Метод решения систем линейных уравнений основанный на использовании рекуррентных соотношений

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Производящие функции — туда и обратно

«Производящая функция является устройством, отчасти напоминающим мешок. Вместо того чтобы нести отдельно много предметов, что могло бы оказаться затруднительным, мы собираем их вместе, и тогда нам нужно нести лишь один предмет — мешок».
Д. Пойа

Введение

Математика делится на два мира — дискретный и непрерывный. В реальном мире есть место и для того и для другого, и часто к изучению одного явления можно подойти с разных сторон. В этой статье мы рассмотрим метод решения задач с помощью производящих функций — мостика ведущего из дискретного мира в непрерывный, и наоборот.

Идея производящих функций достаточно проста: сопоставим некоторой последовательности — дискретному объекту, степенной ряд g₀ + g₁z + g₂z 2 +… + g_nz n +… — объект непрерывный, тем самым мы подключаем к решению задачи целый арсенал средств математического анализа. Обычно говорят, последовательность генерируется, порождается производящей функцией. Важно понимать, что это символьная конструкция, то есть вместо символа z может быть любой объект, для которого определены операции сложения и умножения.

История возникновения производящих функций

Известно, что начало методу производящих функций положил английский математик Абрахам де Муавр, а дальнейшему развитию и продолжению данного метода мы обязаны великому математику, имя которого Леонард Эйлер.

В 50-х годах XVIII века Эйлер решал следующую задачу: какие грузы можно взвесить с помощью гирь в 2 0 , 2 1 , 2 2 . 2 n грамм и сколькими способами? При решении этой задачи он использовал никому неизвестный на то время метод производящих функций, которому и посвящена данная статья. К этой задаче мы вернёмся немного позже, после того как разберёмся более подробно с устройством производящих функций.

Метод производящих функций

Изучение этого мощного механизма позволяющего решать многие задачи, мы начнём с простенькой задачи: сколькими способами можно расположить в линию чёрные и белые шары, общее количество которых равно n?

Обозначим белый шар символом ○, чёрный — ●, T_n — искомое количество расположений шаров. Символом Ø — обозначим нулевое количество шаров. Как и любое решение комбинаторной задачи начнём с тривиальных случаев:

Если n=1, то очевидно имеется 2 способа — взять либо белый шар ○, либо взять чёрный шар ●, таким образом, T₂ = 2.

Если n=2, то имеется 4 способа расположений: ○○, ○●, ●○, ●●.

Рассмотрим случай для n=3. Мы можем начать белым шаром и продолжить 4-мя комбинациями, описанными выше ○○○, ○○●, ○●○, ○●●, или же мы можем начать чёрным шаром и аналогично продолжить 4-мя шарами ●○○, ●○●, ●●○, ●●●.

В итоге количество шаров удвоилось, то есть T₃ = 2T₂. Аналогично T₄ = 2T₃, то есть, обобщая для всех n, получаем рекуррентное уравнение T_n = 2T_n-1 которое и является решением для данной задачи. Решение такого уравнения можно легко угадать — T_n = 2 n (так как 2⋅2 n-1 = 2 n ).

А что если у нас плохо с угадыванием? И что делать, если уравнение будет сложнее? А вообще причём здесь производящие функции?

«Просуммируем» все возможные комбинации расположений шаров:

Вопрос о допустимости такой нелепой на первый взгляд суммы опустим. Будем складывать и умножать последовательности шаров. Со сложением всё понятно, но что значит умножить одну последовательность шаров на другую? Перемножив ○● на ●○ мы получим не что иное как ○●●○. Заметим, однако, что произведение шаров в отличие от произведения чисел не является коммутативным, так как ○●⋅●○ ≠ ●○⋅○●. Символ Ø — в произведении играет роль мультипликативной единицы, то есть Ø ⋅ ○○● = ○○● ⋅ Ø = ○○● и коммутирует с любой последовательностью шаров.

Производя с рядом G последовательность манипуляций, а именно вынося за скобки левый белый и чёрный шары

G = Ø + ○ (Ø + ○ + ● + ○○ + ○● + ●○ + ●● + . ) + ● (Ø + ○ + ● + ○○ + ○● + ●○ + ●● + . ) = Ø + ○G +●G

получим уравнение G = Ø + ○G +●G.

Несмотря на то, что умножение некоммутативно, и мы фактически не различаем левое и правое деление, попробуем всё же «решить» это уравнение, на свой страх и риск. Получим,

Учитывая формулу суммы геометрической прогрессии , имеем

.

В этой сумме так же учтены все возможные варианты разбиения в точности по одному разу. Далее воспользуемся формулой бинома Ньютона: , где — число сочетаний из n по k. Тогда с учетом этого имеем:

Коэффициент при ○ k ● n-k равный числу сочетаний из n по k, показывает общее количество последовательностей из n шаров содержащих ○ шары в количеств k штук и ● шары в количестве n-k штук. Таким образом, общее количество расположений n шаров есть сумма по всем возможным значениям k. Как известно .

Эту формулу можно было получить непосредственно из заменив Ø на 1, а ○ и ● на z (в виду их равнозначности). Получим то есть коэффициент при z n равен 2 n .

Обсуждение метода

Так что же позволяет данному методу быть работоспособным при решении различных задач?

Алгоритм решения задачи можно описать примерно следующим образом: рассматривается некоторая бесконечная сумма, которая в конечном итоге представляет собой формальный степенной ряд G(z) = g₀ + g₁z + g₂z 2 +… + g_nz n +… причем коэффициенты g_k (не заданные в явном виде) — являются ключом к решению исходной задачи. То, что ряд является формальным, говорит о том, что z — является просто символом, то есть вместо него может быть любой объект: число, шар, кость домино и т.д. В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придается числовых значений и, соответственно, нет смысла говорить о сходимости таких рядов для числовых аргументов.

G(z) = g₀ + g₁z + g₂z 2 +… + g_nz n +… — называется производящей функцией для последовательности . Заметим, однако, что хотя G(z) — функция, это всё таки формальная запись, то есть мы не можем подставить вместо z любое значение z = z₀, за исключением z = 0, так как G(0) = g₀.

Затем производя различные преобразования с бесконечной суммой G(z) мы преобразуем её к замкнутому (компактному) виду. То есть у производящей функции есть 2 представления: бесконечное и замкнутое и, как правило, для решения задачи необходимо бесконечный вид преобразовать к замкнутому, а затем замкнутый вид разложить в степенной ряд, и тем самым получить значения для коэффициентов g_k.

Отвечая на поставленный вначале вопрос можно сказать так: успех данного метода связан с возможностью записать производящую функцию в замкнутом виде. Так, например, производящая функция для последовательности в бесконечном виде представляется как 1 + x + x 2 + x 3 + . а в замкнутом .

А теперь вооружившись знаниями, вернемся к задаче, которую решал Эйлер.

Итак, задача звучит следующим образом: какие грузы можно взвесить с помощью гирь в 2 0 , 2 1 , 2 2 . 2 n грамм и сколькими способам?

Я не знаю, как долго Эйлер придумывал решение для этой задачи, но оно поражает своей неожиданностью. Посудите сами. Эйлер рассматривает произведение G(z) = (1+z)(1+z 2 )(1+z 4 )… которое после раскрытия скобок представляется в виде бесконечного ряда G(z) = 1 + g₁z + g₂z 2 + g₃z 3 +….

Что же из себя представляют коэффициенты g_k? Каждый g_k — это коэффициент при z k , а z k — получается как произведение каких-то одночленов z 2m , то есть g k — это в точности число разных представлений числа k в виде суммы некоторых из чисел 1, 2, 2 2 , 2 3 . 2 m ,…. Другими словами g_k — это число способов взвешивания груза в k грамм заданными гирями. Как раз то, что мы искали!

Следующий шаг Эйлера поражает не менее предыдущего. Он умножает обе части равенства на (1-z).

(1-z)G(z) = (1-z)(1+z)(1+z 2 )(1+z 4 )(1+z 8 )…
(1-z)G(z) = (1-z2)(1+z 2 )(1+z 4 )(1+z 8 )…
(1-z)G(z) = (1-z 4 )(1+z 4 )(1+z 8 )…
(1-z)G(z) = 1

С одной стороны G(z) = 1 + g₁z + g₂z 2 + g₃z 3 +… с другой стороны мы только что получили . Последнее равенство есть не что иное, как сумма геометрической прогрессии, которая равна . Сопоставляя эти два равенства, получаем g₁ = g₂ = g₃ =… = 1, то есть любой груз в k грамм можно взвесить гирями в 1, 2, 4, 8,… грамм притом единственным способом.

Решение рекуррентных соотношений

Производящие функции подходят для решения не только комбинаторных задач. Оказывается, с их помощью можно решать рекуррентные соотношения.

Начнем со всеми знакомой последовательностью чисел Фибоначчи. Каждый из нас знает её рекуррентный вид: F₀ = 0, F₁ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2, n ≥ 2. Однако не каждый знает вид этой формулы в замкнутом виде и это не удивительно, ведь она содержит иррациональное число(«золотое сечение») в своём составе.

Умножим каждую строчку на z 0 , z 1 , . z n соответственно:

Просуммируем эти равенства:

Обозначим левую часть

Рассмотрим каждое из слагаемых в правой части:

Имеем следующее уравнение G(z) = z + z G(z) + z 2 G(z) решая которое относительно G(z) находим

— производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи.

Разложим её на сумму простейших дробей, для этого найдем корни уравнения . Решая это простое квадратное уравнение, получаем: . Тогда нашу производящую функцию можно разложить следующим образом:

Следующим шагом является нахождение коэффициентов a и b. Для этого умножим дроби на общий знаменатель:

Подставляя в это уравнение значение z = z₁ и z = z₂, находим

Напоследок немного преобразуем выражение для производящей функции

Теперь каждая из дробей представляет собой сумму геометрической прогрессии.

По формуле находим

Но ведь мы искали G(z) в виде . Отсюда делаем вывод, что

Эту формулу можно переписать в другом виде не используя «золотое сечение»:

что достаточно трудно было ожидать, учитывая красивое рекуррентное уравнение.

Давайте запишем общий алгоритм решения рекуррентных уравнений, используя производящие функции. Он записывается в 4 шага:

1. Запишите одно уравнение, выражающее gn через другие элементы последовательности. Это уравнение должно оставаться справедливым для всех целых n с учетом того, что g_-1=g_-2=. =0.
2. Умножьте обе части уравнения на z n и просуммируйте по всем n. В левой части получится сумма , которая равна производящей функции G(z). Правую часть следует преобразовать так, чтобы она превратилась в какое-то другое выражение, включающее G(z).
3. Решите полученное уравнение, получив для G(z) выражение в замкнутом виде.
4. Разложите G(z) в степенной ряд и прочитайте коэффициент при z n , это и будет замкнутый вид для g_n.

Причина, по которой данный метод работает, заключается в том, что единая функция G(z) представляет всю последовательность g_n и это представление допускает многие преобразования.

Прежде чем переходить к следующему примеру, рассмотрим 2 операции, совершаемые над производящими функциями, которые часто оказываются полезными.

Дифференцирование и интегрирование производящих функций

Для производящих функций обычное определение производной можно записать следующим образом.

Пусть G = G(z) – производящая функция. Производной этой функции называется функция . Дифференцирование, очевидно, линейная операция, поэтому для того, чтобы понять, как оно действует на производящих функциях, достаточно посмотреть на его действие, на степенях переменной. Имеем

Тем самым, действие дифференцирования на произвольной производящей функции
G (z) = g₀ + g₁z + g₂z 2 + g₃z 3 +… дает G΄(z) = g₁ + 2g₂z + 3g₃z 2 + 4g₄z 3 +….

Интегралом называется функция

Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:

Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, отличается от исходной функции,

Нетрудно заметить, что для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом

Используя только что полученные знания о дифференцировании и интегрировании производящих функций, попробуем решить следующее рекуррентное уравнение:

Будем следовать вышеописанному алгоритму. Первое условие алгоритма выполнено. Умножим обе части всех равенств на z в соответствующей степени и просуммируем:

z 0 ⋅ g₀ = 1,
z 1 ⋅ g₁ = z,
z n ⋅ g_n = z n ⋅ g_n-1 + 2z n ⋅ g_n-2 + (-1) n ⋅ z n

Левая часть представляет собой производящую функцию в бесконечном виде.

Попытаемся выразить правую часть через G(z). Рассмотрим каждое слагаемое:

Это и есть производящая функция для заданного рекуррентного уравнения. Раскладывая её на простейшие дроби (например, методом неопределенных коэффициентов или методом подстановки различных значений z), получаем:

Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придется чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:

Собственно всё. Раскладываем каждое слагаемое в степенной ряд и получаем ответ:

С одной стороны мы искали G(z) в виде , с другой стороны .

Значит, .

Вместо заключения

Производящие функции нашли большое применение в математике, поскольку являются мощным оружием при решении многих практических задач, связанных, например, с перечислением, распределением и разбиением множеств объектов различной природы. Кроме того применение производящих функций позволяет доказать некоторые комбинаторные формулы, которые иначе получить очень трудно. Например, разложение функции в степенной ряд имеет вид , то есть справедливо равенство:

Возводя в квадрат обе части этого равенства получим

Приравнивая коэффициенты при x n в левой и правой частях, получаем

Эта формула имеет прозрачный комбинаторный смысл, но доказать её непросто. Еще в 80-е годы XX века появились публикации, посвященный этому вопросу.

Видео:Численные методы. Лекция 1. Решение систем линейных уравнений. Метод ГауссаСкачать

Применение многочленов от матриц для решения систем рекуррентных уравнений

Рассмотрим систему линейных рекуррентных уравнений

где — коэффициенты системы , — заданные, а — неизвестные функции дискретного аргумента , . При описании дискретных динамических систем аргумент в (7.47) называют дискретным временем .

Систему (7.47) можно записать в матричном виде:

где — квадратная матрица (n-го порядка) коэффициентов системы рекуррентных уравнений, — столбец заданных функций, a — столбец неизвестных.

Решением системы (7.48) называется последовательность столбцов , при подстановке которых в (7.48) получаются верные равенства для всех .

Поставим задачу нахождения решения системы (7.48), удовлетворяющего начальным условиям

где — заданный столбец.

Рассмотрим сначала однородную систему с постоянными коэффициентами

Записывая (7.50) для , последовательно получаем

Следовательно, решение однородной системы (7.50), удовлетворяющее начальным условиям (7.49), имеет вид:

Получим теперь решение системы (7.48). Учитывая (7.49), запишем (7.48) для

и т.д. Следовательно, решение системы (7.48) имеет вид

Первое слагаемое в (7.52) — решение однородной системы (7.50) с начальными условиями (7.49), второе слагаемое — решение системы (7.48) с нулевыми начальными условиями (т.е. при ).

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Алгоритм решения системы рекуррентных уравнений

Для нахождения решения системы (7.48) с начальными условиями (7.49) требуется выполнить следующие действия.

1. Найти выражение для степени матрицы одним из способов, рассмотренных ранее.

2. Записать по формуле (7.52) искомое решение.

1. Линейное рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами:

может быть сведено к эквивалентной системе рекуррентных уравнений вида (7.47). Действительно, используя обозначения

или в матричной форме (7.48): с матрицами и

Пример 7.19. Найти решение рекуррентного уравнения с начальными условиями

Решение. В соответствии с пункту 1 замечаний 7.11 составим систему уравнений

где . Требуется найти решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям: .

1. Составим матрицу системы и найдем ее степень , используя второй способ. Характеристический многочлен имеет вторую степень и два простых корня: . Поэтому многочлен (7.44) — линейный: . Для его коэффициентов записываем систему (7.46):

Отсюда . Таким образом,

2. По формуле (7.52) записываем решение системы (учитывая, что ):

Нас интересует только первый элемент этого столбца:

Решение совпадает с найденным в примере 2.15.

Пример 7.20. Найти решение системы рекуррентных уравнений с начальными условиями

Решение. Запишем систему в матричной форме (7.48) и начальные условия

1. Выражение для степени матрицы найдено в примерах 7.17 и 7.18:

2. Выражение, полученное для , справедливо только при 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAiXFYMbEhAcBBoPDQoeAQ0I3cqgAAALZJREFUKM+VktsSwyAIRDWKiFf+/2uLSZvEhkxaXnTGs7KsGvN3UYrwC+ffa3D8zCMlxo+QlyfcNmg7v7A/t7VBux/jzkOe54lJURw8ZrHvop0UdM8P+3axGc89aqQ7XuxbjzybMkEUqPLAIPP6/u0g1OYUHnMpTQs02KLxq/0p0Y1O0al+RvqOCcv51CeZF1UeJBjhacoT6PJehTd9k/R7gdgPul7ei3itcWeYPp/sqv4fRhnzAuOaBpbDogV3AAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> (см. пример 7.18). Поэтому для формулу (7.52) нельзя использовать. Найдем непосредственно из системы (7.53)

Далее записываем искомое решение для , выделяя в формуле (7.52) слагаемые с и

В последней сумме слагаемые не зависят от индекса суммирования, т.е. это сумма одинаковых слагаемых. Поэтому, приводя подобные члены, получаем

Таким образом, решением заданной системы является последовательность столбцов:

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Рекуррентные соотношения и уравнения

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений рекуррентных соотношений методом характеристического уравнения и подбора частного решения по правой части. Также приведены краткие алгоритмы решения для двух методов и пример их использования для последовательности Фибоначчи.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Как решать рекуррентные соотношения?

Для решения рекуррентных соотношений применяют один из двух основных способов:

• Метод производящих функций
• Метод характеристического уравнения

В следующем разделе мы сравним, как выглядит процесс решения для одной и той же последовательности двумя методами.

Метод производящих функций

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен $k$) $$a_ = …, \ a_ = …, \ a_ = …, \ … \ a_ = …, ngeqslant k$$
2. Домножить каждую строчку на $z$ в соответствующей степени $z^ cdot a_$ и сложить все выражения для $n ge 0$. В левой части получится сумма $displaystylesum_^ a_nz^n$ — это производящая функция, назовем ее $G(z)$. Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее $G(z)$.
3. Решить полученное уравнение относительно $G(z)$.
4. Разложить $G(z)$ в степенной ряд, тогда коэффициент при $z_n$ будет искомым выражением для $a_n$.

Метод характеристических функций

Этот метод практически полностью аналогичен методу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, кратко алгоритм выглядит так:

1. Записать соответствующее однородное рекуррентное уравнение (РУ): $$ p_ a_ + p_a_ + . + p_n a_n =f to \ to p_ a_ + p_a_ + . + p_n a_n =0. $$
2. Выписать для него характеристическое уравнение и найти его корни $lambda_i$ $$ p_ lambda^ + p_lambda^ + . + p_lambda + p_n =0. $$
3. Выписать согласно полученным корням $lambda_1, . lambda_k$ общее решение однородного рекуррентного соотношения (подробнее теорию см. по ссылке [1] ниже). $$ C_1 lambda_1^n +. +C_k lambda_k^n , mbox , $$ $$ C_1 lambda_1^n + C_2 nlambda_1^n +. +C_m n^m lambda_1^n+. +C_k lambda_k^n mbox , lambda_1 , , m. $$
4. Подобрать частное решение неоднородного рекуррентного соотношения по виду правой части (особенно удобно для правых частей вида $mu^n*P(n)$, $P(n)$ — многочлен от $n$).
5. Представить общее решение неоднородного РУ как сумму общего решения соответствующего однородного РУ и частного решения неоднородного РУ.
6. Подставить начальные условия $a_0, a_1, . a_$ и получить значения констант $C_1, . C_k$.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение для последовательности чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначи — это последовательность, каждый элемент которой (кроме нулевого и первого) равен сумме двух предыдущих:

$$ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , . $$

Числа Фибоначчи растут быстро: $f_=55$, $f_=6765$, а $f_=354224848179261915075$.

Общая формула данной рекуррентной последовательности имеет вид6

Способ 1. Производящяя функция

Начинаем с второго шага алгоритма, домножаем на $z^n$:

$$begin 1cdot f_0 &= &0cdot 1,\ zcdot f_1 &= &1cdot z,\ zcdot f_n & = &(f_+f_)cdot z^n, quad ngeq2.\ end $$

Складываем все строчки:

На третьем шаге алгоритма приводим все суммы к замкнутому виду:

откуда выводим искомое выражение для производящей функции:

Теперь разложим ее в степенной ряд. Для этого сначала разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:

Чтобы разложить данные дроби в ряды, используем известное разложение для дроби:

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на $z_1$:

Аналогично (но с делением на $z_2$) действуем со второй дробью:

Преобразуем данное выражение, используя то, что

$$1/z_1=-z_2, quad 1/z_2 = -z_1, quad z_1-z_2=sqrt $$ $$f_n=frac<sqrt>left( biggl( frac<1+sqrt> biggr)^n — biggl( frac<1-sqrt> biggr)^n right). $$

Способ 2. Характеристическое уравнение

Запишем характеристический многочлен для $f_n=f_+f_$, и найдем его корни:

Тогда общее решение однородного рекуррентного уравнения имеет вид:

Осталось найти значения произвольных постоянных $C_1, C_2$ из начальных условий $f_0=0, f_1=1$.

Решая систему, найдем

Итоговое выражение для последовательности чисел Фибоначчи:

Результаты обоих методов совпали, решение вторым методом оказалось проще и короче.

Видео:Лекция 5, Итерационные методы решения систем линейных уравненийСкачать

Примеры решений

Задача 1. Решить рекуррентное соотношение $f(n+2)=-6f(n+1)+7f(n)+n-3$ с начальными условиями $f(0)=2$ и $f(1)=4$, сделать проверку

Задача 2. Решить рекуррентное соотношение $f(n+2)=-2f(n+1)+3f(n)-3^n$ с начальными условиями $f(0)=1$, $f(1)=3$ и сделать проверку

Задача 3. 1. Решить рекуррентное соотношение $f(n+2) =-5f(n+1) -4f(n) + 3n^2$ с начальными условиями $f(0) = 2$, $f(1) = 3$.
2. Проверить, удовлетворяет ли найденное решение начальным условиям и обращает ли оно рекуррентное соотношение в справедливое тождество.

Задача 4. Найти последовательность $$, удовлетворяющую рекуррентному соотношению $a_ + 4 a_ + 3 a_ = 0$ и начальным условиям $a_1=2$, $a_2=4$.

📽️ Видео

21.04 - дискра, рекуррентные соотношенияСкачать

Решение рекуррентных уравненийСкачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Рекуррентное вычисление определителя порядка nСкачать

Матричный метод решения систем линейных уравнений (метод обратной матрицы)Скачать

Как привести матрицу к ступенчатому виду - bezbotvyСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?Скачать

Вычислительная математика 3 Итерационные методы решения СЛАУСкачать