Как найти критические точки уравнения

Видео:Критические точкиСкачать

Критические точки

Как найти критические точки уравнения

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Критические точки функцииСкачать

Критические точки функции

2. Отыскание точек экстремума

Теория:

Теорема 3. Если функция (y=f(x)) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (X) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) > 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими .

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы:

1. найдём производную f ′ ( x ) .

2. Определим стационарные и критические точки.

3. Нанесём стационарные и критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

4. Опираясь на теоремы (1), (2) и (4), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Точки Экстремума ФункцииСкачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Точки Экстремума Функции

Экстремумы функции

Видео:Необходимые и достаточные условия экстремума функции. 10 класс.Скачать

Необходимые и достаточные условия экстремума функции. 10 класс.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Видео:Производная. Часть 10. Экстремумы. Максимум и минимум. Стационарная и критическая. Перегиба и полюс.Скачать

Производная. Часть 10. Экстремумы. Максимум и минимум. Стационарная и критическая. Перегиба и полюс.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: Как найти критические точки уравненияна отрезке [1; 3].
Решение.
Как найти критические точки уравнения
Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /2, f(3)=3 8 /81
Ответ: fmin= 5 /2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем Как найти критические точки уравнения, значит x= π /3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; Как найти критические точки уравнения, значит x=- π /3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

🎦 Видео

Критические точкиСкачать

Критические точки

Алгебра 10 Критические точкиСкачать

Алгебра 10 Критические точки

Найти точки экстремума функцииСкачать

Найти точки экстремума функции

10 класс. Алгебра. Критические точки и точки экстремума функции. 20.04.2020Скачать

10 класс. Алгебра. Критические точки и точки экстремума функции. 20.04.2020

Максимум и минимум функции - bezbotvyСкачать

Максимум и минимум функции - bezbotvy

Критические точки - точки экстремума - 10 классСкачать

Критические точки - точки экстремума - 10 класс

Критические точки функцииСкачать

Критические точки функции

Задачи на критические точки (с параметром)Скачать

Задачи на критические точки (с параметром)

Урок №11-4. Критические точки. Beyond MathСкачать

Урок №11-4. Критические точки. Beyond Math

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Критические точки функции, максимумы и минимумыСкачать

Критические точки функции, максимумы и минимумы

Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функцииСкачать

Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функции

Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.Скачать

Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.

Алгебра и начала анализа. 10 класс. Критические точки и экстремумы функции /22.02.2021/Скачать

Алгебра и начала анализа. 10 класс. Критические точки и экстремумы функции /22.02.2021/

Стационарные и критические точки функции на графике функции, по формуле функции. Алгебра 10 классСкачать

Стационарные и критические точки функции на графике функции, по формуле функции. Алгебра 10 класс
Поделиться или сохранить к себе:
Как найти критические точки уравнения