w 1 A + O(θ 2 ) ) (w 1 + 2θw 2 + O(θ 2 )) = = θ w 1 b + O(θ 2 ) Приравнивая члены при одинаковых степенях θ, выводим ϕ t w 1 + A(w 0 )w 1 = 0, (7.15) ϕ t w 2 + A(w 0 )w 2 = 1 2 . (7.16) Напомним, что все производные вычислены при w = w 0, то есть b = b w=w0, A = A w=w0 Однородные уравнения (7.15) для нахождения w 1 имеют нетривиальное решение только в случае, когда ϕ t является каким-либо собственным значением матрицы A(w 0 ). Для определенности, положим ϕ t (t) = λ k (w 0 ). (7.17) Решение уравнения (7.15) с точностью до произвольного множителя M(t) будет правым собственным вектором матрицы A(w 0 ), отвечающий собственному значению λ k (w 0 ), w 1 (t) = M(t)r k (w 0 ). (7.18) 43
44 Обратим внимание на связь полученных формул с формулами (5.9), (5.10), использованных при построении автомодельных решений. Для определения w 2 с учетом (7.17) имеем λ k (w 0 )w 2 + A(w 0 )w 2 = 1 2 . (7.19) Эта система уравнений является вырожденной, то есть det( λ k (w 0 )I + A(w 0 )) = 0. Для того, чтобы система (7.17) имела решение необходимо выполнение условия разрешимости, так называемого условия Фредгольма, вектор правых частей системы должен быть ортогонален собственному вектору транспонированной матрицы A T (w 0 ), то есть в данном случае левому собственному вектору l k (w 0 ) (см. задачу 1.6). Иными словами, должно обращаться в нуль скалярное произведение вектора правой части и левого собственного вектора (w 1 b t w 1 (w 1 A)w 1, l k (w 0 )) = 0. (7.20) Окончательно, условие разрешимости (7.20) с учетом (7.18), опуская для сокращения записи аргумент w 0, запишем в форме или (M(t)r k b M t (t)r k M 2 (t)(r k A)r k, l k ) = 0 (7.21) где использованы обозначения M t (t) αm(t) + βm 2 (t) = 0, (7.22) α = (r k b, l k ), β = ((r k A)r k, l k ) (r k, l k ) (r k, l k ) (7.23) Естественно, что α, β являются постоянными, так как левые и правые собственные векторы и все производные вычислены при w = w 0 = const. Во избежание недоразумений с обозначениями, приведем выражения для α, β, используя индексную запись α = j i i b i r j k w j li k r i k li k, β = 44 s j i i r j A is k w j rs klk i r i k li k (7.24)
45 Проанализируем полученные результаты. 1. Соотношение (7.17) означает, что линия x = ϕ(t) является характеристикой номера k (см. определение 6.2). 2. На линии x = ϕ(t) имеются разрывы производных (слабые разрывы), величина которых с учетом (7.2), (7.14), (7.17), (7.18) определяется соотношениями [u t ] x=ϕ(t) = u θ=+0 t u θ=+0 t = ϕ t w 1 = λ m (w 0 )r m (w 0 )M(t), (7.25) [u x ] x=ϕ(t) = u θ=+0 x u θ=+0 x = w 1 = r m (w 0 )M(t). (7.26) 3. «Интенсивность» слабых разрывов M(t) определяется уравнением (7.22), которое называется транспортным уравнением M t (t) αm(t) + βm 2 (t) = 0. (7.27) Если в начальный момент времени t = 0 задано M(0) = 0, то решение уравнения (7.27) будет M(t) 0. Для ненулевых начальных данных M(0) = M 0 0 уравнение сводится к линейному заменой M(t) = 1/y(t) y t + αy β = 0. Решением в этом случае будет αm 0 βm 0 + (α βm 0 )e αt, α 0, M(t) = M 0 βm 0 t + 1, α = 0, Отметим, что, формально, (7.28) справедливо и при M 0 = 0. (7.28) Замечание 7.4. Выражение (7.28) означает что M(t) не может обращаться в нуль за конечные интервалы времени, если только оно не равнялось нулю в начальный момент времени. Другими словами, слабый разрыв движется по характеристике и не может ни исчезнуть, ни возникнуть сам по себе он обязательно должен быть задан в начальный момент. 45
46 Замечание 7.5. Выражение (7.28) показывает, что при некоторых значениях параметров α, β, M 0 возможна градиентная катастрофа обращение производных u t, u x в бесконечность в конечный момент времени. Например, если α = 0, βm 0 0. См. также пример 4.2. Замечание 7.6. Задача о волновом фронте всегда имеет решение, по крайней мере формальное, в случае системы однородных уравнений (то есть b = 0). В этом случае условие (7.4) выполнено для любых w 0 и в транспортном уравнении (7.27), в силу (7.24) коэффициент α = 0. Пример 7.1. Будем строить решение задачи о волновом фронте для уравнений рассмотренных в примерах 2.2, 5.3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u 1 ρ ρ u ρ ρ u = =, + u 2 u u c 2 ρ 1 u u t x = 0, c > 0. Собственные значения, левые и правые собственные векторы матрицы A 11 = u, A 12 = ρ, A 21 = c 2 ρ 1, A 22 = u будут (см. примеры 1.2, 2.2, 5.3) λ 1 = u c, λ 2 = u + c, r 1 = (r1, 1 r1) 2 T = ( ρ, c) T, r 2 = (r2, 1 r2) 2 T = (ρ, c) T, l 1 = (l 1 1, l 2 1) = ( c, ρ), l 2 = (l 1 2, l 2 2) = (c, ρ). Вычислим производные матрицы A ( ) ( ) A u = u ρ 0 1 =, 1 ρ c 2 ρ 1 u c 2 ρ 2 0 ( ) ( ) A u = u ρ 1 0 =. 2 u c 2 ρ 1 u 0 1 Коэффициенты α, β транспортного уравнения (7.22) определяются формулами (7.23) или (7.24). Исходная система уравнений однородна (b = 0) и, следовательно, коэффициент α = 0. 46
47 Далее выберем в качестве w 0 некоторый постоянный вектор w 0 = (ρ 0, u 0 ) T и, для определенности, будем строить решение задачи, когда в соотношении (7.17) индекс k = 2 ϕ t = λ 2 (ρ 0, u 0 ) = u 0 + c. Пусть в начальный момент времени t = 0 слабый разрыв находился в точке x = x 0, то есть ϕ(0) = x 0. Тогда слабый разрыв будет двигаться с постоянной скоростью по закону (по характеристике λ 2 (ρ 0, u 0 )) Используя (7.23), (7.24), запишем ϕ(t) = x 0 + (u 0 + c) t. (r 2 A) = r j A 2 w = A j r1 2 w + A 1 r2 2 w = ρ A 2 ρ + c A u = j ( ) ( ) ( ) c ρ0 = ρ 0 + c =, c 2 ρ c 2 ρ 1 0 c ( ) ( ) ( ) c ρ0 ρ0 2cρ0 (r 2 A)r 2 = =, c 2 ρ 1 0 c c 0 ((r 2 A)r 2, l 2 ) = 2c 2 ρ 0, (r 2, l 2 ) = 2cρ 0, β = ((r k A)r k, l k ) (r k, l k ) Транспортное уравнение (7.27) имеет вид = c. и его решение будет (см. (7.28)) M t (t) + cm 2 (t) = 0 M(t) = M 0 cm 0 t
48 Поведение слабых разрывов описывается соотношениями (7.25), (7.26) [u t ] x=ϕ(t) = λ 2 (w 0 )r 2 (w 0 )M(t), [u x ] x=ϕ(t) = r 2 (w 0 )M(t). или [ρ t ] x=ϕ(t) = (u 0 + c)ρ 0 M(t), [ρ x ] x=ϕ(t) = ρ 0 M(t). [u t ] x=ϕ(t) = (u 0 + c)cm(t), [u x ] x=ϕ(t) = cm(t). 48
💥 Видео
Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать
Задача Коши для волнового уравнения (Часть 2)Скачать
Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать
Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать
3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать
6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать
Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы ДюамеляСкачать
4.3 Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать
2.3. Задача Гурса для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать
