Метод рационализации при решении уравнений с корнями (7 видео)

Содержание

Метод рационализации. Часть 2
40. Алгебра Читать 0 мин.
40.691. Метод рационализации
Метод рационализации
📸 Видео

Видео:✓ Метод рационализации | Ботай со мной #014 | Борис ТрушинСкачать

Метод рационализации. Часть 2

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать

Давайте вспомним, как мы решали неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

0,& &x-5>0; end &begin x+6

То есть неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

0,& &x-5>0; end &begin x+6

заменить ее неравенством 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/>, которое в два счета решается методом интервалов

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Можно и видео посмотреть.

Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать

Рассмотрим неравенство .

Представляем 4 в виде логарифма:

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

1,& &(x^2-4x)^2leq(x-3)^4; end &begin x-3

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):

0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4leq 0; end &begin x-3-1

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше) мы данную совокупность систем заменим неравенством:

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства .

Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):

0,& &x-3neq 1, & &(x^2-4x)^2>0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»84″ width=»146″ style=»vertical-align: -37px;»/>

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Ответ:

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство .

Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства

Ответ: .

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа , где функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:

Решим неравенство

Перейдем к равносильному неравенству:

Ответ: .

Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.

А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Метод рационализации при решении неравенств | ЕГЭ по профильной математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

40. Алгебра Читать 0 мин.

Видео:Метод рационализации для КОРНЕЙ арифметических. Номер 14 на профильном ЕГЭ.Скачать

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$log_af vee log_ag$	$(a — 1)(f — g)vee 0 $

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $log_(x+2) 0 \ x^2 > 0 \ x^2 neq 1 end leftrightarrow qquad begin x > -2 \ x neq 0 \ x neq pm 1 end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Ответ: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$(log_af — log_ag)cdot h vee 0$	$(f — g)cdot h vee 0 $
$(log_fa vee log_ga)$	$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) vee 0 $
$(log_hf cdot log_pq) vee 0$	$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) vee 0 $
$displaystylefrac vee 0$	$displaystylefrac vee 0$

$ begin 12x^2-41x+35 > 0, \ 2x^2-5x+3 > 0, \ 12x^2-41x+35 neq 1, \ 2x^2-5x+3 neq 1, \ 3 — x > 0 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ 12x^2 — 41x + 35 neq 0, \ 2x^2 — 5x + 2 neq 0, \ -x > -3 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ (x — displaystylefrac)(x — 2) neq 0, \ (x — 2)(x — displaystylefrac) neq 0, \ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \ -13x(2x-13)(x — displaystylefrac) > 0, \ 2x(x — displaystylefrac)(x — frac) 0, x neq 1$

Видео:Метод рационализации-1Скачать

Метод рационализации

(blacktriangleright) Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

(blacktriangleright) Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида [<Large<(h(x))^geqslant (h(x))^>>]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: [ <large<left[beginbegin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\[1ex] &begin 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: [ <large< begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))geqslant 0\[1ex] h(x)>0 end>>]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно [(a)quad left[begin begin &begin h(x)geqslant1\ f(x)geqslant g(x) end\[1ex] &begin h(x)leqslant 1\ f(x)leqslant g(x) end end end right.]

Совокупность равносильна [(b)quad left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x)\ h(x)=1 end\[1ex] &begin 0

Заметим, что решение совокупности ((a)) плюс условие (h(x)>0) и решение совокупности ((b)) полностью совпадают.

(blacktriangleright) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида [<Large<log_geqslant log_>>]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: [ <large<left[beginbegin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end\[1ex] &begin 0 0 end end end right.>>]

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: [ <large<begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))geqslant 0\[1ex] f(x)>0\ g(x)>0\ h(x)>0\ h(x)ne 1 end>>]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие (h(x)ne 1) равносильно [(c)quad left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\[1ex] &begin h(x)

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) [(d) quad begin f(x)>0\ g(x)>0\ h(x)>0\[1ex] left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\ &begin h(x)

Заметим, что решение совокупности ((c)) плюс условия (f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0) и решение совокупности ((d)) полностью совпадают.

(blacktriangleright) Если (f(x), h(x), g(x)) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

Пример 1. Решить неравенство (log_<dfrac>leqslant 1)

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: [begin x^2-1>0\ x^2-1ne 1\[1ex] dfrac>0 endLeftrightarrow begin (x-1)(x+1)>0\ xne pm sqrt 2\[1ex] dfrac>0 endLeftrightarrow begin xin (-infty;-1)cup(1;+infty)\ xne pm sqrt 2\ xin (-2,5;-1)cup(1;+infty) end Leftrightarrow]

[Leftrightarrow xin (-2,5;-sqrt 2)cup(-sqrt 2;-1)cup(1;sqrt 2)cup(sqrt 2;+infty)]

Тогда на ОДЗ, учитывая, что (1=log_) , наше неравенство равносильно неравенству

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, решением будут (xin (-infty;-2]cup[-sqrt2;-1)cup[1;sqrt2]cup[2;+infty))

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим [xin (-2,5;-2]cup(-sqrt2;-1)cup(1;sqrt2)cup[2;+infty)]

(blacktriangleright) Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде (F(x)lor 0) ( (lor) — один из знаков (geqslant, leqslant, >, ), причем функция (F(x)) является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

если какой-то множитель имеет вид (h(x)^-h(x)^) , то его можно заменить на ((h-1)(f-g)) ;

если какой-то множитель имеет вид (log_f(x)-log_g(x)) , то его можно заменить на ((h-1)(f-g)) .

Пример 2. Решить неравенство ((3+x-2x^2)log_geqslant 0) .

Данное неравенство можно переписать в виде ((3+x-2x^2)(log_-log_1)geqslant 0) (т.к. (log_a1=0) ).

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

(begin x+2>0\x+2ne 1\ 3x+5>0 end Leftrightarrow xin left(-frac53;-1right)cupbig(-1;+inftybig))

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

((3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)geqslant 0 Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)leqslant 0 Leftrightarrow)

( Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)leqslant 0 Leftrightarrow xin left[-frac43;frac32right])

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: (xin left[-frac43;-1right)cupleft(-1;frac32right])

Пример 3. Решить неравенство ((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)leqslant0)

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: (xinmathbb) .

Таким образом, неравенство равносильно:

((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^)(5x^2-9x-2)leqslant 0 Leftrightarrow)

(Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)leqslant0 Leftrightarrow)

(Leftrightarrow 2cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)leqslant0 Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)geqslant0) ,
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число (-0,75) .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим (xin (-infty;-2big]cupleft[-frac15;0right]cupbig[2;+infty))

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число (a) , а не функция (h(x)) , то скобку ((a-1)) опускать нельзя.

Найдем ОДЗ данного неравенства:

(begin x^2-1geqslant 0\ x+2>0\ x^2>0 end Rightarrow begin xgeqslant1 text xleqslant -1\ x>-2\ xne 0 end quad Rightarrow xin (-2;-1]cup [1;+infty))

Решим данное неравенство на ОДЗ.

На ОДЗ (log_5(x+2)=log_(x+2)^2) , следовательно, применяя метод рационализации, получим:

Заметим, что (sqrtgeqslant 0) при всех (x) из ОДЗ, причем в точках (x=pm 1) выражение (sqrt=0) . Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки (x=pm1) будут являться решением неравенства, т.к. при этих (x) левая часть неравенства равна (0) . Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

Решим неравенство из совокупности методом интервалов: